吳翠蘭， 王云杰， 束立生

(1.江蘇師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,江蘇 徐州 221116；2.江蘇師范大學(xué) 科文學(xué)院,江蘇 徐州 221116；3.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

1 引言及主要結(jié)果

對1

其中f為具有緊支集的連續(xù)函數(shù),且x?suppf。若K(x,y)滿足

及

稱K(x,y)滿足H?rmander條件。

核函數(shù)K(x,y)滿足H?rmander條件的奇異積分算子和交換子的有界性得到了廣泛的研究,并取得了許多結(jié)果,見文[1]等。1999年,Duong等[2]在核函數(shù)滿足更弱的條件下證明了具有非光滑核的奇異積分算子T在Lp(1

Duong和Mcintosh在文[2]中引入了具有非光滑核的奇異積分算子,定義如下:

定義1.1設(shè)at(x,y)(t>0)是定義在屬于Rn×Rn上的可測函數(shù),At是以at(x,y)為核函數(shù)的算子。如果對任意的f∈Lp(Rn),1p<,

(1)

且對于(x,y)∈Rn×Rn,t>0,有

|at(x,y)|ht(x,y)

(2)

其中g(shù)是正的有界遞減函數(shù)且滿足

(3)

這里ε>0,稱算子族{At:t>0}為恒等逼近。

若K滿足下列條件:

(i)存在一恒等逼近{Bt:t>0},使得TBt具有相關(guān)的核函數(shù)kt(x,y),且存在C1,C2>0,使得對所有的y∈Rn,有

(ii)存在一恒等逼近{At:t>0},使得AtT具有相關(guān)的核函數(shù)Kt(x,y)滿足

|K(x,y)-Kt(x,y)|

在文[2]中,Duong和Mcintosh證明了如果選取合適的恒等逼近,條件(i)和(ii)比添加給Calderón-Zygumd算子一些常見的條件(如H?mander條件)弱。同時,作者還證明了如果算子T滿足(i),則算子T不僅是弱(1)型的,而且還是強(qiáng)(p,p)(1p2)的。此外,若算子T滿足(i)和(ii),則算子T是強(qiáng)(p,p)(1

1985年,Bloom在文[7]中得到經(jīng)典的奇異積分算子的交換子定理:

定理A設(shè)1

2008年,Hu和Gu在文[8]中研究了Calderón-Zygumd奇異積分算子T的加權(quán)Lipschtiz估計。

定理B設(shè)T是Calderón-Zygumd奇異積分算子,μ∈A1,1/q=1/p-β/n,0<β<1,1

2012年,陳曉莉等在[9]中研究了具有非光滑核的奇異積分算子交換子的加權(quán)BMO估計,結(jié)論如下:

定理C設(shè)算子T是具有非光滑核的奇異積分算子,μ,v∈Ap,1

||[b,T]f||Lp(ν)C||b||*,ω||f||Lp(μ)。

受以上研究的啟發(fā),本文將文獻(xiàn)[2]中結(jié)果推廣到加權(quán)情形,討論具有非光滑核的奇異積分算子交換子的加權(quán)估計。我們的結(jié)論是:

定理1.1設(shè)算子T是具有非光滑核的奇異積分算子,b∈Lipβ,ν,v∈A1,1/q=1/p-β/n,其中0<β<1,1

2 預(yù)備知識

定義2.1極大函數(shù)Mf(x),Sharp極大函數(shù)M#f(x)分別定義如下:

此外,對δ>0,定義

定義2.2(1)設(shè)1

如果存在常數(shù)C,使得

Mω(x)Cω(x)a.e.x∈Rn，

則稱ω∈A1.

(2)如果

其中1/p+1/p'=1,則稱ω∈A(p,q)(1

定義2.3設(shè)b為Rn上局部可積函數(shù),1p,v∈A(Rn),如果

設(shè)f∈Lp(Rn)(10}相關(guān)的Sharp極大函數(shù)

Martell在文[11]中證明了下面的引理:

引理2.1[11]若f∈Lp(Rn)(1

引理2.2[10](1)若v∈A1,b∈Lipβ,v,x∈B。則

|b2jB-bB|Cjv(x)||b||Lipβ,νv(2jB)β/n。

(2)若v∈A1,b∈Lipβ,ν,則

引理2.3若ν∈A1,則對r>1及任何球B,有

由Ap權(quán)的定義及性質(zhì)即可證明引理2.3.

引理2.4[3,11]設(shè)T是具有非光滑核的奇異積分算子,v∈A1,則

||Tf||Lp(v)C||f||Lp(v)。

引理2.5[10]若0<β<1,1r<,ν∈A(p,q),記

||Mβ,ν,r(f)||Lq(ν)C||f||Lp(ν)。

引理2.6設(shè){At:t>0}是恒等逼近,0<β<1,b∈Lipβ,ν,ν∈A1,1

證明設(shè)f∈Lp(v)(p>1),對任意的x∈Rn,B是包含x的任意球,則由定義1.1

(4)

首先估計I1。由(2)式及g是正的有界遞減函數(shù),對y∈B,z∈2B,有

htB(y,z)

因此,由引理2.2,引理2.3及H?lder不等式可得

(5)

下面我們估計I2。當(dāng)y∈B,z∈2j+1B2jB時,有|y-z|≥2j-1rB,且

htB(y,z)

從而

(6)

類似于I1的估計方法,可得

(7)

由(6)-(7)得

由(3)式得

從而

I2C||b||Lipβ,νv(x)Mβ,v,r(f)(x)。

(8)

根據(jù)I1和I2的估計

3 定理的證明

為證明定理1.1,先證明下列引理.

引理3.1設(shè)算子T是具有非光滑核的奇異積分算子,b∈Lipβ,v,v∈A1,1/q=1/p-β/n,1r0,使得

證明設(shè)f∈Lp(v)(p>1),固定x∈Rn及x∈B,令

f(x)=f(x)χ2B(x)+f(x)χ(2B)c(x)=f1(x)+f2(x)。

由于

=AtB((b-bB)Tf)(y)-AtBT((b-bB)f1)(y)-AtBT((b-bB)f2)(y)。

因此

=I+II+III+IV+V。

對于I,取1

對于II,由H?lder不等式及算子T的Lr有界性,有

至于III,由引理2.6得

對于IV,類似于II的估計,易得

綜合I-V的估計,可得

定理1.1的證明由v∈A1知v1-q∈Aq,又1

||[b,T]f||Lq(v1-q)||M([b,T]f)||Lq(v1-q)

定理1.1證畢。

參考文獻(xiàn):

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