□劉 瑩 郜舒竹

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京 100037）

關(guān)于跨國討論的話題，其實是關(guān)于算術(shù)運算規(guī)律對于有理數(shù)指數(shù)冪運算的繼承性問題“.繼承性”這一說法始見于19世紀英國數(shù)學(xué)家喬治·皮克科（George Peacock，1791－1858）于1830年在劍橋大學(xué)出版社出版的《論代數(shù)》（ATreatise on Algebra）前言中，其本意是研究算術(shù)中的形式如何繼承到代數(shù)系統(tǒng)中，也就是如何保持算術(shù)運算規(guī)律和法則適用于代數(shù)運算的問題[1].這一說法后來被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的類似研究中.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》將有理數(shù)指數(shù)冪以及實數(shù)指數(shù)冪安排在“指數(shù)函數(shù)”課程內(nèi)容中，具體要求是“了解指數(shù)的拓展過程……”[2].指數(shù)的拓展過程，經(jīng)歷從自然數(shù)開始，增加0和負整數(shù)到整數(shù)；進一步增加分數(shù)到有理數(shù)；而后增加無理數(shù)到實數(shù)等.在這樣的過程中，自然會不斷出現(xiàn)繼承性的問題.

一、問題的緣起

1995年7月，兩位以色列學(xué)者在荷蘭出版的、數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域久負盛名的期刊《數(shù)學(xué)中的教育研究》（Educational Studies in Mathemat?ics）上發(fā)表一篇研究以色列高中數(shù)學(xué)教師本體性知識的文章[3].其中有一個如何看待分數(shù)指數(shù)冪的測試題.調(diào)查結(jié)果顯示，大部分被試教師都認為表達式的含義是唯一確定，其確定的結(jié)果為.而文章作者認為這樣的回答是不完善的，理由是如果運用不同的方法進行化簡，會出現(xiàn)兩個不同的結(jié)果.

方法1：

方法2

這樣就出現(xiàn)形如“”的悖論.作者認為像這樣出現(xiàn)多種結(jié)果的表達式，等同于不能確定其結(jié)果，因此是不能定義的，就像零作為分母的表達式無法定義一樣.作者認為高中數(shù)學(xué)教師的本體性知識應(yīng)當具有這樣的解釋性特征，能夠認識到表達式的不確定性.

一年后的1996年9月，兩位美國學(xué)者在同一期刊上撰文表達了不同觀點[4].悖論出現(xiàn)的原因，是前面方法2中出現(xiàn)形如“的推理.悖論的出現(xiàn)并不是因為的意義不確定，而是與不具備相等關(guān)系.為了避免“”這樣的推理，只需要在有理數(shù)指數(shù)冪的定義中，對分數(shù)指數(shù)增加“分子與分母互質(zhì)”，或“最簡分數(shù)（即約分數(shù)）”即可.作者列舉了在美國出版的兩個版本的大學(xué)代數(shù)教科書作為例證.

第一本書中對分數(shù)指數(shù)冪的定義為：如果a是任意一個實數(shù)，并且n是使得a的n次根存在的正整數(shù)，那么規(guī)定.進一步，如果m是一個正整數(shù)，并且與n互質(zhì)，那么規(guī)定在這個定義中，由于有“m與n互質(zhì)”的要求就不能寫為，也就避免了的情況，那么表達式就有唯一確定的結(jié)果-2.

作者列舉的第二本書中對ar的定義為：a是任意實數(shù)，如果r是一個有理數(shù)，并且a的q次根是一個實數(shù)，那么規(guī)定ar=ar1.其中r1是r的最簡分數(shù)形式.這個定義與前面類似，同樣限制了與的相等關(guān)系，因此化簡后的結(jié)果只能等于-2.文章結(jié)論認為的存在是合理的，只要對有理數(shù)指數(shù)冪給出恰當?shù)亩x，就可以使得底數(shù)為負數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪表達式的含義唯一確定.

綜上，如何理解的問題，實質(zhì)是如何看待與的關(guān)系問題.在小學(xué)數(shù)學(xué)中就已經(jīng)熟悉的分數(shù)基本性質(zhì)，能否直接推理出與的相等關(guān)系？

二、函數(shù)的視角

與的關(guān)系，可以通過三個冪函數(shù)以及之間的關(guān)系進行解釋.在實數(shù)范圍內(nèi)，是一個定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù).-8在其定義域內(nèi)，因此從函數(shù)的視角看，實數(shù)范圍內(nèi)是有確定意義的，其函數(shù)值唯一確定，等于-2（見圖1）.

圖1

函數(shù)是實數(shù)范圍內(nèi)定義域為(-∞,+∞)的偶函數(shù).因此對于x=-8時也是有意義的，此時的函數(shù)值為2，而不是-2（見圖2）.

圖2

圖3

由此看出，三個冪函數(shù)以及互不相同.因此算術(shù)中所熟知的運算規(guī)律并不能直接繼承于有理數(shù)指數(shù)冪的運算.比如使用乘法交換律將變?yōu)榛?，每一次的改變都?dǎo)致函數(shù)定義域以及相關(guān)性質(zhì)發(fā)生變化.

因此對于與的不同就可以理解了，并不是無法定義，而是繼承性地使用算術(shù)運算規(guī)律，從變?yōu)?，使得的含義發(fā)生了改變，進而出現(xiàn)形如的悖論.

事實上，算術(shù)中所熟悉的運算規(guī)律通常都是在正整數(shù)范圍內(nèi)使用的，這些規(guī)律一般可以繼承到底數(shù)為正數(shù)時的有理數(shù)和實數(shù)指數(shù)冪運算.這也就是對于指數(shù)函數(shù)y=ax為什么需要規(guī)定底數(shù)a＞0的道理.

三、復(fù)數(shù)的眼光

10年后的2005年11月，兩名韓國學(xué)者在加拿大出版的期刊《為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》（For the Learning of Mathematics）上撰文，對與的關(guān)系做了進一步討論[5].基本觀點是把表達式和分別看作是方程x3=-8和x6=（-8）2在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解的集合.

按照代數(shù)基本定理，方程x3+8=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有三個解，也就是說可以把表達式理解為是含有三個元素的集合.應(yīng)用熟知的歐拉公式：eix=cosx+isinx，可以求出這三個元素：

這三個解在復(fù)平面上分別對應(yīng)三個不同的點，其極坐標形式分別為：（見圖4）.

圖4

按照這樣的理解，表達式是有確定意義的，其存在自然也是合理的.可以定義為含有三個元素的集合：

同樣，方程x6=（-8）2在復(fù)數(shù)域有六個解，分別對應(yīng)復(fù)平面上六個不同的點：（見圖5）.

圖5

因此表達式所表示的集合為：

這說明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，表達式和都是有確定意義的，但二者是不同的.分別表示兩個不同的集合，而且前者是后者的真子集.二者之間的關(guān)系不應(yīng)當用等號“=”表達，而應(yīng)當用集合間的關(guān)系符號表達為：

至此，應(yīng)當說表達式是有確定意義的，并且是可以定義的.在實數(shù)范圍內(nèi)表達一個唯一確定的數(shù)-2，而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)表達一個包含三個元素的數(shù)集.另外，對于底數(shù)小于0的指數(shù)冪，算術(shù)中所熟悉的諸如交換率、結(jié)合律、分配率等運算規(guī)律，不能直接繼承性地使用.因此與并不具有相等關(guān)系，運用乘法交換率由推演出來的兩個表達式和，其含義也是不一樣的.

以上對與關(guān)系的討論，反映出從算術(shù)到代數(shù)拓展過程中，人的認知規(guī)律與數(shù)學(xué)邏輯規(guī)律不一致的現(xiàn)象.從認知的角度說，期望將算術(shù)中已經(jīng)熟悉的自然數(shù)的運算規(guī)律，自然而然地運用到有理數(shù)指數(shù)上，使得與具有相等關(guān)系.當這種期望違背了數(shù)學(xué)推理中的邏輯規(guī)律時，數(shù)學(xué)家就需要研究如何才能使得這樣的繼承性得以保持.

數(shù)學(xué)課程與教學(xué)面臨類似的問題，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是循序漸進、螺旋上升的過程，之前已經(jīng)熟悉的知識和經(jīng)驗，在新的范圍內(nèi)能否繼承？為什么能夠或者不能夠繼承？怎樣才能繼承？諸如此類的繼承性問題其實是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的難點，同時也是深入理解新知識的重點.應(yīng)當在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究中引起足夠的重視 .

［1］PEACOCK G.A treatise on algebra(VOL.Ⅰ)［M］.London:Cambridge University Press,1830:IV.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018：17.

［3］EVEN R,TIROSH D.Subject-matter knowledge and knowledge about students as sources of teacher-presentations of the subjectmatter［J］.Educational Studies in Mathematics,1995,29(1):1-20.

［4］GOEL S K,ROBILLARD M S.The equation:=2［J］.Educational Studies in Mathematics,1996,33(3):319-320.

［5］CHOI Y,DO J.Equality involved in 0.999...and［J］.For the Learning of Mathematics,2005,25(3):13-15,36.