馮 曉, 郭霖瀚, 宋常浩, 孔丹丹

(1. 北京航空航天大學(xué)可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院, 北京 100191;2. 中國電子科技集團(tuán)公司第十四研究所, 江蘇 南京 210039)

0 引 言

為了完成特定的使用任務(wù)要求,往往需要包含多個(gè)相同功能裝備的裝備群[1]來執(zhí)行工作?？捎枚仁侵秆b備群在任一時(shí)刻開始執(zhí)行任務(wù)時(shí),處于可工作或可使用狀態(tài)的概率度量。針對連續(xù)工作的裝備群來說,穩(wěn)態(tài)可用度可以被用來表征裝備群的可用程度。因此準(zhǔn)確計(jì)算其穩(wěn)態(tài)可用度對裝備群的設(shè)計(jì)、運(yùn)行和管理均具有顯著的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

當(dāng)裝備的各部件壽命分布和故障后的修理時(shí)間分布均為指數(shù)分布時(shí),只要合理定義裝備的狀態(tài),便可以使用馬爾可夫過程來描述裝備,從而進(jìn)行穩(wěn)態(tài)可用度的建模和求解。文獻(xiàn)[2-3]針對串聯(lián)、并聯(lián)等系統(tǒng),在不考慮備件庫存的條件下利用馬爾可夫過程建模,計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度和瞬時(shí)可用度。文獻(xiàn)[4]以單部件可修系統(tǒng)為研究對象,假設(shè)維修時(shí)間小于給定的常數(shù)時(shí)可以忽略,從而計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度。文獻(xiàn)[5-8]分別研究了兩類部件串聯(lián)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度計(jì)算問題。文獻(xiàn)[9]給出了n個(gè)部件串聯(lián)的系統(tǒng)瞬時(shí)可用度和穩(wěn)態(tài)可用度的表達(dá)式。文獻(xiàn)[10]研究了一種計(jì)算含有混合冷溫備件的多部件系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的方法。文獻(xiàn)[11]研究了包含3個(gè)不相同的部件、帶有優(yōu)先權(quán)的串并聯(lián)可修系統(tǒng),通過使用補(bǔ)充變量法和矢量馬爾可夫過程理論計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度。文獻(xiàn)[12-17]分別研究了k/n表決系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度計(jì)算問題。文獻(xiàn)[18]中通過連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈來描述系統(tǒng)的有限狀態(tài),使用兩種方法分析長期使用的可修系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度。

目前利用馬爾可夫過程研究穩(wěn)態(tài)可用度時(shí),考慮可修件庫存影響的并不多,但在實(shí)際維修過程中,經(jīng)常出現(xiàn)由于等待或缺少備件造成維修延誤的情況,導(dǎo)致系統(tǒng)可用性降低。此外,現(xiàn)有文獻(xiàn)提供的方法多是利用馬爾可夫過程對單個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行可用度分析。由于裝備群中的裝備共用給定的備件資源,當(dāng)某類備件出現(xiàn)短缺后,可用裝備的數(shù)量會(huì)隨之發(fā)生變化。因此無法通過計(jì)算單個(gè)裝備的可用度來求解考慮備件庫存影響下的裝備群可用度。

針對以上這些問題,本文考慮備件庫存影響,構(gòu)建一種基于多個(gè)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈(continuous time Markov chain,CTMC)的模型來分析裝備群穩(wěn)態(tài)可用度。首先,考慮裝備群中部件使用與維修的特點(diǎn),采用可用裝備數(shù)、備件庫存數(shù)、備件短缺數(shù)3個(gè)參數(shù)來刻畫部件的狀態(tài),對各類部件分別建立CTMC,進(jìn)而建立裝備群的CTMC族模型;其次,根據(jù)各類部件的轉(zhuǎn)移率矩陣,求解各狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率,并結(jié)合部件的期望備件短缺數(shù)(expected backorder,EBO)與可用裝備數(shù)之間的關(guān)系確定裝備群穩(wěn)態(tài)可用度;再次,構(gòu)造案例進(jìn)行仿真驗(yàn)證分析;最后,提出結(jié)論和未來的研究工作方向。

1 模型假定與說明

本文的研究對象是由N個(gè)同型的多部件裝備組成的裝備群。當(dāng)執(zhí)行任務(wù)時(shí),裝備群中的裝備相互獨(dú)立地開展內(nèi)容相同的工作。每個(gè)裝備由L類不同的關(guān)鍵部件串聯(lián)組成,其中第i類部件的單裝備安裝數(shù)為Zi,初始庫存數(shù)為Si。當(dāng)備件不短缺時(shí),直接使用備件來更換故障部件;當(dāng)備件短缺時(shí),需等待故障的部件維修好后,裝備才能重新執(zhí)行任務(wù)。建模過程中考慮以下假設(shè):

假設(shè)1部件及其備件均可修,且維修后能夠修復(fù)如新,不考慮報(bào)廢問題。

假設(shè)2第i類部件的故障間隔時(shí)間服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布,維修時(shí)間服從參數(shù)為μi的指數(shù)分布。

假設(shè)3裝備群工作時(shí)間連續(xù)。

假設(shè)4除備件外其他維修資源均供應(yīng)充足,并且修理能力無限。

假設(shè)5庫存結(jié)構(gòu)為單基地模型,備件實(shí)行(s-1,s)及時(shí)送修策略。

假設(shè)6忽略故障件的更換時(shí)間。

由庫存平衡公式[19]BOi=OHi+DIi-Si可知,利用部件i的現(xiàn)有庫存量OHi、在修故障件數(shù)DIi以及部件的初始庫存量Si可以計(jì)算部件i的備件短缺數(shù)BOi。當(dāng)部件i發(fā)生一次備件需求時(shí),DIi就增加一件;若OHi≥1,則OHi就會(huì)減少一件;否則,BOi就增加一件。初始庫存量Si根據(jù)費(fèi)用、庫存空間等約束提前確定。任意一類部件出現(xiàn)故障后,當(dāng)備件不短缺時(shí),直接使用備件來更換故障部件;當(dāng)備件短缺后,該類部件的備件短缺數(shù)和在修故障件數(shù)均加1,則裝配該故障部件的裝備將處于故障維修狀態(tài),導(dǎo)致裝備群中可用的裝備數(shù)減1。因此根據(jù)部件的備件短缺數(shù)、現(xiàn)有庫存量、在修件數(shù)與可用裝備數(shù)的上述關(guān)系,對帶有備件的裝備群進(jìn)行馬爾可夫過程建模時(shí),描述狀態(tài)的粒度可由裝備群細(xì)化到各類部件,從而避免直接對裝備群建模。

當(dāng)各類部件的初始備件庫存為零時(shí),如果考慮備件短缺對可用裝備數(shù)造成的影響,基于各類部件的CTMC建立裝備群的CTMC族模型,狀態(tài)空間規(guī)模將隨部件種類數(shù)L的增加呈線性增長;反之,基于馬爾可夫過程直接對裝備群進(jìn)行建模,狀態(tài)空間的規(guī)模將隨L的增加呈指數(shù)增長。當(dāng)各類部件有初始備件庫存時(shí),使用前者方法得到的狀態(tài)空間將遠(yuǎn)小于后者。故本文提出的模型將能夠顯著減少狀態(tài)空間的規(guī)模,從而降低計(jì)算穩(wěn)態(tài)可用度的復(fù)雜度。

2 穩(wěn)態(tài)可用度的建模

2.1 裝備群的CTMC族模型

初始時(shí)刻裝備群中的N個(gè)裝備都能正常執(zhí)行任務(wù)。在執(zhí)行任務(wù)過程中,部件i(1≤i≤L)的狀態(tài)由Oi,Gi,BOi3個(gè)參數(shù)表示。其中，Oi表示受部件i影響的可用裝備數(shù),0≤Oi≤N。Oi的取值與部件i的在修件數(shù)DIi有關(guān)。當(dāng)DIi≤Si時(shí),Oi=N;當(dāng)DIi≥Si+1時(shí),部件i每出現(xiàn)一次故障將導(dǎo)致一個(gè)裝備停機(jī)等待維修,Oi的取值從N-1逐漸減少到0。Gi表示在工作過程中部件i的庫存量,最大取值為部件i的初始庫存量Si。BOi表示部件i的備件短缺數(shù),0≤BOi≤N。根據(jù)定義部件i的3個(gè)參數(shù),建立部件i的CTMC為{Xi(t)=(Oi(t),Gi(t),BOi(t));t≥0},狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1所示。其中包含有Ei=Si+N+1個(gè)狀態(tài),編號(hào)分別為0,1,…,Si+N。圖1虛線左側(cè)表示備件充足時(shí)部件i的各狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程,虛線右側(cè)表示備件短缺時(shí)部件i的各狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程。

圖1 部件i的CTMCFig.1 CTMC of component i

當(dāng)備件i充足時(shí):如果1個(gè)部件i出現(xiàn)故障,將使用備件更換故障的部件,此時(shí)備件數(shù)量減1,可用的裝備數(shù)仍為N,部件i從狀態(tài)(N,Si-v,0)轉(zhuǎn)移到相鄰狀態(tài)(N,Si-v-1,0),轉(zhuǎn)移率為NZiλi;當(dāng)1個(gè)部件i被修復(fù)后運(yùn)回備件庫中,部件i的備件數(shù)增加1,部件i從狀態(tài)(N,Si-v-1,0)轉(zhuǎn)移到相鄰狀態(tài)(N,Si-v,0),轉(zhuǎn)移率為(v+1)μi。其中,0≤v≤Si-1。

當(dāng)備件出現(xiàn)短缺時(shí):如果一個(gè)部件i出現(xiàn)故障,將造成1個(gè)裝備暫停運(yùn)行,即造成可用裝備數(shù)Oi減少1,備件短缺數(shù)BOi增加1,部件i將從狀態(tài)(N-k,0,k)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(N-k-1,0,k+1),轉(zhuǎn)移率為(N-k)Ziλi;當(dāng)1個(gè)故障的部件i被修復(fù)后,能夠使得1個(gè)裝備恢復(fù)正常運(yùn)行,即可用裝備數(shù)Oi將增加1,備件短缺數(shù)BOi減少1,部件i將從狀態(tài)(N-k-1,0,k+1)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(N-k,0,k),轉(zhuǎn)移率為(Si+k+1)μi。其中,1≤k≤N-1。

狀態(tài)(N,0,0)和狀態(tài)(N-1,0,1)是連接備件i是否出現(xiàn)短缺的兩個(gè)狀態(tài)。分析可知當(dāng)部件i處于狀態(tài)(N,0,0)時(shí),如果發(fā)生故障,可用裝備數(shù)Oi將減1,備件短缺數(shù)BOi從0變?yōu)?,從狀態(tài)(N,0,0)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(N-1,0,1)的轉(zhuǎn)移率為NZiλi;當(dāng)部件i處于狀態(tài)(N-1,0,1)時(shí),如果1個(gè)故障的部件i被修復(fù),將使可用裝備數(shù)Oi增加1,備件短缺數(shù)BOi由1變?yōu)?,從狀態(tài)(N-1,0,1)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(N,0,0)的轉(zhuǎn)移率為(Si+1)μi。

表1 部件i的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率

2.2 穩(wěn)態(tài)可用度模型

設(shè)部件i的瞬時(shí)概率分布為pi(t),穩(wěn)態(tài)概率分布為πi,并且滿足

(1)

根據(jù)CTMC的性質(zhì),穩(wěn)定狀態(tài)下可以列出方程組

(2)

式中,Ri表示部件i的轉(zhuǎn)移率矩陣;0表示1×Ei維的零矩陣;πi,j表示部件i處于狀態(tài)j的穩(wěn)態(tài)概率,0≤j≤Si+N。

由圖1可以看出各狀態(tài)之間彼此互通,因此部件i的CTMC是非周期不可約的。由CTMC理論可知[20],方程組(2)存在唯一非負(fù)解,因此部件i的各狀態(tài)存在唯一的穩(wěn)態(tài)概率分布。分析方程組(2)的特點(diǎn),將狀態(tài)p(1≤p≤Si+1)的穩(wěn)態(tài)概率表示為

(3)

狀態(tài)Si+h(2≤h≤N)的穩(wěn)態(tài)概率表示為

πi,Si+h=

(4)

(5)

將式(5)的結(jié)果分別代入式(3)和式(4),計(jì)算得到部件i的穩(wěn)態(tài)概率矩陣πi。

穩(wěn)定狀態(tài)下部件i的期望備件短缺數(shù)計(jì)算公式為

(6)

式中,EBO(Si,t)是指t時(shí)刻部件i的期望備件短缺數(shù);bi是指部件i的備件短缺數(shù)向量;bi,m是bi中的元素,指部件i處于狀態(tài)m時(shí)的備件短缺數(shù)。bi的具體形式為

bi=[bi,0,bi,1,…,bi,Si+N]T=

(7)

如果某個(gè)裝備出現(xiàn)備件短缺,該裝備即處于不可用狀態(tài)。故部件i的EBO(Si,t)等價(jià)于因備件i短缺造成的不可用裝備數(shù)的期望值。因此當(dāng)各裝備處于平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)(t→∞),裝備群的EBOq等價(jià)于因各類備件短缺而造成不可用裝備數(shù)的期望值之和，即

(8)

裝備總數(shù)N與穩(wěn)態(tài)下裝備群的EBOq相減,得到可用裝備數(shù)的期望值;而裝備群的穩(wěn)態(tài)可用度Aq等價(jià)于可用裝備數(shù)期望值占總裝備數(shù)N的百分比[19]。因此裝備群Aq的計(jì)算公式為

(9)

式中,A(t)是指裝備群t時(shí)刻的瞬時(shí)可用度。

如果EBOq≥N,則Aq=0。因?yàn)楫?dāng)裝備群的EBOq≥N時(shí),表明穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)任何一個(gè)裝備都不能正常使用,故穩(wěn)態(tài)可用度Aq=0。

2.3 穩(wěn)態(tài)可用度算法

通過第2.1節(jié)和第2.2節(jié)的分析可知,根據(jù)裝備群和各類部件的相關(guān)信息,分別建立各類部件的CTMC,形成裝備群CTMC族模型;然后利用備件短缺數(shù)與可用裝備數(shù)之間的關(guān)系,構(gòu)建裝備群穩(wěn)態(tài)可用度模型。算法具體流程圖如圖2所示,具體步驟如下:

步驟1確定裝備群的相關(guān)參數(shù)。裝備總數(shù)N、部件類型數(shù)L、部件i的故障率λi、維修率μi、部件i的單裝備安裝數(shù)Zi以及部件i初始庫存數(shù)Si,其中i=1,2,…,L。各部件故障間隔時(shí)間以及故障后的維修時(shí)間均服從指數(shù)分布。

步驟2定義部件i的狀態(tài)。使用3個(gè)參數(shù):受部件i影響的可用裝備數(shù)Oi、工作過程中部件i的庫存量、備件短缺個(gè)數(shù),從而確定部件的狀態(tài)空間。

步驟3建立部件的CTMC。

步驟4確定部件的轉(zhuǎn)移率矩陣。

步驟5求解與部件的CTMC模型相關(guān)的方程組,計(jì)算部件的穩(wěn)態(tài)概率分布。

步驟6計(jì)算部件的期望備件短缺數(shù)。

步驟7計(jì)算裝備群的期望備件短缺數(shù)。將每類部件分別執(zhí)行步驟2～步驟6,聯(lián)合各類部件的CTMC,構(gòu)建裝備群的CTMC族模型,將各部件的期望備件短缺數(shù)進(jìn)行累加運(yùn)算,從而計(jì)算裝備群的期望備件短缺數(shù)。

步驟8計(jì)算裝備群穩(wěn)態(tài)可用度。根據(jù)裝備群期望備件短缺數(shù)與可用度之間的關(guān)系,計(jì)算裝備群穩(wěn)態(tài)可用度。

圖2 穩(wěn)態(tài)可用度算法流程圖Fig.2 Algorithm flowchart of steady availability

3 案例分析

假設(shè)裝備群包含5個(gè)同型裝備,每個(gè)裝備由4類不同的關(guān)鍵部件串聯(lián)組成。忽略各類部件故障時(shí)的更換時(shí)間,并要求裝備群連續(xù)工作。假設(shè)各類部件之間相互獨(dú)立,部件平均故障間隔時(shí)間(mean time between failure,MTBF)、平均維修時(shí)間(mean time to repair, MTTR)均服從指數(shù)分布,具體數(shù)值如表2所示。各類部件的備件庫存方案如表3所示。為了驗(yàn)證本文建立的裝備群穩(wěn)態(tài)可用度計(jì)算模型的有效性,將案例中的數(shù)據(jù)分別代入本文構(gòu)建的CTMC族模型(模型1)和多級(jí)可修產(chǎn)品庫存控制(multi-echelon technique for recoverable item control,METRIC)模型[19](模型2),使用Matlab軟件計(jì)算裝備群穩(wěn)態(tài)可用度;同時(shí)使用保障效能仿真軟件(SIMLOX)進(jìn)行仿真檢驗(yàn)。3種計(jì)算方法的結(jié)果如表4所示,繪制的曲線如圖3所示。

表2 部件信息

表3 備件庫存方案

圖3可以看出,在各備件庫存方案下，3種模型的穩(wěn)態(tài)可用度曲線幾乎重合。隨著各類備件數(shù)量的增多,裝備群穩(wěn)態(tài)可用度逐漸增大并接近于1。對圖3中庫存方案編號(hào)為4、5處進(jìn)行局部放大,結(jié)果顯示本文模型的結(jié)果同METRIC模型結(jié)果十分接近,但前者略微大于后者,更接近SIMLOX仿真的結(jié)果。METRIC模型假設(shè)裝備在工作過程中,對備件的需求量服從泊松分布。在計(jì)算備件的EBO時(shí),設(shè)定備件短缺數(shù)的取值從1到無窮大,而實(shí)際裝備群中備件短缺數(shù)取值是有限的,因此使用METRIC模型計(jì)算的EBO會(huì)偏高。而本文建立的CTMC族模型中,選取的狀態(tài)空間確保備件短缺數(shù)的取值符合實(shí)際情況,因此本文模型計(jì)算的備件短缺數(shù)要小于METRIC模型的結(jié)果。通常情況下,裝備群的EBO最小等價(jià)于無串件拼修時(shí)穩(wěn)態(tài)可用度最大。故本文模型計(jì)算的穩(wěn)態(tài)可用度要略微大于METRIC模型的計(jì)算結(jié)果,更接近于SIMLOX仿真的結(jié)果。由此可以看出,本文通過構(gòu)建CTMC族模型計(jì)算裝備群穩(wěn)態(tài)可用度的方法是可行且有效的。

表4 不同備件庫存方案下穩(wěn)態(tài)可用度的結(jié)果

圖3 不同備件庫存方案下穩(wěn)態(tài)可用度曲線Fig.3 Steady state availability curves under different spare parts inventory schemes

4 結(jié) 論

通過本文研究,可以得出如下結(jié)論:

(1) 分析了裝備群的構(gòu)型特點(diǎn),構(gòu)建了滿足庫存平衡關(guān)系的部件CTMC,并根據(jù)部件間的故障邏輯關(guān)系建立了裝備群CTMC族模型。相對以往利用馬爾可夫過程分析裝備群可用度的模型而言,這種建模方式能夠有效降低裝備群CTMC建模空間維數(shù)。

(2) 在求解裝備群CTMC族穩(wěn)態(tài)概率的基礎(chǔ)上,結(jié)合各類部件的期望備件短缺數(shù)與可用裝備數(shù)之間的關(guān)系,給出了裝備群穩(wěn)態(tài)可用度與部件庫存狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率之間的函數(shù)關(guān)系。

(3) 提出了基于CTMC族的裝備群穩(wěn)態(tài)可用度建模的算法流程與框架,為應(yīng)用CTMC方法計(jì)算裝備群效能指標(biāo)提供了一種新的技術(shù)途徑。

(4) 對本文建立的模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。對比案例結(jié)果發(fā)現(xiàn),應(yīng)用本文模型計(jì)算裝備群穩(wěn)態(tài)可用度比METRIC模型結(jié)果更接近于仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

本文假設(shè)對故障件的維修能力無限,但在實(shí)際維修中由于一些原因的限制,維修能力往往是有限的。故未來的研究工作會(huì)著眼于研究包含維修約束的情況,建立維修能力有限的裝備群穩(wěn)態(tài)可用度模型。

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