王宏飛 曾昕萌 劉 濤 李株丹

(華北水利水電大學(xué)， 河南 鄭州 450046)

0 前言

人類對(duì)浮體的平衡和穩(wěn)定問題很感興趣，在古歐洲文明中阿基米德就在其論著中對(duì)浮體在液體中的平衡和穩(wěn)定性作了系統(tǒng)的研究，斯蒂文也曾判定浮體排開液體的重心和浮體的重心應(yīng)該在一條直線上，但錯(cuò)誤判斷為排開液體的重心應(yīng)該在浮體的重心之上，否則就會(huì)翻轉(zhuǎn)180度，惠更斯用數(shù)學(xué)方法對(duì)浮體的平衡性和穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，認(rèn)為浮體位置發(fā)生變化而轉(zhuǎn)換到另外一個(gè)位置時(shí)，其重心和浮心的高度差將減小。歐拉和柏努力也都對(duì)浮體的穩(wěn)定和平衡性作過細(xì)致的研究，并重新定義了小擾動(dòng)和力矩恢復(fù)的概念，布格則在世界上首次對(duì)定傾中心作了定義，在現(xiàn)代科學(xué)領(lǐng)域定傾中心已經(jīng)成為判定浮體穩(wěn)定和平衡的一個(gè)重要參數(shù)，并在水利工程設(shè)計(jì)中得到了大范圍的應(yīng)用。

1 浮體的平衡和穩(wěn)定性分析

在實(shí)際應(yīng)用中，在一些科技文獻(xiàn)中對(duì)定傾中心的概念定義比較模糊，例如，有的科技工作者認(rèn)為浮體一旦發(fā)生細(xì)微變化，浮軸和浮力的作用線在一個(gè)固定點(diǎn)上相交，也有的科學(xué)家認(rèn)為只有在實(shí)驗(yàn)室中上述兩條直線才可能在一個(gè)固定點(diǎn)上相交；另外，用力系簡(jiǎn)化方法研究分析定傾高度的方法也不夠科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，有人甚至對(duì)穩(wěn)定性的判定條件分析都出現(xiàn)了錯(cuò)判，帶著這些問題作者翻閱了大量的中外科技文獻(xiàn)，并結(jié)合了具體的案例對(duì)定傾中心概念作了明確的定義，對(duì)浮體的穩(wěn)定性和平衡性作了判別，最終提出了用定傾高度判定浮體是否穩(wěn)定的科學(xué)依據(jù)。

假設(shè)浮體的比重一旦低于水的比重，那么就會(huì)發(fā)生有的物體部分露出水面同時(shí)漂浮在水中，滿足這些條件這種物體則稱為浮體，浮體在水中平衡則要滿足兩個(gè)條件：第一、浮心和浮體的重心的連線和水平面相垂直。第二、浮體的重量等于水的浮力。如圖1（a）所表現(xiàn)，浮體平衡位置也要能夠保證一些穩(wěn)定條件。如圖1（b）所示，一個(gè)長方形的物體在豎立和平衡位置時(shí)，外界因素對(duì)其進(jìn)行了干擾，左邊物體的重力和浮力阻礙了物體失衡的因素，因此平衡沒有被打破，而重力和浮力導(dǎo)致右邊的物體發(fā)生偏移，因此其平衡是不穩(wěn)定的，以下對(duì)浮體平衡和穩(wěn)定的條件進(jìn)行研究分析。

圖1 浮體的平衡

假設(shè)浮體有一個(gè)虛擬的對(duì)稱面，受外界因素干擾平衡位置會(huì)發(fā)生變化，浮體上每一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于對(duì)稱面作平行運(yùn)動(dòng)，浮體不受鉛直擾動(dòng)的干擾，而水平運(yùn)動(dòng)則會(huì)干擾浮體，如果考慮浮體穩(wěn)定性會(huì)受到轉(zhuǎn)動(dòng)方向的影響，那么就可以把浮體在平衡狀態(tài)下與水平面的相交面定義為浮面，并可以記作S。如圖2所示可以建立一個(gè)浮體坐標(biāo)系，并把浮面的重心定義為原點(diǎn)，并把浮面與對(duì)稱面的相交直線定義為浮線，并定義為X軸。浮軸Y軸垂直向上，Z軸與X軸、Y軸正交，圖2中陰影部分微元體的體積分：

因?yàn)閆軸是通過S形心的主軸，所以（1）式成立，即浮體圍繞Z軸發(fā)生動(dòng)作時(shí)，浮體排開水的體積不發(fā)生改變，其受到的作用力也不發(fā)生變化。

平衡位置一旦受到外界干擾發(fā)生細(xì)小的變化，水覆蓋浮體的位置也會(huì)受到影響而發(fā)生變化，受到的浮力也會(huì)發(fā)生改變，浮心的位置也會(huì)發(fā)生變化，杜賓定律表明，過D點(diǎn)的水平線是浮心曲線在這個(gè)點(diǎn)的切線，浮力作用線是浮心曲線在該點(diǎn)的法線，當(dāng)D點(diǎn)和于Do點(diǎn)無限接近時(shí)，浮力作用線和直線Z的交點(diǎn)接近于該直線上的一個(gè)固定點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)被定義為定傾中心，如圖1（b）所示，若浮體重心在定傾中心之下，浮力和重力形成了一個(gè)恢復(fù)力矩，浮體平衡穩(wěn)定，若浮體重心在定傾中心之上，他們的力矩是排斥的，則不能保持穩(wěn)定。如圖2所示，定傾中心和浮力重心的高度差被定義為定傾高度，當(dāng)高度為正時(shí)，浮體平衡保持穩(wěn)定，若高度為負(fù)時(shí)，浮體失衡。

圖2 定傾中心與浮心

如圖2所示，以Do為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，其中X1軸、Y1軸和X軸、Y軸平行且方向相同，則D點(diǎn)坐標(biāo)如下：

其中，Iz為平衡時(shí)的慣性矩，V為排開水的體積，由式（2）得

其中，do為浮心曲線的弧長，得

例1如圖3（a）所示，在水面上漂浮一個(gè)正方形，可以嘗試判定浮體是否平衡

解法1：假設(shè)木塊達(dá)到平衡后的吃水深度為b,由平衡條件（i）得

由式（5）得

由式（6）得

2 浮心曲線研究

如果正方形有兩個(gè)點(diǎn)被水覆蓋時(shí)，浮心曲線是一條拋物線H（圖4），曲率中心的運(yùn)動(dòng)軌跡有一個(gè)頂點(diǎn)M，浮體的重心到浮心曲線任一條法線對(duì)應(yīng)一個(gè)平衡點(diǎn)，對(duì)某一平衡位置而言，假設(shè)浮體重心在浮心和定傾中心之間，浮體排開水的勢(shì)能為最小值，則平衡是穩(wěn)定的，假設(shè)浮體重心在浮心和定傾中心之外，浮體排開水的勢(shì)能為最大值，則平衡是不穩(wěn)定的，浮心曲線是封閉的，浮心曲線到浮體重心法線可以判定浮體是否穩(wěn)定，在這種環(huán)境下兩者之間的距離為一個(gè)極限值，每一個(gè)浮體都會(huì)有一個(gè)穩(wěn)定和一個(gè)不穩(wěn)定的狀態(tài)，并且是相互分離的。

3 結(jié)論

上文所研究的僅僅是浮體一個(gè)方向晃動(dòng)穩(wěn)定性的問題，如果研究的是海上船只這種三維浮體，在把環(huán)境因素考慮進(jìn)去，那么這就形成了一個(gè)復(fù)雜的問題。這些問題已然成為非線性動(dòng)力學(xué)所探究的層次，我們對(duì)附體研究可以說是忠實(shí)的粉絲，這個(gè)探究從未中斷過。而且方法和興趣絲毫沒有減弱，不僅僅增加了人類對(duì)大自然的認(rèn)知，而且也加大了對(duì)大自然的掌控。

[1]劉德剛.非粘性流體力學(xué).哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2012.

[2]魏小青.浮體的力學(xué)研究》.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,1999.