劉 寧
(江蘇省溧陽(yáng)市光華高級(jí)中學(xué) 213300)
眾所周知,拋物線是圓錐曲線的一種,也是典型的截口曲線.對(duì)學(xué)生而言,拋物線的學(xué)習(xí)追述到初中二次函數(shù),到高中演變成拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí).拋物線在圓錐曲線中的地位屬于第一層次,與橢圓相當(dāng),高于雙曲線和圓,因此頻頻作為考題出現(xiàn)在高考命題中.如何掌握拋物線問(wèn)題的解決方式?如何思考拋物線問(wèn)題的解決過(guò)程?在茫茫題海中,能否找到一點(diǎn)問(wèn)題解決的共性?這恰是本文梳理的一些心得,與大家分享,也懇請(qǐng)?zhí)岢鰧氋F意見(jiàn)批評(píng)指正.
層次一:定義為先
拋物線的定義是圓錐曲線的統(tǒng)一定義:即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離,則動(dòng)點(diǎn)軌跡是拋物線.如何利用解決問(wèn)題呢?我們知道,跟定義相關(guān)的問(wèn)題,首先必須與焦點(diǎn)(定點(diǎn))有關(guān),因此思考問(wèn)題的第一原則是辨別是否與焦點(diǎn)有聯(lián)系?有,則從定義為先的方式入手思考.
問(wèn)題1 已知傾斜角為60°的直線l通過(guò)拋物線x2=4y的焦點(diǎn),且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)___.
分析直線通過(guò)拋物線焦點(diǎn),思考問(wèn)題的方向首先是往定義上靠攏.本題求弦長(zhǎng),自然是焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度的運(yùn)算要比一般弦長(zhǎng)運(yùn)算簡(jiǎn)化很多,自然而然的培養(yǎng)問(wèn)題解決的方向性.
∴AB=y1+y2+p=14+2=16.
分析相比問(wèn)題1,本題顯得更為復(fù)雜一些,學(xué)生往往不清楚如何下手.教師要引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)方面:其一,與圓相關(guān)的問(wèn)題,首要解決方向是代數(shù)還是幾何?其二,直線經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn),你想到了什么?教學(xué)中若時(shí)常引導(dǎo)學(xué)生思考,學(xué)生應(yīng)該很快能想到解決與圓相關(guān)問(wèn)題的主要方向是幾何,經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線,自然跟拋物線定義緊密結(jié)合.
說(shuō)明:本題體現(xiàn)了問(wèn)題解決過(guò)程中方向的重要性,否則學(xué)生在一片茫然中思考|AB|和|CD|長(zhǎng)度怎么算?圓問(wèn)題解決的主導(dǎo)思考側(cè)重幾何,圓外動(dòng)點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離總是與圓心緊密聯(lián)系,從而自然而然獲得關(guān)系式|AB|·|CD|=(|AF|-1)(|DF|-1),而|AF|和|DF|是焦點(diǎn)弦,拋物線定義躍然紙上!另外,本題也可以借助特殊位置處理,即令直線l的傾斜角為90°,利用通徑求解.
層次二:平幾輔助
在定義導(dǎo)向的背后,考慮到拋物線也是一種幾何曲線,自然問(wèn)題也需要幾何手段的幫助,筆者以為代數(shù)和幾何是解決問(wèn)題的兩大方式,若一味側(cè)重代數(shù)方式,則勢(shì)必減少了幾何思維的分析,則大大加大了問(wèn)題解決的運(yùn)算量;反之,若能將幾何方式恰當(dāng)?shù)臐B透,則簡(jiǎn)化運(yùn)算的同時(shí),還能獲得更好的思維.
問(wèn)題3 如圖1,若過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程為_(kāi)___.
分析:初看本題,自然而然的是想設(shè)直線方程,利用|BC|=2|BF|,且|AF|=3的長(zhǎng)度關(guān)系解決直線方程和拋物線方程,但是計(jì)算量對(duì)于小題來(lái)說(shuō)有點(diǎn)多.從幾何角度思考,不難發(fā)現(xiàn)定義的使用,結(jié)合30°的直角三角形特征,本題可謂秒殺.
層次三:性質(zhì)積累
對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō),必備的性質(zhì)積累是解決問(wèn)題的有一個(gè)關(guān)鍵,比如僅焦點(diǎn)弦中有不少性質(zhì),如:
③以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切;等等.
教材中還有不少類(lèi)似的問(wèn)題,總結(jié)成性質(zhì),需要教師引導(dǎo)學(xué)生積累,如:
①y1y2=-4p2,x1x2=4p2;
②直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2p,0).
∴l(xiāng)AB:(m2-n2)(y-n)=(m-n)·(x-n2),
即(m+n)(y-n)=x-n2,令y=0,
解得x=-mn=2,
∴C(2,0).
S△AOB=S△AOC+S△BOC
說(shuō)明:多積累相關(guān)定值、結(jié)論,對(duì)于快速解決問(wèn)題是有幫助的.
總之,尋求拋物線問(wèn)題的解決,從定義、平面幾何性質(zhì)、定值積累等方面不斷思考總結(jié),對(duì)于學(xué)好拋物線問(wèn)題有重要意義,有興趣的也可以將這樣的學(xué)習(xí)方式推廣到橢圓、雙曲線中,不斷摸索.
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