費 明

(江蘇省江陰市第一中學 214400)

學生在學習二項式定理后，在配套習題中遇到這么一個題目：

下面筆者給出幾種證明方法供大家參考.

方法一：考察函數(shù)f(x)=(1+x)n(n∈N*).

兩邊求導：

不妨把這種方法稱為“求導法”.

方法二：令

∴Tn=n·2n-1,

不妨把這種方法稱為“倒序相加法”.

=n·2n-1.

這種方法是利用了組合數(shù)的性質來證明的.

(2)假設當n=k時，結論正確.

則當n=k+1時,

=k·2k-1+2k+k·2k-1=k·2k+2k=(k+1)·2k,

∴當n=k+1時結論正確.

……

T=T1+T2+…+Tn

T=2n·n-T,

T=n·2n-1.

不妨稱這種方法為分組累加法.

甚至我們還有通過這樣的問題情景來說明這個等式的正確性：某校高二(3)班一共有n個學生，現(xiàn)在要在這n個學生中組建一個學習小組(人數(shù)大于等于1人)，并任命一個組長.

另一方面：學習小組的人數(shù)可以1個，2個，…，n個.

…

參考文獻：

[1]人民教育出版社,課程教材研究所,中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中課程標準實驗教科書(數(shù)學選修2-2)[M].北京:人民教育出版社,2008.