馬韻賢

摘 要 換元法是我們高中生常用的知識，靈活應(yīng)用換元法，對數(shù)學(xué)中遇到的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換能使很多問題都迎刃而解。用一句話來概括換元法就是“復(fù)雜結(jié)構(gòu)簡單化，混亂思路清晰化”，幫助我們簡化思路，找到清晰的解題思路。我們常用的換元法可以分為直接換元、局部換元、均等換元和三角換元等，對換元法的熟練運(yùn)用能使我們在學(xué)習(xí)道路上得到越走越遠(yuǎn)。

關(guān)鍵詞 換元 解題 高中生

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，將一個(gè)復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化一個(gè)概念將之簡單化就是一次換元的過程。換元法的核心思想就是轉(zhuǎn)化，將包括變量的一部分看為一個(gè)整體，用新的元素代替，是一個(gè)由繁到簡的過程。但我們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到這樣的問題，不知道如何作出合理還正確的變量代換。這個(gè)時(shí)候我們就需要去積累，分析題目類型，加強(qiáng)我們的熟練度，以此來增強(qiáng)我們變量代換的能力。

1換元法的概念

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，依據(jù)所需要求解問題的特征，把某一式子作為一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，這就是換元思想，我們把這種解題方法稱為換元。換元的實(shí)質(zhì)在我們看來就是通過一系列的映射轉(zhuǎn)移、構(gòu)造元和設(shè)計(jì)元，將一個(gè)復(fù)雜的元素?fù)Q為另一個(gè)元素，將一個(gè)知識轉(zhuǎn)移到新對象的知識中去探究、去解答，或者把生疏的問題變得熟練，復(fù)雜的問題簡單化，將一切超越式轉(zhuǎn)化為我們現(xiàn)階段可以理解的解答的問題，化繁為簡，化難為易，提高我們的解題效率。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用它對整個(gè)認(rèn)知活動(dòng)起著計(jì)劃、監(jiān)督控制、適當(dāng)?shù)恼{(diào)整的作用。

2換元法的應(yīng)用

2.1換元法的計(jì)算

在我們高中的學(xué)習(xí)中，課程只要求我們需要熟練掌握一些特殊的高等方程，最常見的一種高等方程就是“雙二次方程”。這種方程只含有未知數(shù)的四次項(xiàng)、二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，我們對于這種方程可以簡單的對二次項(xiàng)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程。例1，解方程（x2+1）2=x2+3

分析：思路1：以x2+1為一個(gè)整體進(jìn)行換元，因此要對方程右邊進(jìn)行變形使其含有x2+1。

思路2：把方程展開成標(biāo)準(zhǔn)的雙二次方程，再對x2進(jìn)行換元。

解法一：原方程可化為（x2+1）2-（x2+1）-2=0，設(shè)x2+1=y得y2-y-2=0，

解得 y1=2，y2=-1，x2+1=-1無實(shí)根，

由x2+1=2解得x1=1，x2=-1。

解法二：由原方程得x4+x2-2=0，設(shè)x2=y（解題熟練時(shí)，這一換元過程也可以不寫出）

得y2+y-2=0，解得y1=1，y2=-2，x2=-2無實(shí)根，

由x2=1解得x1=1，x2=-1。

注意：換元的關(guān)鍵是善于發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造方程中表達(dá)形式相同的部分作為換元的對象。在解方程的過程中換元的方法常常不是唯一的，解高次方程時(shí)，只要能達(dá)到降次目的的換元方法都可以應(yīng)用。

2.2解分式方程的應(yīng)用

在進(jìn)行分式方程的運(yùn)算中，我們可以把一個(gè)分式看成一個(gè)整體進(jìn)行換元換元時(shí)要注意分子、分母互換的兩個(gè)分式可以用一個(gè)新元和它的倒數(shù)來表示。如果換元的難度過大，我們還可以添加一些輔助元素來解決。應(yīng)用輔助元素把一些未知的問題替換成新的問題，用我們學(xué)過的知識去解決，從而把問題簡化變?yōu)槲覀兡苓^熟練解決的問題。這種將未知量變成已知量的轉(zhuǎn)化就是換元法的應(yīng)用。我們在進(jìn)行的分式運(yùn)算的時(shí)候經(jīng)常能用到換元法。

2.3換元法的步驟

在進(jìn)行用換元法解題時(shí)，我認(rèn)為，分式運(yùn)算的換元法可以分為以下幾個(gè)步驟。

（1）設(shè)輔助未知數(shù)，并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)式；

（2）解所得到的關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值；

（3）把輔助未知數(shù)的值代回原設(shè)中，求出原未知數(shù)的值；

（4）檢驗(yàn)做答。

3換元法中的轉(zhuǎn)化與化歸思想

我們在換元法中所運(yùn)用到的核心思想便是轉(zhuǎn)化與化歸思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。在一般的數(shù)學(xué)問題中我們都能用到轉(zhuǎn)化與化歸思想，其精髓在于這種思想能把未知的、陌生的、問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的問題，換元法中充斥著轉(zhuǎn)化與化歸思想，我們?nèi)绻軌蚴炀氄莆辙D(zhuǎn)化與化歸思想的話就能輕輕松松的掌握換元法。當(dāng)然，轉(zhuǎn)化與化歸思想也是存在一定的限制性，要遵守一定的原則。化未知為已知，化陌生為熟悉，化復(fù)雜為簡答。事實(shí)上，函數(shù)與方程的思想實(shí)質(zhì)也是轉(zhuǎn)化與化歸思想。將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或已經(jīng)解決的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題便于解決。

4結(jié)束語

我們在高中的學(xué)習(xí)中，換元法起著至關(guān)重要的作用。不管是局部換元、均等換元還是三角換元，我們都應(yīng)該能夠熟練掌握。對一個(gè)問題深入探究，掌握一個(gè)問題的多種解法，使其從復(fù)雜變?yōu)楹唵?，縮短我們的答題時(shí)間。形成主動(dòng)探究的意識，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，提升我們解題的需求。

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