吳舜裕 許剛

隨著信息科技、能源技術(shù)等工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)發(fā)展,人們生活已極度依存于由通信、電網(wǎng)、社交傳媒等形成的復雜網(wǎng)絡[1].復雜網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)特征分析與關(guān)鍵節(jié)點辨識一直是相關(guān)學者的研究重點之一,通過保護復雜網(wǎng)絡中關(guān)鍵節(jié)點,可有效保障網(wǎng)絡運行完整性、可靠性以及傳輸性能.實際工業(yè)領(lǐng)域復雜網(wǎng)絡通常由各類具有不同功能特征的節(jié)點所組成,形成單層或多層異質(zhì)異構(gòu)網(wǎng)絡[2].同時,工業(yè)異質(zhì)復雜網(wǎng)絡大多采用固定路徑進行節(jié)點間介質(zhì)(信息、能量)的有向傳遞,是一種有向復雜網(wǎng)絡.在介質(zhì)傳輸過程中,若節(jié)點i其所依存節(jié)點j失效(i與j可以是同類節(jié)點,也可以是不同類型節(jié)點),則必然導致節(jié)點i隨之失效,并進一步引起依存于節(jié)點i的其他節(jié)點失效,形成網(wǎng)絡故障傳播.例如:當含分布式電源的配電網(wǎng)進行獨立供電時,負荷節(jié)點依存供電能力范圍內(nèi)的電源,離電源較遠負荷節(jié)點的供電又依存于供電路徑上離電源較近的負荷點;社交網(wǎng)絡中,網(wǎng)絡群眾的信息獲取依賴于某一個關(guān)鍵的信息傳播用戶,而信息傳播用戶又可能依存于特定的信息來源.當上述網(wǎng)絡中上級節(jié)點失效時,必然導致下級節(jié)點能源或信息獲取的中斷.因此,針對此類含多種類型節(jié)點的網(wǎng)絡進行節(jié)點間依存關(guān)系分析,識別關(guān)鍵節(jié)點并進行有效保護,可有效降低由節(jié)點故障或被攻擊導致的網(wǎng)絡破壞.

現(xiàn)有在評估復雜網(wǎng)絡節(jié)點時采用的網(wǎng)絡故障模式可分為兩類:1)鏈路中斷[3?4];2)級聯(lián)失效[5?6].采用鏈路中斷的思想去評估復雜網(wǎng)絡中關(guān)鍵節(jié)點時,通常假設(shè)網(wǎng)絡中某一節(jié)點失效后,僅對相鄰連通支路產(chǎn)生影響,并分析節(jié)點失效對復雜網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)、節(jié)點間最短路徑、介數(shù)等特征參數(shù)的影響.該辨識方法是基于網(wǎng)絡靜態(tài)特征進行的關(guān)鍵節(jié)點辨識,而真實網(wǎng)絡具備顯著的動態(tài)特征,網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)變化會影響非故障節(jié)點存在的有效性,從而引起進一步的節(jié)點連鎖失效[7?8].級聯(lián)失效是指如果網(wǎng)絡中一個或少量的元素(節(jié)點或邊)因發(fā)生故障而不可用,會引發(fā)網(wǎng)絡中介質(zhì)或負荷的重分配,反過來又會引起其他節(jié)點因負載過高而崩潰失效,由此使得故障逐步傳播產(chǎn)生級聯(lián)效應,最終導致網(wǎng)絡中相當一部分節(jié)點甚至整個網(wǎng)絡的崩潰[9].級聯(lián)失效考慮了復雜網(wǎng)絡失效節(jié)點與隱藏鏈路、節(jié)點負載能力之間的關(guān)系,通過計算負載轉(zhuǎn)移判斷相鄰節(jié)點連鎖故障效應,對物流、交通、無線傳感等不具固定傳輸路徑的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)進行關(guān)鍵節(jié)點辨識具有較好的應用價值.然而,對于通信骨干網(wǎng)架、社交網(wǎng)絡、電網(wǎng)等異質(zhì)依存網(wǎng)絡(Heterogeneous-interdependent network,HI net)中,通常存在大量異質(zhì)節(jié)點之間可能并不存在直接有效的介質(zhì)傳輸路徑,卻存在相互依存關(guān)系.而現(xiàn)有級聯(lián)失效分析通常只是通過單純的物理路徑進行故障分析,無法體現(xiàn)節(jié)點中異質(zhì)依存關(guān)系.同時,異質(zhì)節(jié)點故障類型不同所導致的網(wǎng)絡衰退結(jié)果也存在很大區(qū)別,可能是對網(wǎng)絡運行穩(wěn)定性的影響,也可能是對網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的直接影響.若統(tǒng)一采用級聯(lián)故障進行關(guān)鍵節(jié)點識別無法區(qū)分異質(zhì)節(jié)點故障類型的故障擴散程度.因此,采用級聯(lián)故障分析異質(zhì)依存網(wǎng)絡中關(guān)鍵節(jié)點具有一定不適用性.

在網(wǎng)絡依存特征方面,Buldyrev等首次在Nature中提出了相互依存網(wǎng)絡理論,描述了不同網(wǎng)絡間耦合節(jié)點依存性對復雜網(wǎng)絡的影響[10?11],并以電力系統(tǒng)中的信息物理系統(tǒng)為例,描述了單邊網(wǎng)絡節(jié)點失效導致另一網(wǎng)絡對應耦合節(jié)點的直接失效以及后續(xù)故障擴散過程.而工業(yè)網(wǎng)絡中通常含有不同類型的節(jié)點或邊,是一種典型的異質(zhì)網(wǎng)絡,且單個工業(yè)異質(zhì)網(wǎng)絡中上下游節(jié)點之間存在直接或間接的有效性耦合.此外,上述方面均無法體現(xiàn)網(wǎng)絡中節(jié)點跨越中間節(jié)點的依存關(guān)系,對工業(yè)復雜網(wǎng)絡應用具有一定的局限性.

針對工業(yè)領(lǐng)域普遍存在的異質(zhì)依存網(wǎng)絡,給出了異質(zhì)依存網(wǎng)絡定義與特征.綜合分析了異質(zhì)節(jié)點間的依存關(guān)系,并將異質(zhì)依存網(wǎng)絡衰退分為:網(wǎng)絡狀態(tài)衰退與結(jié)構(gòu)衰退兩類.提出了異質(zhì)依存網(wǎng)絡中節(jié)點依存關(guān)系的數(shù)學描述方法,實現(xiàn)多層網(wǎng)絡的節(jié)點依存關(guān)系描述.根據(jù)異質(zhì)依存網(wǎng)絡特征,考慮節(jié)點依存關(guān)系,提出節(jié)點鄰域效用耦合系數(shù)計算方法,并通過改進后的PageRank算法分析節(jié)點故障對網(wǎng)絡效用關(guān)聯(lián)性.以電力系統(tǒng)作為典型的異質(zhì)依存網(wǎng)絡進行仿真計算驗證,分別驗證了所提方法對不同節(jié)點故障類型下關(guān)鍵節(jié)點識別的有效性.

1 異質(zhì)依存網(wǎng)絡定義及其特征

1.1 異質(zhì)依存網(wǎng)絡基本性質(zhì)

異質(zhì)網(wǎng)絡指擁有不同屬性元素的復雜網(wǎng)絡.異質(zhì)網(wǎng)絡根據(jù)網(wǎng)絡中元素類型細化了各節(jié)點、邊之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系,形成包含多類節(jié)點或邊的復雜網(wǎng)絡.在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的變現(xiàn)形式上,異質(zhì)網(wǎng)絡可描述為一種特殊的有向圖[12].

定義1.異質(zhì)網(wǎng)絡

給定有向圖G= (V,E;φ,ψ;A,R),其中:V=v1,v2,···,vN}為節(jié)點集合,E={e1,e2,···,eM}為邊集合.存在節(jié)點類型映射函數(shù):φ:V→A,滿足φ(v)∈A(v∈V),存在邊類型映射函數(shù):ψ:E→R,滿足ψ(e)∈R(e∈E).當節(jié)點類型數(shù)量|A|>0或邊類型數(shù)量|R|>0,則稱G為一種異質(zhì)網(wǎng)絡.

區(qū)別于傳統(tǒng)的復雜網(wǎng)絡,異質(zhì)網(wǎng)絡對內(nèi)部節(jié)點或邊的所屬類型均應有明確的區(qū)分.同樣,對邊集合的異質(zhì)性區(qū)分可按邊介質(zhì)傳輸方向特征也可按具體系統(tǒng)中邊的其他物理屬性.特別的,設(shè)節(jié)點vi至vj(i,j∈N)間存在連通路徑vieijvj,節(jié)點vj至vi間路徑記為vjejivi,在異質(zhì)網(wǎng)絡中可能eij≠eji.

在工業(yè)異質(zhì)網(wǎng)絡或社交異質(zhì)網(wǎng)絡中,異質(zhì)節(jié)點間狀態(tài)通常存在一定關(guān)聯(lián)特征.即當異質(zhì)依存網(wǎng)絡中某節(jié)點的狀態(tài)(一般指節(jié)點的運行狀態(tài)、節(jié)點內(nèi)部結(jié)構(gòu)、節(jié)點有效性等)發(fā)生變化時,通常會對由多個鄰居節(jié)點構(gòu)成的鄰域節(jié)點群形成一定影響,并通過鄰域節(jié)點群進而將這種狀態(tài)變化擴散至整個網(wǎng)絡,形成類似馬爾科夫過程的網(wǎng)絡狀態(tài)轉(zhuǎn)移.這種狀態(tài)轉(zhuǎn)移可以是改變了異質(zhì)節(jié)點的狀態(tài),也可能致使其直接失效.此外,根據(jù)不同復雜網(wǎng)絡中節(jié)點異質(zhì)性、耦合關(guān)系以及網(wǎng)絡結(jié)構(gòu),異質(zhì)節(jié)點間狀態(tài)耦合傳遞方向(單向傳遞或雙向傳遞)與程度均存在差異.以電網(wǎng)為例,當供電母線出現(xiàn)暫態(tài)振蕩時(電壓與頻率的波動),故障會沿供電路徑進行雙向傳遞,而不是只沿著電流方向.對于含多分布式電源配電網(wǎng),電源點母線與負荷點母線出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象時,對整個電網(wǎng)的穩(wěn)定性顯然是不同的,這也說明了異質(zhì)節(jié)點對系統(tǒng)影響的差異性.

定義2.異質(zhì)依存網(wǎng)絡 (Heterogeneousinterdependent network,HI Net)

設(shè)有向圖G=(V,E;φ,ψ;A,R)為一個異質(zhì)網(wǎng)絡,元素集合Ta與Tb為節(jié)點集合V或邊集合E的子集,且若存在集合Ta的狀態(tài)f(Ta)失穩(wěn)(或失效)后會引起Tb狀態(tài)f(Tb)隨著趨向于不穩(wěn)定狀態(tài)甚至失效,記作:

則稱G為一個異質(zhì)依存網(wǎng)絡.其中ζmin、ζmax為節(jié)點有效運行狀態(tài)閾值.當|Ta|=1時,稱Tb對Ta完全依存;|Ta|>1時,稱Tb對Ta中元素部分依存.

定義2描述了異質(zhì)依存網(wǎng)絡的主要特征與性質(zhì),所述異質(zhì)節(jié)點間的依存關(guān)系可以是單向依存也可以為雙向依存,主要取決于不同系統(tǒng)中異質(zhì)節(jié)點特性.

1.2 異質(zhì)依存網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)及其描述方法

對于異質(zhì)依存網(wǎng)絡節(jié)點的區(qū)分,可以是根據(jù)節(jié)點介質(zhì)出入度關(guān)系、節(jié)點功能、節(jié)點承載介質(zhì),也可是網(wǎng)絡中節(jié)點對應具體物理系統(tǒng)或信息系統(tǒng)的物理意義.同時,根據(jù)不同的研究目標,異質(zhì)依存網(wǎng)絡的表現(xiàn)形式可以是多樣化的.以電力系統(tǒng)為例,其異質(zhì)依存網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)形式大致可分為三類.

圖1所示為根據(jù)節(jié)點異質(zhì)性,對電網(wǎng)進行多層網(wǎng)絡分離或節(jié)點劃分后的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)示意圖.Sergey等根據(jù)節(jié)點承載介質(zhì)特征,將電力系統(tǒng)分割為圖1(a)所示電力通信網(wǎng)與電網(wǎng)兩層,形成類似電力信息物理系統(tǒng)的概念來描述電網(wǎng)中多層異質(zhì)網(wǎng)絡依存關(guān)聯(lián),并規(guī)定單邊網(wǎng)絡中節(jié)點均為同質(zhì)節(jié)點.單層網(wǎng)絡中節(jié)點通過網(wǎng)絡路徑進行介質(zhì)(信息或電能)傳遞的有效路徑.同時,由于上層信息網(wǎng)負責下層電網(wǎng)節(jié)點的監(jiān)控與控制,而下層電網(wǎng)節(jié)點又對上層信息網(wǎng)節(jié)點進行供電,兩者是一種“相輔相成”的關(guān)系.

圖1(b)根據(jù)電壓等級對整個電網(wǎng)進行分層,上層高壓電網(wǎng)通過變電站降壓之后對下層低壓電網(wǎng)進行供電.同時,各層電網(wǎng)中又由電源節(jié)點、變電節(jié)點、負荷節(jié)點三類基本異質(zhì)節(jié)點構(gòu)成,形成有向異質(zhì)網(wǎng)絡.當上游節(jié)點失效后,必然導致下層無其他供電路徑的節(jié)點處于失電狀態(tài),即異質(zhì)節(jié)點間又存在依存關(guān)系,是一種典型的分層結(jié)構(gòu)下異質(zhì)依存網(wǎng)絡.此外,得益于智能電網(wǎng)技術(shù)發(fā)展與電網(wǎng)深化改造,現(xiàn)階段電網(wǎng)已實現(xiàn)部分區(qū)域電網(wǎng)互聯(lián)功能,使得區(qū)域電網(wǎng)上級供電點故障失效后可由鄰近互聯(lián)電網(wǎng)進行供電,在一定程度提升了網(wǎng)絡可靠性.

圖1(c)為一種典型的含多種分布式電源智能配電網(wǎng)結(jié)構(gòu),可視作對圖1(b)中單層網(wǎng)絡異質(zhì)節(jié)點細化分類,將電源節(jié)點進一步劃分為發(fā)電機單元與可再生能源單元(光伏、風機等).該網(wǎng)絡具備之前所提高低壓分層電網(wǎng)的分層特征,但由于可再生能源節(jié)點輸出功率的隨機性與波動性,無法對負荷節(jié)點進行獨立供電.因此,圖1(c)中可再生能源節(jié)點對發(fā)電機節(jié)點也存在依存關(guān)系,即負荷節(jié)點依存于異質(zhì)電源節(jié)點,而電源節(jié)點中可再生能源節(jié)點又依存于發(fā)電機單元節(jié)點.

圖1(a)和(b)對復雜網(wǎng)絡進行了分層處理,形成多層結(jié)構(gòu)下的異質(zhì)依存網(wǎng)絡,這種分層處理形象化體現(xiàn)了網(wǎng)絡中異質(zhì)節(jié)點間依存關(guān)系.然而,即使是對異質(zhì)網(wǎng)絡進行一定程度的分層,同一層網(wǎng)絡其實依然存在進一步進行分層劃分的可能.例如圖1(a)中的信息網(wǎng),我們可以根據(jù)信息網(wǎng)中節(jié)點功能,將信息節(jié)點區(qū)分為狀態(tài)監(jiān)測節(jié)點與調(diào)度節(jié)點,且調(diào)度節(jié)點的有效性依存于狀態(tài)監(jiān)測節(jié)點.由此可知,在進行異質(zhì)節(jié)點區(qū)分和計算過程中,分層處理可能是一個無止盡的過程.且當網(wǎng)絡層數(shù)較多時,由于需要對分層網(wǎng)絡矩陣進行節(jié)點關(guān)聯(lián),會進一步降低計算效率.

圖1 典型異質(zhì)電網(wǎng)節(jié)點結(jié)構(gòu)示例Fig.1 Examples of heterogeneous power grid structure

此外,由于將多層異質(zhì)依存網(wǎng)絡進行合并,形成單層多異質(zhì)依存網(wǎng)絡并不改變網(wǎng)絡中異質(zhì)節(jié)點之間的依存關(guān)系.因此,在實際計算分析過程中,我們可將多層網(wǎng)絡中異質(zhì)節(jié)點融合在同一單層復雜網(wǎng)絡中,并構(gòu)建對應的節(jié)點依存矩陣,而不影響異質(zhì)節(jié)點間依存關(guān)系表達.

圖2所示為一種具有d層結(jié)構(gòu)的異質(zhì)依存網(wǎng)絡,各層網(wǎng)絡內(nèi)部以及不同層中的節(jié)點可以是同質(zhì)節(jié)點也可以是異質(zhì)節(jié)點.不同網(wǎng)絡層間節(jié)點的依存關(guān)系一般可分為三類:“一對一”、“一對多”、“多對一”.“一對一”依存關(guān)系指:兩個節(jié)點數(shù)量相同的依存網(wǎng)絡中,各網(wǎng)絡中節(jié)點在目標網(wǎng)絡中有且只有一個依存節(jié)點對象,具有唯一性(例如:圖2中Layer2與Layer3之間的節(jié)點依存關(guān)系).“一對多”與“多對一”依存關(guān)系指不同異質(zhì)依存網(wǎng)絡中存在一個節(jié)點依存于不同層中多個節(jié)點或網(wǎng)絡中存在多個節(jié)點同時依存于不同層中的某一節(jié)點(例如:圖2中Layer1與Layer2之間的節(jié)點依存關(guān)系).對于此類多層異質(zhì)依存網(wǎng)絡,可將其視為多個平行分區(qū)的單層異質(zhì)依存網(wǎng)絡,并構(gòu)建依存矩陣S:

式中,S是由分塊矩陣組成的多層異質(zhì)依存網(wǎng)絡依存矩陣,通常為稀疏矩陣;對角線矩陣Sdd表示第d層網(wǎng)絡內(nèi)部節(jié)點依存關(guān)系,且Sdd中對角線元素全為零.非對角線上的矩陣元素為不同異質(zhì)網(wǎng)絡層之間異質(zhì)節(jié)點的依存關(guān)系矩陣,如Sd1表示第d層網(wǎng)絡中節(jié)點對第1層網(wǎng)絡中節(jié)點的依存關(guān)系.

圖2 一種簡單的多層異質(zhì)依存網(wǎng)絡Fig.2 A simple multi-layer HI network

若不同層之間的節(jié)點依存關(guān)系為“一對一”依存,則進一步存在:

式中,d1、d2表示不同網(wǎng)絡層的編號;I為單位矩陣;ε為依存關(guān)系系數(shù),ε∈{1,2},ε=1表示節(jié)點間為單向“一對一”依存,ε=2表示節(jié)點間雙向“一對一”依存.

異質(zhì)依存網(wǎng)絡描述了一種含多類型元素(節(jié)點或邊)復雜網(wǎng)絡中,同質(zhì)元素、異質(zhì)元素之間的依存性關(guān)聯(lián).例如:通信骨干網(wǎng)中,路由群依存于上級服務器節(jié)點,同時單一路徑上離服務器較遠的路由節(jié)點又依存于離服務器較近的節(jié)點.

定義3.異質(zhì)節(jié)點間接依存

在異質(zhì)依存網(wǎng)絡G=(V,E;φ,ψ;A,R)中,存在元素集合Ta、Tb與Tc,且集合間兩兩交集為?.Ta與Tb、Tb與Tc之間的依存路徑集合Γab、Γbc為非空集合,Ta與Tc之間依存路徑集合若當時,同時存在:

則稱Tc對Ta存在間接依存關(guān)系.

定義3給出了異質(zhì)依存網(wǎng)絡中非鄰域節(jié)點之間狀態(tài)耦合性與依存性之間關(guān)系.在異質(zhì)依存網(wǎng)絡中,沿依存路徑上的非鄰居節(jié)點均存在效用互耦合性.且隨著故障傳播路徑上異質(zhì)節(jié)點對擾動的吸收,故障節(jié)點對其遠端節(jié)點的擾動影響可能隨著下降.

式中,ta與tc為異質(zhì)依存網(wǎng)絡中存在于可達依存路徑上的元素對象;?f′(tc)為由ta狀態(tài)變化水平?f′(ta)引起的tc狀態(tài)變化程度;γa→c為tc對ta的效用耦合系數(shù),其中:γa→c∈(0,1].當γa→c=1時,tc與ta的狀態(tài)變化具有一致性特征.特別說明的是,若異質(zhì)依存網(wǎng)絡中節(jié)點為雙向依存,ta與tc之間的效用互耦合系數(shù)可能不同,即γa→c≠γc→a.

2 異質(zhì)依存網(wǎng)絡衰退過程

根據(jù)上述異質(zhì)依存網(wǎng)絡定義及相關(guān)特征,可知異質(zhì)節(jié)點之間依存關(guān)系可分為:完全依存、部分依存、間接依存3類.當異質(zhì)依存網(wǎng)絡中節(jié)點狀態(tài)發(fā)生變化,會直接完全作用于完全依存節(jié)點,并通過依存路徑影響網(wǎng)絡其他節(jié)點運行狀態(tài).這種運行狀態(tài)的轉(zhuǎn)移可能是效用水平下降也可能是節(jié)點失效,并通過依存節(jié)點間的傳遞擴散至整個網(wǎng)絡,形成異質(zhì)依存網(wǎng)絡的衰退.在工業(yè)系統(tǒng)中,節(jié)點效用水平下降也可能最終導致節(jié)點失效.以圖3所示電力中信息物理網(wǎng)的典型異質(zhì)依存網(wǎng)絡為例,進一步描述異質(zhì)依存網(wǎng)絡中某節(jié)點失效后對網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)以及其他節(jié)點的衰退過程.

如圖3所示為典型工業(yè)系統(tǒng)中電力信息異質(zhì)依存網(wǎng)絡,其中信息節(jié)點由電力節(jié)點進行供電(即當電網(wǎng)節(jié)點實效后其供電的信息節(jié)點立即失效),是一種完全依存關(guān)系.網(wǎng)絡共包含12個異質(zhì)節(jié)點,網(wǎng)絡中異質(zhì)節(jié)點類型有:信息節(jié)點、負荷節(jié)點、發(fā)電機節(jié)點以及可再生能源節(jié)點,路徑方向為各節(jié)點間不完全依賴于實際物理路徑的依存路徑方向.由圖3所示結(jié)構(gòu)衰退過程可知,當電力信息異質(zhì)依存網(wǎng)絡中發(fā)電機節(jié)點失效后,依存于該發(fā)電機的信息節(jié)點、負荷節(jié)點以及可再生能源節(jié)點失效.然而,通過失效節(jié)點形成網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的衰退,并最終退化為一個不完全依賴于失效節(jié)點,可獨立存在的異質(zhì)依存網(wǎng)絡.

根據(jù)上述典型異質(zhì)依存網(wǎng)絡衰退過程,可知:對于一個異質(zhì)依存網(wǎng)絡,當某一節(jié)點失效引起網(wǎng)絡衰退時,該衰退過程只能通過依存路徑在可達距離內(nèi)進行傳播.且對于部分依存節(jié)點,故障不一定會導致其失效.此外,區(qū)別于現(xiàn)有依存網(wǎng)絡概念,異質(zhì)依存網(wǎng)絡的依存路徑可能并不依賴于實際網(wǎng)絡鏈路,可以是一種跨越網(wǎng)絡介質(zhì)傳輸路徑方向的異質(zhì)節(jié)點依存關(guān)系.例如圖3中可再生能源節(jié)點與發(fā)電機節(jié)點并非直接相連,但由于節(jié)點功率特征的依存關(guān)系,當可再生能源節(jié)點所依存的發(fā)電機失效時,可再生能源節(jié)點也直接失效.

性質(zhì) 1.對于異質(zhì)依存網(wǎng)絡G=(V,E;φ,ψ;A,R),存在節(jié)點vi、vj、vk滿足:f(vi)～f(vj),f(vi)～f(vk),若γi→j=1,γi→k∈(0,1),則當vi失效后,vj必然趨于不穩(wěn)定直至失效,而vk可能依然存在.

性質(zhì) 2.異質(zhì)依存網(wǎng)絡G=(V,E;φ,ψ;A,R)中異質(zhì)節(jié)點vi、vj,若異質(zhì)節(jié)點間介質(zhì)傳輸路徑Eij=?,依存路徑Γki≠?,且vj對于網(wǎng)絡中其他節(jié)點存在Γki=?,則當時,依然會導致vj趨向于失效

3 關(guān)鍵節(jié)點識別方法

3.1 鄰域節(jié)點效用耦合

異質(zhì)依存網(wǎng)絡中節(jié)點重要性程度可轉(zhuǎn)換為節(jié)點失效后對網(wǎng)絡運行穩(wěn)定性、完整性以及剩余節(jié)點生存強度等方面的影響.在網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)固定時,網(wǎng)絡內(nèi)異質(zhì)節(jié)點間的依存關(guān)系相對固定.以單層異質(zhì)依存網(wǎng)絡為研究對象,根據(jù)異質(zhì)依存網(wǎng)絡依存路徑、異質(zhì)節(jié)點類型,建立節(jié)點依存矩陣:

式中,L為節(jié)點個數(shù);sji表示節(jié)點vj在網(wǎng)絡中有效存在性對vi的效用依存程度.特別的,對于異質(zhì)網(wǎng)絡中不依存于介質(zhì)傳輸路徑的節(jié)點間依存關(guān)系,構(gòu)建圖5所示虛擬依存路徑.

圖3 電力信息異質(zhì)依存網(wǎng)絡衰退過程Fig.3 Degeneration process of power-information HI Net

如圖5所示為在異質(zhì)依存網(wǎng)絡中,vi部分依存于vj,然而vi與vj之間雖然存在鏈路,但并不存在可行依存路徑,無法直接根據(jù)網(wǎng)絡鄰接矩陣表達vi依存于vj的關(guān)系.因此,建立虛擬依存路徑sij,并借鑒基爾霍夫定律,可得:

式中,ski為節(jié)點集合{vk}對vi的效用值,vk依存于vj;sih為vi對節(jié)點集合{vh}的效用值,vi依存于vh.

圖4 節(jié)點虛擬依存路徑示意圖Fig.4 Virtual dependency path between nodes

圖5 鄰域節(jié)點群依存結(jié)構(gòu)Fig.5 Dependency structure of neighborhood nodes

在異質(zhì)依存網(wǎng)絡中節(jié)點故障失效首先影響的是其鄰域節(jié)點群,其次再是通過依存路徑傳播至網(wǎng)絡其他異質(zhì)節(jié)點.在故障傳播過程中,異質(zhì)節(jié)點可能是故障接收點,也是故障傳播者.因此,綜合考慮vi依存于其他節(jié)點以及被其他節(jié)點依存強度來評估節(jié)點重要性.以圖5所示鄰域節(jié)點依存結(jié)構(gòu)論述節(jié)點vi對鄰域節(jié)點重要性計算方法.

圖5所示為一種典型的鄰域節(jié)點依存關(guān)系結(jié)構(gòu),邊方向表示節(jié)點依存關(guān)系(包含了直接依存與虛擬依存),邊權(quán)重s為節(jié)點依存水平.由于vk同時依存于vi、vh,因此考慮節(jié)點間效用耦合性與依存關(guān)聯(lián),對效用依存度進行二次分配.

式中,wki為二次分配后的邊權(quán)重;為vk依存的節(jié)點集合,為依存于vi的節(jié)點集合;γk為vk與其鄰域節(jié)點群的初始效用耦合系數(shù)之和,

wki表征了依存路徑上相鄰節(jié)點間有效存在的依賴程度.同理,可得:

式中,為被vi所依存的節(jié)點集合.為進一步評估節(jié)點失穩(wěn)或失效對網(wǎng)絡風險的不確定性,即系統(tǒng)可能崩潰的不確定性測度,采用效用耦合反應異質(zhì)節(jié)點對鄰域節(jié)點群構(gòu)成的鄰域節(jié)點網(wǎng)絡風險的影響力.首先對二次分配后的邊權(quán)重分別進行歸一化處理.

由于可得分別由依存于vi的節(jié)點以及被vi所依存節(jié)點構(gòu)成的鄰域節(jié)點網(wǎng)絡效用耦合為

式中,分別為依存于vi和被vi依存的鄰域網(wǎng)絡效用耦合.

由此可得vi對整個鄰域節(jié)點群構(gòu)成的鄰域依存節(jié)點網(wǎng)絡綜合效用耦合Ti:

3.2 耦合性動態(tài)傳播策略

局部依存網(wǎng)絡效用耦合系數(shù)Ti反映了節(jié)點vi對鄰域局部網(wǎng)絡的重要性.在故障傳播過程中,故障節(jié)點首先將狀態(tài)變化耦合傳播至鄰域節(jié)點,再通過鄰域節(jié)點逐步傳遞至其相鄰的節(jié)點群,直至故障擴散至整個異質(zhì)依存網(wǎng)絡其他節(jié)點.對于異質(zhì)依存網(wǎng)絡而言,我們可以將其視作由N個鄰域局部網(wǎng)絡組成(N為節(jié)點個數(shù)),且鄰域局部網(wǎng)絡之間必然存在節(jié)點交集.

圖6 鄰域網(wǎng)絡狀態(tài)耦合反饋Fig.6 State coupling feedback of neighborhood network

如圖6所示,異質(zhì)依存網(wǎng)絡中各相鄰的鄰域網(wǎng)絡存在一個或多個相交節(jié)點,形成多個效用互耦合的鄰域節(jié)點網(wǎng)絡.在節(jié)點效用耦合計算過程中,由于鄰域節(jié)點網(wǎng)絡的互耦合性,各節(jié)點的效用耦合值會隨著其鄰居節(jié)點的效用耦合變化而變化.例如:圖6中節(jié)點v1、v2、v3為三個相鄰的異質(zhì)節(jié)點,并分別形成以各自為中心的三個鄰域節(jié)點網(wǎng)絡.在第一次節(jié)點評估過程中,各節(jié)點均根據(jù)其鄰域節(jié)點初始的耦合性水平進行鄰域網(wǎng)絡效用耦合計算.然而,由于Tv1、Tv2、Tv3的效用水平是互相關(guān)聯(lián)的,當任意相鄰的節(jié)點效用發(fā)生變化時,自身的效用值也應得到相應的更新.因此,節(jié)點效用耦合的計算是一個動態(tài)迭代變化的過程,并最終達到一個平衡狀態(tài).

在復雜網(wǎng)絡研究中,通常采用PageRank算法分析該類節(jié)點互相狀態(tài)下的節(jié)點評估[13?14].考慮異質(zhì)依存網(wǎng)絡中節(jié)點間接依存關(guān)以及異質(zhì)節(jié)點間的依存關(guān)系,基于PageRank算法思想進行節(jié)點交叉依存強度傳播,實現(xiàn)節(jié)點間沿依存方向的影響力二次傳播.該算法根據(jù)節(jié)點依存路徑方向,采用式(13)所示平均分配的方法[13],通過對不同節(jié)點間影響力的迭代傳播,計算依存路徑末端節(jié)點獲得起點的影響力程度,實現(xiàn)節(jié)點重要度二次排序.

式中,PR(x)為節(jié)點x的PageRank值;PR(Yi)為鏈接至x的節(jié)點PageRank值;L為節(jié)點總數(shù),即節(jié)點數(shù)量;σ為阻尼系數(shù),通常設(shè)置σ=0.85[15];為第i個鏈接至節(jié)點x的出度值.

由于PageRank算法通過固定路徑,以依存路徑方向為傳播方向進行節(jié)點狀態(tài)傳播與迭代,即節(jié)點的重要性只與依存路徑上依存方向的指向有關(guān),依存指向越多的節(jié)點則其越重要,該方法忽略了節(jié)點失效對依存路徑上游節(jié)點功能有效性的影響,即網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)完整性.由此,本文對PageRank算法進一步改進,提出Bi-PageRank算法,實現(xiàn)節(jié)點間雙向效用耦合傳播.

圖7所示為關(guān)鍵節(jié)點評估算法流程圖,其中,norm(·)為節(jié)點耦合效用耦合系數(shù)向量的1-范數(shù);sig為迭代終止閾值.評估過程中,首先,固定異質(zhì)節(jié)點類型與介質(zhì)傳輸路徑,分析異質(zhì)節(jié)點間效用依存關(guān)系,確定網(wǎng)絡節(jié)點間的依存路徑.然后,所有節(jié)點形成各自領(lǐng)域節(jié)點網(wǎng)絡,并根據(jù)鄰域效用耦合系數(shù)對效用依存度進行二次分配,并采用效用耦合系數(shù)評估節(jié)點對其領(lǐng)域節(jié)點群運行狀態(tài)(運行穩(wěn)定性或運行有效性)的影響.為進一步辨識節(jié)點狀態(tài)對整個異質(zhì)依存網(wǎng)絡運行狀態(tài)的影響,采用所提Bi-PageRank算法實現(xiàn)節(jié)點效用耦合系數(shù)在網(wǎng)絡中的雙向傳播,實現(xiàn)關(guān)鍵節(jié)點評估.特別說明的是,應用所提方法進行關(guān)鍵節(jié)點評估時,應根據(jù)異質(zhì)依存網(wǎng)絡特征以及故障類型,選擇相應節(jié)點效用耦合系數(shù)取值方法,以評判特定故障背景下的節(jié)點對網(wǎng)絡運行狀態(tài)的影響程度.

3.3 算法復雜度分析

對于一個具有L個異質(zhì)節(jié)點,M條依存路徑的異質(zhì)依存網(wǎng)絡,其依存矩陣S一般為稀疏矩陣.因此,關(guān)鍵節(jié)點辨識方法的空間復雜度為O(n2).對于時間復雜度而言,在迭代過程中依存矩陣與效用耦合向量相乘的時間復雜度為O(n2).假設(shè)Bi-PageRank算法迭代次數(shù)為常數(shù)?,則關(guān)鍵節(jié)點辨識過程迭代計算的總體時間復雜度為O(?n2).

圖7 關(guān)鍵節(jié)點評估流程Fig.7 Flow chart of key nodes assessment

4 仿真計算與結(jié)果分析

4.1 仿真實驗對象

由于節(jié)點故障類型的不同,系統(tǒng)的故障特征與傳播范圍也會不同.因此,以IEEE標準電力節(jié)點測試系統(tǒng)作為典型的異質(zhì)依存網(wǎng)絡,分別以網(wǎng)絡狀態(tài)衰退與結(jié)構(gòu)衰退作為實驗故障類型,辨識不同故障類型下關(guān)鍵節(jié)點.

網(wǎng)絡狀態(tài)衰退指異質(zhì)節(jié)點發(fā)生運行狀態(tài)振蕩或失穩(wěn)時,對網(wǎng)絡整體運行穩(wěn)定性的影響.結(jié)構(gòu)衰退指節(jié)點直接失效引起依存路徑上其他節(jié)點失效時,主要針對網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)完整性,即網(wǎng)絡運行可靠性.

4.2 網(wǎng)絡狀態(tài)衰退

IEEE39節(jié)點測試系統(tǒng)有10臺發(fā)電機單元與17個負載節(jié)點構(gòu)成,運行頻率為60Hz[16].系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8所示.

圖8 IEEE 39節(jié)點測試系統(tǒng)Fig.8 IEEE 39-node test system

以電力系統(tǒng)節(jié)點三相接地短路引起電壓波動,導致系統(tǒng)其他節(jié)點運行暫態(tài)振蕩作為故障類型,辨識在該故障情形下的關(guān)鍵節(jié)點.根據(jù)文獻[17?18]可知,電力系統(tǒng)中節(jié)點間運行穩(wěn)定性耦合關(guān)聯(lián)可用等效電氣阻抗來表示.因此,定義節(jié)點效用耦合系數(shù)γij為

式中,Zij為鄰居節(jié)點vi、vj之間的等效電氣阻抗;Zii、Zjj為節(jié)點自阻抗;Zij為節(jié)點間線路阻抗.

在PSCAD電磁暫態(tài)仿真軟件中對測試系統(tǒng)各節(jié)點分別進行三相接地故障仿真實驗,分析節(jié)點狀態(tài)變化對系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性影響,得到圖9所示系統(tǒng)電壓振蕩幅度曲線與不同振蕩幅度節(jié)點數(shù)量.

圖9 IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)不同節(jié)點三相接地時系統(tǒng)暫態(tài)狀態(tài)Fig.9 Transient state of IEEE 39-node system when three-phase ground fault occurs to different node

如圖9所示,不同異質(zhì)節(jié)點發(fā)生故障導致系統(tǒng)電壓振蕩幅度百分比?U%與傳播范圍均存在一定差異性.若節(jié)點故障引起系統(tǒng)電壓振蕩越大,則該關(guān)鍵節(jié)點出現(xiàn)重大故障時,較易導致系統(tǒng)失穩(wěn)甚至崩潰.因此,進一步將節(jié)點故障引起的系統(tǒng)與其重要性評估結(jié)果進行關(guān)聯(lián).

圖10所示為將計算所得節(jié)點重要度與其故障引起的系統(tǒng)電壓振蕩幅度的關(guān)聯(lián)散點圖.由圖10可知,采用所提關(guān)鍵節(jié)點評估可較好地辨識對系統(tǒng)穩(wěn)定性較大的關(guān)鍵節(jié)點.同時,所提方法在考慮節(jié)點故障對系統(tǒng)狀態(tài)的基礎(chǔ)上,輔助考慮了系統(tǒng)狀態(tài)衰退范圍因素.例如節(jié)點6與節(jié)點10網(wǎng)絡效用耦合系數(shù)分別為:T6=0.3847,T10=0.3852.出現(xiàn)三相接地故障后,導致的系統(tǒng)電壓振蕩分別為?U6%=6.495%,?U10%=6.275%.然而,由于節(jié)點10故障后,依存路徑上存在較多電壓振蕩超5%的節(jié)點,在依存路徑上具有較強的狀態(tài)耦合傳播能力.即當節(jié)點10出現(xiàn)故障時,該故障導致的節(jié)點狀態(tài)衰退可傳播至更多的節(jié)點.因此,在最終的關(guān)鍵節(jié)點評估結(jié)果中,節(jié)點6與節(jié)點10的重要性近似相等.

4.3 網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)衰退

以電力系統(tǒng)中的信息物理融合系統(tǒng)作為異質(zhì)依存網(wǎng)絡,驗證所提關(guān)鍵節(jié)點辨識方法對網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)衰退故障下的關(guān)鍵節(jié)點辨識有效性.在IEEE 118節(jié)點電網(wǎng)測試系統(tǒng)中采用Barabasi-Albert模型隨機生成信息系統(tǒng)鏈路結(jié)構(gòu),并規(guī)定電網(wǎng)物理層節(jié)點與信息層節(jié)點為“一對一”依存.即電網(wǎng)層的節(jié)點對信息層中節(jié)點進行供電,當電網(wǎng)節(jié)點實效后,其對應的信息節(jié)點也立即失效,導致2個網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的衰退.對于有效性依存的電力信息異質(zhì)依存網(wǎng)絡,節(jié)點效用耦合系數(shù)γij=1/ndep,ndep為節(jié)點依存對象數(shù)量.

圖10 IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)節(jié)點重要度與狀態(tài)衰退時節(jié)點電壓振蕩Fig.10 Node importance and the voltage oscillation caused by state degeneration in IEEE 39-node system

根據(jù)式(2)構(gòu)建電力信息物理依存網(wǎng)絡矩陣:

式中,S為信息物理網(wǎng)絡依存矩陣;sinf為信息網(wǎng)絡節(jié)點依存矩陣;sgri為電網(wǎng)層節(jié)點依存矩陣;I為單位矩陣.

采用網(wǎng)絡失效節(jié)點比例判定節(jié)點失效對網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)完整性的影響.

式中,分別為信息網(wǎng)與電網(wǎng)中節(jié)點失效數(shù)量;Linf、Lgri分別為信息網(wǎng)與電網(wǎng)的節(jié)點總數(shù),在“一對一”依存的電力信息異質(zhì)依存網(wǎng)絡中,Linf=Lgri.

為保證結(jié)果的一般性,對電力信息物理異質(zhì)依存網(wǎng)絡進行20次網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)衰退測試,得到圖11所示節(jié)點重要度指標與對應網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)衰退失效節(jié)點比例關(guān)聯(lián)圖.

圖11 IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)節(jié)點重要度與網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)衰退失效節(jié)點比例Fig.11 Node importance and failure node ratio caused by network structure degeneration in IEEE 118-node system

如圖11所示為電力信息物理異質(zhì)依存網(wǎng)絡中節(jié)點重要度與網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)衰退引起的失效節(jié)點比例散點關(guān)聯(lián)圖.由于電力節(jié)點與信息節(jié)點是“一對一”依存,因此縱軸節(jié)點重要度為電力節(jié)點與對應信息網(wǎng)節(jié)點的重要度之和.由圖11可知,所提關(guān)鍵節(jié)點可較好地識別出對網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)完整性較大的節(jié)點,即關(guān)鍵節(jié)點失效引起網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)衰退時,異質(zhì)依存網(wǎng)絡中會出現(xiàn)較多的依存路徑上的其他節(jié)點失效.對于實際電力信息物理網(wǎng)絡,相關(guān)規(guī)劃人員可根據(jù)所提方法識別結(jié)果對關(guān)鍵節(jié)點進行針對性保護,防止物理設(shè)備故障失效后引起網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)衰退,導致電網(wǎng)供電中斷.

5 結(jié)語

針對現(xiàn)實工業(yè)網(wǎng)中節(jié)點多樣化、傳輸路徑與結(jié)構(gòu)相對固定等特征,通過分析現(xiàn)有網(wǎng)絡中各節(jié)點類型與依存關(guān)系,提出了異質(zhì)依存網(wǎng)絡理論,并異質(zhì)網(wǎng)絡理論中異質(zhì)節(jié)點依存關(guān)系與網(wǎng)絡衰退特征.針對現(xiàn)有復雜網(wǎng)絡節(jié)點重要性評估方法對未考慮節(jié)點間依存性與連鎖故障之間關(guān)系的問題,提出基于鄰域節(jié)點效用耦合與影響力傳播的關(guān)鍵節(jié)點識別方法,用于評估節(jié)點運行狀態(tài)變化對網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)、傳播路徑上其他節(jié)點運行狀態(tài)方面的影響.

另外,現(xiàn)實異質(zhì)依存網(wǎng)絡可能存在因同質(zhì)元素特征參數(shù)差異導致各元素間依存關(guān)系或程度不同的現(xiàn)象.例如:通信網(wǎng)絡中同層同類路由節(jié)點單元最大傳輸速度與容量限制對網(wǎng)絡性能的影響;電力網(wǎng)絡因發(fā)電機單元最大輸出功率限制,其功率可達路徑有限,導致網(wǎng)絡中不同位置可再生能源對發(fā)電機的依存性不同等.因此,在進行后續(xù)異質(zhì)依存網(wǎng)絡研究工作時,可在本文已有研究成果的基礎(chǔ)上,根據(jù)具體技術(shù)需求對網(wǎng)絡元素特征進一步細化分析.同時,本文為簡化異質(zhì)依存網(wǎng)絡分析過程,并滿足關(guān)鍵節(jié)點辨識方法的一般通用性,在進行仿真實驗時假設(shè)各同質(zhì)節(jié)點具有特征一致性.

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