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        關(guān)于“”的跨國討論*

        2018-06-06 03:01:02郜舒竹
        教學(xué)月刊(中學(xué)版) 2018年13期
        關(guān)鍵詞:定義數(shù)學(xué)

        □劉 瑩 郜舒竹

        (首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院,北京 100037)

        關(guān)于跨國討論的話題,其實是關(guān)于算術(shù)運算規(guī)律對于有理數(shù)指數(shù)冪運算的繼承性問題“.繼承性”這一說法始見于19世紀英國數(shù)學(xué)家喬治·皮克科(George Peacock,1791-1858)于1830年在劍橋大學(xué)出版社出版的《論代數(shù)》(ATreatise on Algebra)前言中,其本意是研究算術(shù)中的形式如何繼承到代數(shù)系統(tǒng)中,也就是如何保持算術(shù)運算規(guī)律和法則適用于代數(shù)運算的問題[1].這一說法后來被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的類似研究中.

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》將有理數(shù)指數(shù)冪以及實數(shù)指數(shù)冪安排在“指數(shù)函數(shù)”課程內(nèi)容中,具體要求是“了解指數(shù)的拓展過程……”[2].指數(shù)的拓展過程,經(jīng)歷從自然數(shù)開始,增加0和負整數(shù)到整數(shù);進一步增加分數(shù)到有理數(shù);而后增加無理數(shù)到實數(shù)等.在這樣的過程中,自然會不斷出現(xiàn)繼承性的問題.

        一、問題的緣起

        1995年7月,兩位以色列學(xué)者在荷蘭出版的、數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域久負盛名的期刊《數(shù)學(xué)中的教育研究》(Educational Studies in Mathemat?ics)上發(fā)表一篇研究以色列高中數(shù)學(xué)教師本體性知識的文章[3].其中有一個如何看待分數(shù)指數(shù)冪的測試題.調(diào)查結(jié)果顯示,大部分被試教師都認為表達式的含義是唯一確定,其確定的結(jié)果為.而文章作者認為這樣的回答是不完善的,理由是如果運用不同的方法進行化簡,會出現(xiàn)兩個不同的結(jié)果.

        方法1:

        方法2

        這樣就出現(xiàn)形如“”的悖論.作者認為像這樣出現(xiàn)多種結(jié)果的表達式,等同于不能確定其結(jié)果,因此是不能定義的,就像零作為分母的表達式無法定義一樣.作者認為高中數(shù)學(xué)教師的本體性知識應(yīng)當具有這樣的解釋性特征,能夠認識到表達式的不確定性.

        一年后的1996年9月,兩位美國學(xué)者在同一期刊上撰文表達了不同觀點[4].悖論出現(xiàn)的原因,是前面方法2中出現(xiàn)形如“的推理.悖論的出現(xiàn)并不是因為的意義不確定,而是與不具備相等關(guān)系.為了避免“”這樣的推理,只需要在有理數(shù)指數(shù)冪的定義中,對分數(shù)指數(shù)增加“分子與分母互質(zhì)”,或“最簡分數(shù)(即約分數(shù))”即可.作者列舉了在美國出版的兩個版本的大學(xué)代數(shù)教科書作為例證.

        第一本書中對分數(shù)指數(shù)冪的定義為:如果a是任意一個實數(shù),并且n是使得a的n次根存在的正整數(shù),那么規(guī)定.進一步,如果m是一個正整數(shù),并且與n互質(zhì),那么規(guī)定在這個定義中,由于有“m與n互質(zhì)”的要求就不能寫為,也就避免了的情況,那么表達式就有唯一確定的結(jié)果-2.

        作者列舉的第二本書中對ar的定義為:a是任意實數(shù),如果r是一個有理數(shù),并且a的q次根是一個實數(shù),那么規(guī)定ar=ar1.其中r1是r的最簡分數(shù)形式.這個定義與前面類似,同樣限制了與的相等關(guān)系,因此化簡后的結(jié)果只能等于-2.文章結(jié)論認為的存在是合理的,只要對有理數(shù)指數(shù)冪給出恰當?shù)亩x,就可以使得底數(shù)為負數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪表達式的含義唯一確定.

        綜上,如何理解的問題,實質(zhì)是如何看待與的關(guān)系問題.在小學(xué)數(shù)學(xué)中就已經(jīng)熟悉的分數(shù)基本性質(zhì),能否直接推理出與的相等關(guān)系?

        二、函數(shù)的視角

        與的關(guān)系,可以通過三個冪函數(shù)以及之間的關(guān)系進行解釋.在實數(shù)范圍內(nèi),是一個定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù).-8在其定義域內(nèi),因此從函數(shù)的視角看,實數(shù)范圍內(nèi)是有確定意義的,其函數(shù)值唯一確定,等于-2(見圖1).

        圖1

        函數(shù)是實數(shù)范圍內(nèi)定義域為(-∞,+∞)的偶函數(shù).因此對于x=-8時也是有意義的,此時的函數(shù)值為2,而不是-2(見圖2).

        圖2

        圖3

        由此看出,三個冪函數(shù)以及互不相同.因此算術(shù)中所熟知的運算規(guī)律并不能直接繼承于有理數(shù)指數(shù)冪的運算.比如使用乘法交換律將變?yōu)榛?,每一次的改變都?dǎo)致函數(shù)定義域以及相關(guān)性質(zhì)發(fā)生變化.

        因此對于與的不同就可以理解了,并不是無法定義,而是繼承性地使用算術(shù)運算規(guī)律,從變?yōu)?,使得的含義發(fā)生了改變,進而出現(xiàn)形如的悖論.

        事實上,算術(shù)中所熟悉的運算規(guī)律通常都是在正整數(shù)范圍內(nèi)使用的,這些規(guī)律一般可以繼承到底數(shù)為正數(shù)時的有理數(shù)和實數(shù)指數(shù)冪運算.這也就是對于指數(shù)函數(shù)y=ax為什么需要規(guī)定底數(shù)a>0的道理.

        三、復(fù)數(shù)的眼光

        10年后的2005年11月,兩名韓國學(xué)者在加拿大出版的期刊《為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》(For the Learning of Mathematics)上撰文,對與的關(guān)系做了進一步討論[5].基本觀點是把表達式和分別看作是方程x3=-8和x6=(-8)2在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解的集合.

        按照代數(shù)基本定理,方程x3+8=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有三個解,也就是說可以把表達式理解為是含有三個元素的集合.應(yīng)用熟知的歐拉公式:eix=cosx+isinx,可以求出這三個元素:

        這三個解在復(fù)平面上分別對應(yīng)三個不同的點,其極坐標形式分別為:(見圖4).

        圖4

        按照這樣的理解,表達式是有確定意義的,其存在自然也是合理的.可以定義為含有三個元素的集合:

        同樣,方程x6=(-8)2在復(fù)數(shù)域有六個解,分別對應(yīng)復(fù)平面上六個不同的點:(見圖5).

        圖5

        因此表達式所表示的集合為:

        這說明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),表達式和都是有確定意義的,但二者是不同的.分別表示兩個不同的集合,而且前者是后者的真子集.二者之間的關(guān)系不應(yīng)當用等號“=”表達,而應(yīng)當用集合間的關(guān)系符號表達為:

        至此,應(yīng)當說表達式是有確定意義的,并且是可以定義的.在實數(shù)范圍內(nèi)表達一個唯一確定的數(shù)-2,而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)表達一個包含三個元素的數(shù)集.另外,對于底數(shù)小于0的指數(shù)冪,算術(shù)中所熟悉的諸如交換率、結(jié)合律、分配率等運算規(guī)律,不能直接繼承性地使用.因此與并不具有相等關(guān)系,運用乘法交換率由推演出來的兩個表達式和,其含義也是不一樣的.

        以上對與關(guān)系的討論,反映出從算術(shù)到代數(shù)拓展過程中,人的認知規(guī)律與數(shù)學(xué)邏輯規(guī)律不一致的現(xiàn)象.從認知的角度說,期望將算術(shù)中已經(jīng)熟悉的自然數(shù)的運算規(guī)律,自然而然地運用到有理數(shù)指數(shù)上,使得與具有相等關(guān)系.當這種期望違背了數(shù)學(xué)推理中的邏輯規(guī)律時,數(shù)學(xué)家就需要研究如何才能使得這樣的繼承性得以保持.

        數(shù)學(xué)課程與教學(xué)面臨類似的問題,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是循序漸進、螺旋上升的過程,之前已經(jīng)熟悉的知識和經(jīng)驗,在新的范圍內(nèi)能否繼承?為什么能夠或者不能夠繼承?怎樣才能繼承?諸如此類的繼承性問題其實是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的難點,同時也是深入理解新知識的重點.應(yīng)當在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究中引起足夠的重視 .

        [1]PEACOCK G.A treatise on algebra(VOL.Ⅰ)[M].London:Cambridge University Press,1830:IV.

        [2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018:17.

        [3]EVEN R,TIROSH D.Subject-matter knowledge and knowledge about students as sources of teacher-presentations of the subjectmatter[J].Educational Studies in Mathematics,1995,29(1):1-20.

        [4]GOEL S K,ROBILLARD M S.The equation:=2[J].Educational Studies in Mathematics,1996,33(3):319-320.

        [5]CHOI Y,DO J.Equality involved in 0.999...and[J].For the Learning of Mathematics,2005,25(3):13-15,36.

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