于震梁, 孫志禮, 曹汝男, 王鵬

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧 沈陽 110819)

0 引言

準(zhǔn)確預(yù)測(cè)機(jī)械裝備中關(guān)鍵功能部件(如傳動(dòng)箱中的軸承、齒輪等)的剩余壽命既能保證設(shè)備在較高可靠性水平下工作，又可以避免過頻(預(yù)防性)維修或更換造成的資源浪費(fèi)。因此，在機(jī)械裝備中關(guān)鍵部件的剩余壽命預(yù)測(cè)，越來越受到國內(nèi)外工程師及學(xué)者關(guān)注。同時(shí)，傳感器技術(shù)的快速發(fā)展及應(yīng)用為航空航天、高速鐵路運(yùn)輸、大型水面船舶等重要設(shè)備剩余壽命預(yù)測(cè)提供了必要的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)支撐，如某國內(nèi)機(jī)床企業(yè)已在最新車床的主軸系統(tǒng)上安裝振動(dòng)傳感器用于監(jiān)測(cè)該系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)，并開始制定基于設(shè)備狀態(tài)數(shù)據(jù)的售后維護(hù)策略。

目前廣泛應(yīng)用的剩余壽命預(yù)測(cè)模型按采用的基本理論[1-2]可分為：統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程模型[3-4]、專家系統(tǒng)[5]、機(jī)器學(xué)習(xí)算法模型[6-9]及物理模型等。按建模時(shí)采用的訓(xùn)練數(shù)據(jù)來源可分為：基于全壽命狀態(tài)退化數(shù)據(jù)的剩余壽命預(yù)測(cè)模型[6-8]和基于當(dāng)前被預(yù)測(cè)零件退化軌跡的回歸模型[9]。以支持向量機(jī)(SVM)[7,10-11]、相關(guān)向量機(jī)(RVM)[8-9]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]為代表的機(jī)器學(xué)習(xí)算法模型魯棒性好，針對(duì)不同研究對(duì)象的建模過程差異較小，適應(yīng)性強(qiáng)。

然而上述眾多方法均致力于得到剩余壽命的點(diǎn)估計(jì)值，較少關(guān)注剩余壽命的其他統(tǒng)計(jì)特征(如一定置信度下的置信區(qū)間)。在基于可靠性的設(shè)備維護(hù)方案制定中，設(shè)備壽命概率分布情況對(duì)方案制定同樣具有重要影響?；谌珘勖鼱顟B(tài)退化數(shù)據(jù)的剩余壽命預(yù)測(cè)模型，根據(jù)全壽命試驗(yàn)等方法，獲取具有研究對(duì)象整體統(tǒng)計(jì)特征的工作狀態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，得到零件運(yùn)行狀態(tài)與剩余壽命的映射關(guān)系，此類模型不能充分反映研究對(duì)象的個(gè)體差異。而基于當(dāng)前零件退化軌跡的回歸模型，在建模過程中過度依賴零件個(gè)體退化狀態(tài)數(shù)據(jù)，當(dāng)傳感器受到較大外界干擾時(shí)，剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果不夠穩(wěn)定。

為了彌補(bǔ)以上不足，借鑒交通流預(yù)測(cè)[12]、組合導(dǎo)航預(yù)測(cè)[13]、風(fēng)電功率預(yù)測(cè)[14]等工程問題，本文提出了采用SVM和卡爾曼濾波相結(jié)合的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)模型建模思路，將SVM與非線性卡爾曼濾波模型相結(jié)合，構(gòu)造出能夠充分利用全壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)和被預(yù)測(cè)件個(gè)體實(shí)時(shí)狀態(tài)退化數(shù)據(jù)的剩余壽命預(yù)測(cè)模型。所建立模型與現(xiàn)有SVM和卡爾曼濾波相結(jié)合的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)模型的不同之處在于，現(xiàn)有SVM和卡爾曼濾波相結(jié)合的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)模型將被預(yù)測(cè)對(duì)象(如：交通流、風(fēng)電功率等)視為時(shí)間序列，即采用SVM建立時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，并采用卡爾曼濾波進(jìn)行“修正”。本文所提出模型將全壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)中零件退化狀態(tài)和對(duì)應(yīng)的剩余壽命分別作為輸出變量和輸入變量的訓(xùn)練SVM模型，采用極大似然法估計(jì)SVM輸出變量分布參數(shù)，并將所得SVM模型作為非線性卡爾曼狀態(tài)更新方程，而并非為時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型。SVM模型輸出剩余壽命預(yù)測(cè)值只與給定時(shí)刻研究對(duì)象退化狀態(tài)(如軸承振動(dòng)信號(hào))有關(guān)，與之前各時(shí)刻退化狀態(tài)無關(guān)，即與退化過程無關(guān)；然后構(gòu)造基于被預(yù)測(cè)件實(shí)時(shí)狀態(tài)退化數(shù)據(jù)的時(shí)間更新方程，對(duì)研究對(duì)象剩余壽命進(jìn)行修正，即考慮退化過程采用非線性卡爾曼濾波器對(duì)SVM所得剩余壽命預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正。設(shè)定初始剩余壽命點(diǎn)估計(jì)值及方差，通過逐步迭代計(jì)算各時(shí)刻零件剩余壽命值及一定置信水平下置信區(qū)間，從而實(shí)現(xiàn)所得剩余壽命預(yù)測(cè)值的同時(shí)又體現(xiàn)研究對(duì)象整體退化特性以及被預(yù)測(cè)件的個(gè)體差異。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 剩余壽命

機(jī)械零件從開始工作至失效大致經(jīng)歷3個(gè)階段：穩(wěn)定運(yùn)行、性能持續(xù)退化、最終失效。在第1階段其各項(xiàng)性能指標(biāo)不會(huì)有明顯變化，在初始損傷后隨工作時(shí)間變長會(huì)有退化發(fā)生且逐漸加劇，當(dāng)退化量達(dá)到或超過某一極限時(shí)零件最終失效。若某零件t時(shí)刻退化程度可由指標(biāo)x(t)度量(x可為矢量也可為標(biāo)量，此處以標(biāo)量為例進(jìn)行說明)，不失一般性，可設(shè)x(t)呈遞增趨勢(shì)，當(dāng)x(t)達(dá)到或超過預(yù)設(shè)閾值[x]時(shí)，認(rèn)為該零件無法完成指定功能即失效，則t時(shí)刻該零件的剩余壽命為RUL(t)=inf{t1|x(t1)≥[x]}-t，inf{}表示下確界。

1.2 SVM理論

SVM是一種以統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)、以結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化為原則的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、故障診斷、結(jié)構(gòu)可靠性分析、回歸分析等領(lǐng)域。本文中采用SVM進(jìn)行機(jī)械零件剩余壽命預(yù)測(cè)。

若訓(xùn)練樣本為S={(vn,yn)，vn∈Rl，yn∈R，n=1,2,…,N}，vn為l維輸入變量(l≥1)，yn為與vn對(duì)應(yīng)的輸出變量，n為訓(xùn)練樣本數(shù)。為了構(gòu)造結(jié)合SVM和卡爾曼濾波的剩余壽命預(yù)測(cè)模型，將輸入變量和輸出變量分別設(shè)定為剩余壽命值和零件退化特征量。

當(dāng)y與v為線性關(guān)系時(shí)，

f(x)=w·v+b，

(1)

式中：f(x)為對(duì)應(yīng)輸出變量y的回歸函數(shù)；w∈Rl為權(quán)值矢量；b∈R；w·v表示w與v間的點(diǎn)積。

w和b可通過如下優(yōu)化問題求得：

(2)

(3)

(4)

當(dāng)v與y為非線性關(guān)系時(shí)，可通過滿足Mercer條件的核函數(shù)將該非線性問題轉(zhuǎn)為更高維度的線性問題。此時(shí)只需將(4)式中vn·v替換為K(vn,v)，(4)式回歸函數(shù)可變?yōu)?/p>

(5)

式中：K(·,·)為核函數(shù)。本文取K(·,·)為應(yīng)用最廣泛的高斯徑向基核函數(shù)，形式為K(vm,vn)=exp(-γ‖vm-vn‖2),γ為核函數(shù)參數(shù)。

給定訓(xùn)練樣本S、懲罰因子C及核函數(shù)參數(shù)γ對(duì)SVM模型精度和推廣能力有很大影響，采用K-fold交叉驗(yàn)證法[16]確定最優(yōu)(C,γ)組合，實(shí)例分析中取K=10.

2 基于SVM和卡爾曼濾波的剩余壽命預(yù)測(cè)模型

2.1 SVM輸出變量分布估計(jì)

y=(v)+ζ,

(6)

式中：ζ為零均值殘差項(xiàng)。假設(shè)v與ζ相互獨(dú)立，則該假設(shè)在理論上是不成立的，但工程中依據(jù)此假設(shè)計(jì)算所得出的輸出變量y的概率分布所產(chǎn)生誤差，在可接受范圍內(nèi)[17]。

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，通常情況下ζ服從拉普拉斯分布或零均值正態(tài)分布。本文中取后者，即假設(shè)ζ服從零均值正態(tài)分布，方差為σ2. 隨機(jī)變量ζ的N個(gè)觀測(cè)值為ζn=yn-(vn)，則σ2的極大似然估計(jì)可表示為

(7)

結(jié)合(6)式，可得SVM模型輸出變量y的近似服從均值和方程分別為(v)和2的正態(tài)分布，

y～N((v),2),

(8)

因此，

P(|y-(v)|≤3)≈0.997 3.

(9)

2.2 結(jié)合SVM和卡爾曼濾波的剩余壽命預(yù)測(cè)模型

全壽命狀態(tài)數(shù)據(jù)的剩余壽命預(yù)測(cè)模型其基本思想是，充分利用了全壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立壽命預(yù)測(cè)模型，所建立模型能夠體現(xiàn)研究對(duì)象的共性特征(如性能退化曲線走向)，而缺乏對(duì)個(gè)體對(duì)象工作環(huán)境或載荷特性的反映(如由于制造、安裝隨機(jī)誤差、承受載荷等造成的個(gè)體差異)。這是基于當(dāng)前被預(yù)測(cè)零件退化軌跡的剩余壽命預(yù)測(cè)模型建模過程不需要全壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，且能夠反映個(gè)體差異，但缺乏對(duì)同類或相似產(chǎn)品的“共性認(rèn)識(shí)”。

下面提出構(gòu)造SVM與非線性卡爾曼濾波相結(jié)合的剩余壽命預(yù)測(cè)模型。首先，使用經(jīng)過整理的研究對(duì)象的全壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)或相似產(chǎn)品退化數(shù)據(jù)訓(xùn)練SVM模型，即：tn時(shí)刻零件剩余壽命RUL(tn)作為SVM輸入變量，將退化指標(biāo)x(tn)作為輸出變量，通過K-fold交叉驗(yàn)證法確定最優(yōu)(C,γ)組合，將所得SVM模型(RUL)作為非線性卡爾曼濾波模型的狀態(tài)更新方程。然后，基于被預(yù)測(cè)件實(shí)時(shí)狀態(tài)退化數(shù)據(jù)構(gòu)造時(shí)間更新方程，從而達(dá)到所得剩余壽命預(yù)測(cè)模型既能夠利用全壽命數(shù)據(jù)(SVM模型)又考慮到研究對(duì)象個(gè)體差異(卡爾曼濾波模型)的目的。綜上所述，本文構(gòu)造的剩余壽命預(yù)測(cè)模型可表示為

RULn=RULn-1-Δn-1,n，Δn-1,n=tn-tn-1,

(10)

xn-1=(RULn-1)+ζ，ζ～N(0,2),

(11)

式中：RULn為tn時(shí)刻剩余壽命；xn為tn時(shí)刻退化指標(biāo)取值。

(12)式和(13)式為所提模型基本思想的數(shù)學(xué)表示：

(12)

(13)

(14)式和(15)式分別為基于全壽命狀態(tài)退化數(shù)據(jù)的剩余壽命預(yù)測(cè)模型和基于當(dāng)前被預(yù)測(cè)件退化軌跡的回歸模型基本思路的數(shù)學(xué)表示：

(14)

(15)

由(12)式和(13)式及圖1可知，應(yīng)用(10)式和(11)式模型得到的零件剩余壽命預(yù)測(cè)值整合了相同或相似產(chǎn)品退化數(shù)據(jù)和被預(yù)測(cè)零件各時(shí)刻工作狀態(tài)觀測(cè)值，最大限度地利用了已知數(shù)據(jù)。

2.3 所提出模型迭代求解

4)根據(jù)卡爾曼濾波模型及SVM輸出變量分布特性可知，RULn真實(shí)值服從正態(tài)分布：

(16)

3 基于SVM的軸承剩余壽命預(yù)測(cè)

采用美國國家基金會(huì)產(chǎn)學(xué)研合作中心IMS(Inteligent Maintenance Systems)數(shù)據(jù)庫中滾動(dòng)軸承全壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)[18]驗(yàn)證本文提出剩余壽命預(yù)測(cè)模型準(zhǔn)確性及穩(wěn)定性。該滾動(dòng)軸承試驗(yàn)采用美國萊克斯諾工業(yè)集團(tuán)ZA-2115雙列滾動(dòng)軸承組成。試驗(yàn)轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，各軸承所承受徑向載荷約為27 kN. 加速度傳感器安裝在軸承座上，每隔10 min采集一次數(shù)據(jù)，每次采集時(shí)長為1 s，收集20 480個(gè)加速度值。

借鑒文獻(xiàn)[19]中均方根(RMS)值的方法，求解方均根uRMS如(17)式所示，

(17)

式中:un(i)(i=1,…,T)為第n次信號(hào)序列；T為每次信號(hào)采集數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)。RMS對(duì)個(gè)體差異敏感，需要對(duì)RMS進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化和滑移平均處理。首先選取正常期內(nèi)一段趨勢(shì)平穩(wěn)RMS，將該段RMS平均數(shù)定為標(biāo)準(zhǔn)值。隨后計(jì)算原始RMS與標(biāo)準(zhǔn)值之比，得到相對(duì)均方根(RRMS)值. 為減少振動(dòng)特征隨機(jī)性的影響，利用7點(diǎn)滑移平均處理RRMS，得到平滑的RRMS.

選用平滑的RRMS值作為軸承退化程度度量。RRMS值越大，說明振動(dòng)越強(qiáng)烈，工作狀態(tài)退化越嚴(yán)重。圖2為平滑處理后試驗(yàn)中2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)軸承RRMS值隨時(shí)間變化情況。定義軸承退化起始閾值和最終失效閾值分別為1.05和1.50，即當(dāng)RRMS值處在1.05和1.50之間時(shí)認(rèn)為軸承處于性能退化階段，當(dāng)RRMS值達(dá)到或超過1.50時(shí)軸承失效。由于穩(wěn)定工作階段的軸承各項(xiàng)振動(dòng)指標(biāo)沒有明顯波動(dòng)，難以建立模型進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)，只對(duì)處于退化階段的剩余壽命值進(jìn)行預(yù)測(cè)說明。根據(jù)所設(shè)置衰退起始閾值2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)軸承的起始衰退時(shí)間分別約為開始工作后100 h、103 h和118 h(見圖2)，3個(gè)滾動(dòng)軸承進(jìn)入衰退期后RRMS與RUL(t)值組成的樣本集分布為S2、S3、S4.S2={(RUL2,n,x2,n),n=1,2,…,146},S3={(RUL3,n,x3,n),n=1,2,…,148},S4={(RUL4,n,x4,n),n=1,2,…,126}。

設(shè)不敏感因子ε=0，將S2作為驗(yàn)證集，用于驗(yàn)證所提出方法的準(zhǔn)確性，S3∪S4作為訓(xùn)練集(是SVM模型所需的)，用于訓(xùn)練所構(gòu)造的剩余壽命預(yù)測(cè)模型，采用10-fold交叉驗(yàn)證度量SVM精度及推廣能力，在二維空間優(yōu)化(C,γ)，得到最優(yōu)參數(shù)為=3.66，=15.71. 再根據(jù)1.2節(jié)理論訓(xùn)練SVM模型，并依據(jù)(7)式估計(jì)所得模型輸出殘差項(xiàng)方差，2=1.6×10-3. 由數(shù)據(jù)采集間隔值可知，Δn,n+1=1/6.

令P0=(0.1RUL0)2，P0為2.2節(jié)中剩余壽命預(yù)測(cè)模型的初始條件之一(亦為非線性卡爾曼濾波的初始條件之一)，進(jìn)入退化階段時(shí)2號(hào)軸承剩余壽命RUL0=24.5 h(即該軸承進(jìn)入退化階段運(yùn)行24.5 h后完全失效，見圖3)，為了驗(yàn)證基于SVM和卡爾曼濾波的剩余壽命預(yù)測(cè)模型準(zhǔn)確性，在模型中設(shè)定進(jìn)入退化階段時(shí)2號(hào)軸承剩余壽命RUL0值與真實(shí)值應(yīng)有一定偏差。當(dāng)模型初始條件RUL0=18 h時(shí)，應(yīng)用2.3節(jié)中迭代方法求解，得到衰退期軸承各時(shí)刻的剩余壽命均值，以及在置信水平為0.997 3的剩余壽命置信區(qū)間上下限曲線，并與真實(shí)值對(duì)比，如圖3(a)所示。圖3(b)、圖3(c)、圖3(d)分別為RUL0取值20 h、23 h、25 h時(shí)，進(jìn)入退化階段的軸承在各時(shí)刻剩余壽命均值和上下限曲線與真實(shí)值的對(duì)比情況。

由圖3可知，基于SVM和卡爾曼濾波的剩余壽命預(yù)測(cè)模型能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)軸承在各時(shí)刻的剩余壽命，且置信水平為0.997 3的剩余壽命置信區(qū)間較好地覆蓋了真實(shí)剩余壽命值。當(dāng)RUL0與真實(shí)值存在較大偏差時(shí)(見圖3(a)和圖3(b))，該模型能夠逐步修正剩余壽命預(yù)測(cè)值，縮小預(yù)測(cè)誤差，使其逐漸接近真實(shí)值。當(dāng)RUL0與真實(shí)值較接近時(shí)(見圖3(c)和圖3(d))，各時(shí)間點(diǎn)處剩余壽命預(yù)測(cè)值總體上在真實(shí)剩余壽命附近波動(dòng)。

4 結(jié)論

本文通過分析基于全壽命狀態(tài)數(shù)據(jù)的剩余壽命預(yù)測(cè)模型和基于當(dāng)前被預(yù)測(cè)件退化軌跡的剩余壽命預(yù)測(cè)模型存在的不足，提出了將SVM與非線性卡爾曼濾波相結(jié)合的剩余壽命預(yù)測(cè)模型。該模型的特點(diǎn)為：1)將現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)訓(xùn)練所得SVM模型作為卡爾曼濾波狀態(tài)更新方程，剩余壽命預(yù)測(cè)值是基于已掌握的全壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及被預(yù)測(cè)件衰退期內(nèi)退化信號(hào)所得到的，最大限度利用了各類數(shù)據(jù)；2)能夠提供剩余壽命值的區(qū)間估計(jì)；3)模型中只假設(shè)研究對(duì)象工作狀態(tài)隨時(shí)間存在退化特性，因此具有一定的通用性。

通過滾動(dòng)軸承的實(shí)例分析，得到以下結(jié)論：1)本文提出的方法能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)處于退化階段零件的剩余壽命；2)置信水平為0.997 3的剩余壽命置信區(qū)間大多數(shù)情況下包含真實(shí)剩余壽命值，有效地彌補(bǔ)了模型可能存在的誤差。3)當(dāng)初值與真實(shí)值存在較大誤差時(shí)，能夠通過迭代逐步改善預(yù)測(cè)值精度，但當(dāng)RUL0相對(duì)誤差過大時(shí)(如大于15%甚至20%)，會(huì)導(dǎo)致剩余壽命預(yù)測(cè)值收斂于真實(shí)值的速度變慢，RUL0準(zhǔn)確性對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度較重要。因此，本文提出的方法可以為制定合理的設(shè)備維護(hù)策略提供參考，也可為解決工程中的類似問題提供借鑒。

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