劉正華, 溫 暖, 祝令譜

(北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院, 北京 100191)

0 引 言

常規(guī)飛行器雖然可以進行大包線、多任務的飛行,但其在不同飛行條件下的氣動性能不是最優(yōu)的,其氣動外形是基于各個任務段的折衷設計。然而,變體飛行器依靠自身配備的智能驅(qū)動機構(gòu),可以大尺度的改變氣動外形。此種技術(shù)使得飛行器能夠在差異較大的飛行環(huán)境中完成擬定的飛行任務,且總體飛行性能不會出現(xiàn)明顯的削弱。因此在航空領(lǐng)域中,智能變體飛行器一直作為研究熱點,得到了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注[1]。

但是變體自由度對氣動參數(shù)的求取和變體動態(tài)過程中的建模與姿態(tài)穩(wěn)定控制提出了更高的要求。如何建立能夠真實反映變體飛行器動態(tài)特性的數(shù)學模型,同時使設計出的控制器能夠保證機體變形過程的穩(wěn)定性和動態(tài)響應成為了變體飛行器研究的重點之一。線性變參數(shù)(linear parameter varying, LPV)技術(shù)可以涵蓋大范圍的參考點并且還可以描述復雜系統(tǒng)由于某些參數(shù)變化而具有的動態(tài)特性[2]。因此,近年來針對變體飛行器的LPV建模和基于LPV系統(tǒng)的動態(tài)輸出穩(wěn)定控制器設計已較為成熟。文獻[3]采用準定常假設氣動參數(shù)的方法,給出了一種翼展可伸縮的變體飛行器縱平面LPV模型,并依賴于單一李雅普諾夫函數(shù)方法,設計了狀態(tài)反饋控制器,并給出了保證系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的LMI條件。文獻[4]對于一種后掠角可變的飛行器,設計了平滑切換LPV控制器,保證了變體過程中的切換穩(wěn)定性。在文獻[5]中,基于增益整定的H∞控制方法,對一種折疊翼飛行器設計了LPV魯棒控制器。文獻[6]采用基于奇異值分解的張量積轉(zhuǎn)換方法,對一種大尺度的變體飛行器設計了LPV控制器。

對于原始的非線性系統(tǒng),可以在多個平衡參考點上進行Jacobian線性化從而得到一系列的線性時不變(linear time-invariant, LTI)模型。之后,全局的LPV模型可以通過插值和擬合這些LTI系統(tǒng)而得到。這是當今最常用的飛行器LPV模型獲取方法[2]。然而這種近似線性化方法無疑會帶來模型參數(shù)上的不確定性。在控制器設計階段,必須考慮由于系統(tǒng)參數(shù)攝動帶來的模型不確定性。因此,LPV系統(tǒng)的魯棒控制器是使被控對象滿足理想性能的一種有效解決途徑。滑模變結(jié)構(gòu)技術(shù)作為一種魯棒控制策略,由于其滑動模態(tài)的不變性使其對系統(tǒng)的參數(shù)攝動和外部擾動均不敏感,從而廣泛的應用到不確定的LTI系統(tǒng)中[7-9]。但是對于LPV系統(tǒng),只有少量的關(guān)于滑模技術(shù)的研究。其中大部分還是作為滑模觀測器應用到LPV系統(tǒng)中[10-11]。在僅有的對于LPV系統(tǒng)的滑模控制器中,文獻[12]提出了一種時變的超平面滑?？刂?。文獻[13]設計了一種積分滑模控制器,并將其應用到實際的LPV系統(tǒng)模型中。在最近的文獻[14]中,二階滑?？刂萍夹g(shù)被應用到不確定的LPV系統(tǒng)中。但上述滑模LPV控制器都不能夠有效解決系統(tǒng)中的不匹配不確定性問題。

故本文以一類翼展可伸縮飛行器的多胞體LPV模型為研究對象,將原先應用于LTI系統(tǒng)中的滑?？刂萍夹g(shù)拓展到了不確定的LPV系統(tǒng)中。給出了針對系統(tǒng)中存在的不匹配不確定性的滑動模態(tài)存在性條件和有限時間收斂的趨近律控制器設計步驟。本文的主要貢獻在于:在變結(jié)構(gòu)控制器的滑模面函數(shù)求取過程中,推導出一種可以很大程度降低保守性的線性矩陣不等式(linear matrix inequality, LMI)條件;通過參數(shù)依賴的Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性分析,證明所設計的趨近律可以使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂至滑動模態(tài)。

1 多胞體LPV變體飛行器模型

本文以左右機翼可以對稱的沿翼展方向水平伸縮的輕型飛機Navion L-17[3]作為研究平臺。其機翼的大幅度伸展可以迅速地影響到飛機的固有氣動參數(shù)。假設可達到的最大翼展是原本體翼展的2倍,變體效果如圖1所示。翼展變形率ξ=Δb/b作為變體調(diào)度量,其中Δb為翼展變形量,b為本體翼展,可知ξ∈[0,1]。

圖1 變體形態(tài)示意圖Fig.1 Morphing configuration

1.1 變體非線性模型描述

此變體飛行器的縱平面運動學與動力學方程是建立在飛行器的氣流坐標系中。

(1)

式中,飛行空速和海拔用V與h表示;俯仰角速度和俯仰角以q和θ表示;m和Iy分別表示變體飛行器的固有質(zhì)量和繞y軸的轉(zhuǎn)動慣量;推力以T=Tδtδt表示,其中δt為油門開度,Tδt為油門推力系數(shù);g代表重力加速度。

式(1)中的氣動力和氣動力矩以及各氣動系數(shù)與迎角α、升降舵偏角δe關(guān)系的表達式均取自于文獻[3]。

1.2 多胞體LPV建模

本文只考慮變體飛行器在縱向平面運動,選取飛行器的工作參考點為飛行海拔h0=1 524 m,空速V0的馬赫數(shù)為0.1。且飛行器在水平無側(cè)滑勻速平飛時進行變體運動,并以此為所研究的運動過程。對于變體飛行器的非線性系統(tǒng)(1), Jacobian線性化是獲得其LPV模型的最常用方法。平衡點選取為ξ=0,0.1,0.2,…,1,此變體飛行器的多項式參數(shù)依賴LPV模型可表示為

(2)

對于此多項式參數(shù)依賴的LPV系統(tǒng)(2),采用文獻[15]中的高階奇異值分解(high order sigular value decomposition,HOSVD)方法獲得其多胞體LPV模型。在綜合建模準確度與計算復雜性基礎(chǔ)上,舍棄較小的奇異值及其對應的特征向量,最終獲得具有兩個頂點的多胞體LPV系統(tǒng)如下:

(3)

式中,頂點Ai和權(quán)值函數(shù)λi(ξ)的具體表達式如下:

當基于Jacobian線性化和張量積轉(zhuǎn)換,將非線性系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)換至多胞體LPV系統(tǒng)(3)后,這兩個系統(tǒng)模型應具有近似一致的動態(tài)響應。假設翼展變形率ξ在10 s內(nèi)由ξ=0變?yōu)棣?1,此兩種模型在變體過程中的動態(tài)響應比較如圖2所示。

圖2 LPV模型與非線性模型的開環(huán)動態(tài)響Fig.2 Nonlinear model vs. LPV model

從圖2可以看出多胞體LPV模型與非線性模型的開環(huán)動態(tài)響應差別很小。多胞體LPV模型在一定程度上可以描述原始非線性系統(tǒng)的動態(tài)特征。因此,后續(xù)的控制器設計可以基于此LPV系統(tǒng)。并且由圖2可得在沒有控制器保證的變體過程中,高度與速度變化劇烈,不能維持原來的初始值。由于翼展變長,翼面積變大,導致升力系數(shù)變大,故攻角減小以尋求新的平衡狀態(tài)。

通常情況下變體飛行器的氣動參數(shù)獲取是基于準定常氣動假設的[15]。但是在此大尺度變體過程中氣動參數(shù)會出現(xiàn)“滯回環(huán)”效應[16],即非定常的氣動參數(shù)會出現(xiàn)在變體過程中,已知的氣動參數(shù)存在不確定性。與此同時,整機的重心和轉(zhuǎn)動慣量均會隨著變體機構(gòu)的運轉(zhuǎn)而發(fā)生變化。故本文考慮如下的帶有參數(shù)攝動項的不確定多胞體LPV系統(tǒng)

(4)

式中,ΔA為系統(tǒng)參數(shù)矩陣的攝動不確定項；ΔB為控制輸入矩陣的攝動不確定項。

對于此變體飛行器帶有不確定項的LPV模型,需設計魯棒控制器使得飛行器在變體動態(tài)過程中全局穩(wěn)定且變體前后保持速度與高度不變。

2 滑模魯棒LPV控制器設計

對于不確定LPV系統(tǒng)(4),本文對如式(5)所表示的多胞體LPV系統(tǒng)設計滑模魯棒控制器。

(5)

式中,x為系統(tǒng)狀態(tài)變量;u為系統(tǒng)的控制輸入;A(Θ)為系統(tǒng)的名義LPV系數(shù)矩陣;ΔA(Θ)代表系數(shù)矩陣參數(shù)的模型不確定量;B為系統(tǒng)的控制輸入常矩陣;此LPV系統(tǒng)的時變參數(shù)向量Θ(t)=[θ1(t),…,θm(t)]T∈Rm。

假設3B為列滿秩矩陣,且B⊥為矩陣BT的零空間上的任意一組基。

注1當B矩陣為時變參數(shù)矩陣或者含有不確定性時,可在控制輸入量u前加入適當?shù)臑V波器使控制矩陣B(Θ)或者B+ΔB成為系數(shù)矩陣的A(Θ)的一部分[17]。故對于一般的LPV系統(tǒng),通過此方法構(gòu)成的增廣形式的系統(tǒng)模型仍具備式(5)形式。

針對具有不匹配的不確定性的LPV系統(tǒng)(5),魯棒滑?？刂破鞯脑O計步驟主要包括:滑動模態(tài)的存在性證明和趨近律控制器設計。

2.1 基于LMI的滑動模態(tài)的存在性證明

首先,滑模面選取為

s(t)=BTP-1x(t)

(6)

式中,BT為式(5)中的控制矩陣B的轉(zhuǎn)置；P為待設計的正定實對稱Lyapunov矩陣。

定義轉(zhuǎn)換矩陣M和轉(zhuǎn)換后的狀態(tài)向量v為

(7)

式中,B⊥為矩陣BT的零空間上的任意一組基。

則原系統(tǒng)(5)的等價轉(zhuǎn)換形式為

(8)

式中,M1與M2如式(7)所示。

對于此等價形式的動態(tài)系統(tǒng)(8),其處于滑模面上的降階動態(tài)[7-8]可以表示為

(9)

定理1對于給定的不確定性常數(shù)εΔ,滑模面s(t)存在且滑模切換面上的動態(tài)系統(tǒng)(9)是魯棒穩(wěn)定的充分條件為存在S個矩陣Pi>0,標量σ>0及分塊矩陣

滿足LMI約束條件式(10)和式(11):

(10)

(11)

(12)

證明根據(jù)魯棒穩(wěn)定性定理,系統(tǒng)(9)穩(wěn)定的充分條件為存在矩陣Xc>0滿足

{M1[A(Θ)+ΔA(Θ)]PB⊥}TXc+

Xc{M1[A(Θ)+ΔA(Θ)]PB⊥}<0

(13)

Π(Θ)=

(14)

為了降低由單一Lyapunov函數(shù)帶來的保守性問題,本文在不同的頂點處采用不同的Lyapunov的函數(shù),從而實現(xiàn)參數(shù)依賴的思想。即令P滿足

(15)

則Π(Θ)可以等價的表示為

Π(Θ)=

(16)

由式(16)可知

(17)

由式(11)與式(17)可得

(18)

證畢

注2對于整個多胞體LPV系統(tǒng),定理1采用文獻[18]中的方法,在增加一定的計算量的前提下,沒有要求存在任何公共的矩陣變量滿足所需要的矩陣不等式。這與文獻[19]中通過引入附加矩陣解除Lyapunov矩陣與系統(tǒng)矩陣耦合乘積項,從而實現(xiàn)參數(shù)依賴穩(wěn)定思想的處理方法的根本區(qū)別。故定理1具有較低的保守性。

2.2 有限時間收斂的趨近律控制器設計

在上一節(jié)基礎(chǔ)上,將基于參數(shù)依賴思想設計滑模趨近控制律,使不確定性LPV系統(tǒng)(5)在此控制律下能夠在有限時間內(nèi)收斂到滑模切換面s(t)=0上,并且在之后一直保持此滑動模態(tài)運動。

定理2假定滑模面式(6)存在,即不等式(10)與式(11)對于Pi有解,則不確定的LPV系統(tǒng)軌跡式(5)在滑模趨近律式(19)控制下可以在有限時間內(nèi)到達切換面s(t)=0。

u(t)=-M2(Θ)[A(Θ)+P′(Θ)P(Θ)-1[BM2(Θ)-I]]x(t)-

κ(Θ)sign(M2(Θ)x(t))

(19)

式中,M2(Θ)如式(7)所示(并取P=P(Θ)),且

(20)

μ>0為可調(diào)增益參數(shù)。

證明選取s(t)=0作為滑模切換面,故參數(shù)依賴的Lyapunov函數(shù)選取為

(21)

(22)

此外注意到

與κ(Θ)>0

(23)

得到不等式

(24)

代入式(20),不等式(24)可以等價地表示為

(25)

證畢

3 仿真與分析

表1 參數(shù)不確定性

表2 控制器參數(shù)

對閉環(huán)系統(tǒng)進行50次蒙特卡羅仿真,每次仿真中各參數(shù)的不確定性獨立隨機變化,仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 控制輸出圖Fig.3 Output of the controller

圖4 控制效果圖Fig.4 Effectiveness of the controller

由圖3和圖4可以看出,在變形過程中,所設計的滑?？刂破髟趨?shù)攝動的情況下能夠保證高度只有0.2 m的變化,速度有不大于0.02 m/s的變化。且在10 s后變體運動結(jié)束時,飛行器的飛行海拔和空速與變體前相同,這是由于狀態(tài)變量中存在有飛行海拔與空速的誤差積分環(huán)節(jié)。由于存在參數(shù)攝動,升降舵和俯仰角速度在初始階段會出現(xiàn)較大的變化,但其均在可接受的范圍內(nèi)。變體結(jié)束后的攻角、升降舵偏角和油門均達到新的平衡值。翼展的增加會使油門呈減小趨勢,這也說明了變體飛行器依靠氣動外形改變來優(yōu)化飛行性能的特性。綜上,所設計的滑模魯棒LPV控制器能較好的保證變體動態(tài)過程的閉環(huán)系統(tǒng)性能,消除參數(shù)不確定性所帶來的影響,維持變體前后定速定高飛行。

4 結(jié) 論

(1) 利用Jacobian線性化和模型張量積轉(zhuǎn)換,將變體過程中非線性模型轉(zhuǎn)化為多胞體LPV模型。所得的LPV模型中參數(shù)矩陣存在不匹配的不確定性。

(2) 將原先只存在于LTI系統(tǒng)的滑?？刂破魍茝V到此不確定的LPV系統(tǒng)中。此控制器設計過程分為了兩步:首先給出了LMI形式的定理,保證在不匹配不確定性的情況下的滑動模態(tài)的存在性和穩(wěn)定性。再者設計參數(shù)依賴的趨近律控制器,其可以使原LPV系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂至滑模切換面上。

(3) 50次非線性仿真結(jié)果表明,運用所設計的魯棒滑?？刂破?在存在參數(shù)攝動和模型不匹配的情況下,可以保證變體過程中全局穩(wěn)定性,并使變體前后速度和高度不變。

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