王耿， 王帥旗

(河南理工大學 機械與動力工程學院， 河南 焦作 454003)

0 引言

偏擺平臺是現(xiàn)代光機電系統(tǒng)中常見的一類重要部件，廣泛應用于激光通信、自適應光學、目標跟蹤、復合軸精密跟蹤、原子力顯微鏡、激光雷達、光束穩(wěn)定、激光掃描等領域[1-3]。這類系統(tǒng)的高效工作通常要求使用高精度的高性能偏擺平臺。偏擺平臺的輸出運動一方面依賴于機械運動形變；另一方面依賴于其內(nèi)部使用的驅動器，如音圈電機、壓電致動器、微機電系統(tǒng)、靜電驅動器等。近年來，壓電式偏擺平臺[4-5]由于具備響應速度快、定位分辨率高、輸出驅動力大、無摩擦、真空和電磁兼容等優(yōu)點，在高精度定位系統(tǒng)中獲得了更廣泛的關注。

文獻[6-7]表明壓電平臺的跟蹤定位性能主要受限于兩個因素。一個因素是平臺較低的固有頻率限制了系統(tǒng)的跟蹤精度和控制帶寬。一方面，這個影響因素可以通過設計緊湊型結構來提高固有頻率[8]；另一方面，當平臺較低的固有頻率無法提高時，為了得到更高的響應速度并保持較高的跟蹤精度，也可以通過采用合適的控制方法[9-10]來實現(xiàn)。另一個因素是壓電系統(tǒng)存在的非線性特性[11-12]，包括遲滯、蠕變和未知干擾等。此外，系統(tǒng)中所使用的傳感器也可能會對平臺性能造成影響。因此，目前開發(fā)一個高性能的壓電式偏擺平臺仍然是一項具有挑戰(zhàn)性的任務。目前，許多研究機構和公司都開發(fā)了各式各樣不同性能的壓電偏擺平臺。德國PI公司研發(fā)的S-330平臺具備0.5 μrad角度分辨力、2 mrad偏擺范圍、0.2 kg質量、3.7 kHz機械諧振頻率。華中科技大學研發(fā)的用于激光掃描的偏擺平臺尺寸為60 mm×50 mm×25 mm，具有±12 mrad偏擺范圍、70 g質量、1.8 kHz 1階諧振頻率[13]。法國CEDRAT公司生產(chǎn)的V-DTTXS35壓電平臺質量為35 g，平臺直徑為38.1 mm，空載諧振頻率為3.2 kHz,最大掃描角度范圍為±2 mrad. 在有關壓電偏擺平臺設計的文獻報道中，驅動元件和測量元件大都采用成熟的產(chǎn)品[14]；當采用相同的控制方法時，平臺性能的差異主要源自于結構設計的不同，尤其是采用柔性結構可以獲得高精度、無摩擦、無間隙、結構緊湊、高固有頻率等優(yōu)良特性。文獻[15]基于柔順并聯(lián)機構設計了一種用于微操作領域的角度偏擺機構。文獻[16]設計了一種基于柔性鉸鏈的大行程旋轉定位平臺，可以實現(xiàn)角度和轉矩自感知。

文獻[13]設計的激光掃描偏擺平臺需要兩個壓電驅動器，導致尺寸較大，增大了成本。文獻[8]設計的偏擺平臺諧振頻率偏低，僅為180.4 Hz. 一般情況下，尺寸較小的平臺易于達到結構緊湊、高諧振頻率的特征。

本文據(jù)此設計和開發(fā)了一種新的基于柔性結構[17]的壓電式驅動偏擺平臺，包括平臺機構設計與原理分析、有限元仿真分析、原型測試及PID跟蹤控制實驗等。該平臺具有尺寸緊湊、無摩擦、高跟蹤精度、高諧振頻率的特點。

1 復合柔性鉸鏈設計與分析

本節(jié)提出了一個能夠實現(xiàn)二級放大的復合柔性鉸鏈機構，它是基于柔性結構的緊湊型壓電式偏擺平臺的主要運動部件。該復合柔性鉸鏈的工作原理如圖1所示，可以看出它由下半部分的八邊形框架和上半部分的柔性轉動部分組合而成。圖1中符號?表示固定連接。事實上，該柔性鉸鏈采用電火花線切割一體化加工而成，充分利用了柔性結構的特點實現(xiàn)了二級放大。八邊形框架基于三角放大原理實現(xiàn)第1級放大，柔性轉動部分基于差動原理實現(xiàn)第2級放大。當在圖1中標號1處由壓電驅動器施加向上(或向下)的位移量時，會在標號2和標號3處產(chǎn)生水平向右(或向左)的放大輸出位移量，進而推動柔性轉動體在標號4和標號5處產(chǎn)生差動轉角輸出，實現(xiàn)偏擺動作。該復合柔性鉸鏈采用鋁合金材料7075制作而成，在其底邊和轉軸處固定，運動過程中不存在摩擦，進而提高了偏擺精度，而且結構緊湊、具有2 697 Hz的諧振頻率。

為了計算該結構的實際偏擺量程，需要對二級放大復合柔性鉸鏈進行分析?？紤]到材料性能和幾何關系，首先采用材料力學方法進行簡化解析計算，然后用有限元法進行驗證。該復合柔性鉸鏈可以看作是八邊形框架部分和柔性轉動體的結合，二者通過兩個內(nèi)力對(F,F′)相聯(lián)系。F和F′大小相等、方向相反，相互作用于對方。如圖2所示，在框架結構上部施加一個向上的輸入位移Δy，此時框架結構左右兩個豎直桿的中部都會受到來自柔性轉動體向左的力F′；根據(jù)力的相互作用原理，柔性轉動體會受到來自框架結構向右的反作用力F. 因此，可以把該復合柔性鉸鏈看成兩個物體，由F和F′聯(lián)系在一起。為了便于分析計算，假設圖2中只有藍色的部分可以產(chǎn)生彈性變形，其他部分視為剛體。

如圖3(a)所示，當八邊形框架結構施加向上的輸入位移Δy時，會在A′點產(chǎn)生一個向右的位移量Δx，同時柔性轉動體會在A′點對八邊形框架結構有一個向左的拉力F′，使其產(chǎn)生向左的位移Δx′. 因此，在A′點的實際位移量w滿足：

w=Δx-Δx′.

(1)

圖3(a)中標出的L3為該八邊形框架結構的左下桿m的長度。該八邊形結構基于三角放大原理在輸入位移Δy作用下的變形，其幾何關系滿足：

Δx=L3(sinα-sin(α-Δα)),

(2)

Δy=L3(cos(α-Δα)-cosα),

(3)

(4)

式中：α為傾斜桿件與豎直方向的夾角。

柔性轉動體對八邊形框架結構施加的向左拉力F′可以等效為一個新的力F′/2和力矩M，如圖3(b)所示。根據(jù)梁在力和力矩作用下的彎曲理論，可得八邊形框架結構在拉力F′作用下的水平位移Δx′為

(5)

式中：Am和Im分別為桿件m的橫截面積和慣性矩；E為材料的彈性模量；L2為八邊形框架結構左邊中部豎直桿的長度。

根據(jù)(1)式、(4)式、(5)式可得向左的拉力F′滿足:

(6)

圖3(c)所示的柔性轉動體具有兩個完全相同的轉動桿，轉動半徑均為L4. 為表述方便，記左邊的轉動桿為n. 在圖3(c)的A′和B′點處均作用了一個力F，它是八邊形框架結構對柔性轉動體的反作用力。這兩個力分別等效為作用在A點和B點處的力F和力矩MF. 根據(jù)前面的假設，圖3(c)中只有藍色的部分能夠產(chǎn)生變形，其他部分視為剛體，因此，A′點的水平位移與A點的水平位移相等?；诹旱膹澢碚?，可得A′點的水平向右的位移量為

(7)

式中：An和In分別為桿件n的橫截面積和慣性矩；β為左邊轉動桿n與豎直方向的夾角，γ為A′點到轉動中心的連線與豎直方向的夾角，并且MF=FL4(cosγ-cosβ).

根據(jù)力的相互作用原理，可得內(nèi)力對之間滿足|F|=|F′| . 根據(jù)幾何約束關系，可知柔性轉動體A′水平向右的位移量與框架結構在A′的實際位移量w相等，因此有：

(8)

聯(lián)立(6)式和(8)式，代入?yún)?shù)值后可得A′點的實際位移量為

w=0.124 2Δycotα.

(9)

由于該柔性轉動體為左右對稱結構，偏轉角一正一負，實現(xiàn)了2倍的差分放大，因此偏擺角θ滿足：

(10)

將(9)式代入(10)式可得偏擺角θ為

(11)

當輸入位移Δy為5 μm時，將表1中的參數(shù)α、γ、L4值代入(11)式，可得該偏擺平臺的偏擺角約為0.20 mrad.

表1 偏擺平臺的部分結構參數(shù)

為了進一步驗證上述解析結果的正確性，采用有限元方法對該復合放大鉸鏈進行靜力學分析。當施加5 μm的位移輸入時，產(chǎn)生的豎直方向變形圖如圖4所示。從圖4可以看出，轉動體上部橫桿左邊沿處的豎直位移為4.716 μm，根據(jù)轉動半徑L4折合成角度值為0.22 mrad. 這個值與解析結果有0.02 mrad的誤差，這個誤差是由于解析計算時的剛性假設和簡化分析所造成的，處于可以接受的范圍內(nèi)。

2 緊湊型壓電式偏擺平臺結構和工作原理

圖5為本文所設計的緊湊型壓電式偏擺平臺結構示意圖，主要部件包括底座、二級放大復合柔性鉸鏈、微型應變式壓電驅動器、兩個側邊固定支撐、鏡座、鏡面等。其中，微型應變式壓電驅動器[18]集驅動和位移感知功能于一體，采用過盈配合鑲嵌在復合柔性鉸鏈內(nèi)部。當施加電壓之后，應變式壓電驅動器通過伸長或縮短來實現(xiàn)對偏擺平臺的位移輸入，其內(nèi)部的應變輸出信號代表了位移輸出量，可通過標定對偏擺平臺的輸出角度實現(xiàn)間接測量。每個側邊固定支撐均與復合柔性鉸鏈的轉動中心軸和底座固定聯(lián)接。該緊湊型壓電式偏擺平臺加工裝配后的實物原型如圖6所示，其工作過程為：微型應變式壓電驅動器在輸入電壓信號下伸長或縮短，給偏擺平臺施加一個位移輸入，推動復合柔性鉸鏈相繼實現(xiàn)三角位移放大和差動位移放大，從而使得偏擺器能夠實現(xiàn)偏擺動作；同時應變式壓電驅動器輸出的應變信號可用于監(jiān)測平臺的輸出角度，進而實現(xiàn)對偏擺角的反饋控制，例如可通過設計控制器來抑制壓電材料自身的遲滯非線性效應，提高其偏擺輸出值的精度。

待原型制作出來之后，采用自準直儀對該壓電式偏擺平臺的應變輸出信號進行了標定。經(jīng)多次測試可知，當施加750 V電壓時，驅動器的伸長量達到了最大值，由自準直儀測量得到的偏擺角為0.16 mrad，同時平臺的應變輸出信號為4.59 V，因此標定系數(shù)為34.9 μrad/V. 該角度范圍與前述的解析值0.20 mrad和有限元分析數(shù)值0.22 mrad之間存在較大誤差。除了簡化的解析計算、裝配誤差、測量誤差等因素之外，一個重要原因是在解析分析和有限元分析時，偏擺角度的計算僅僅考慮了二級放大復合柔性鉸鏈，沒有考慮其內(nèi)置的應變式壓電驅動器和其上端的鏡座與鏡面影響。為此，重新進行有限元分析，分析時加入了壓電驅動器和鏡座與鏡面，圖7中顯示鏡面上部右端處的豎直位移為3.560 μm, 折合成偏轉角為0.169 mrad，與實驗測試結果0.160 mrad存在5%的誤差。這個結果是可以接受的，而且本平臺的設計目標是滿足高精度和高諧振頻率特性，而測試得到的偏擺角度0.160 mrad已可以滿足使用要求。

所設計的壓電式偏擺平臺具有較為緊湊的結構，尺寸為45 mm×45 mm×40 mm，質量為65 g，設計負載為可粘貼在鏡座上的鏡片，質量為12 g. 為了了解該平臺的帶載動態(tài)性能，采用掃頻測試法分析了該壓電式偏擺平臺的帶載頻率特性，得到的頻響曲線如圖8所示。從圖8可以看出，該偏轉平臺具有較復雜的振型和較高的諧振頻率，其前3階諧振頻率約為1 610 Hz、1 999 Hz、2 525 Hz. 如果負載增大，則諧振頻率降低。如果去掉負載，則平臺的諧振頻率將會提高。

3 實驗及分析

3.1 實驗平臺

為了實現(xiàn)較為精確的定位和跟蹤功能，還需要對壓電式偏擺平臺進行閉環(huán)控制，以確定其精度等性能。為此，在精密隔振平臺上搭建了相應的實驗測試系統(tǒng)，實驗裝置及其結構如圖9和圖10所示。一個電壓信號被壓電驅動高壓放大器放大100倍之后，施加到壓電式偏擺平臺內(nèi)部的應變式壓電驅動器上使其產(chǎn)生位移動作，同時會產(chǎn)生一個代表角位移大小的應變輸出信號。這個信號被NI-9237電橋調理模塊采集后送入嵌入式實時控制器NI-cRIO-9036進行處理，經(jīng)一定的算法計算后得出一個輸出控制信號，通過NI-9269模擬輸出模塊輸出到高壓放大器來對壓電式偏擺平臺進行驅動。上位計算機用來開發(fā)和顯示，并通過網(wǎng)線與下位機控制器進行通信。實時控制器主要用來執(zhí)行控制算法，如本文中采用常規(guī)PID算法。PID控制器的3個參數(shù)通過Ziegler-Nichols法進行整定。該偏擺平臺依靠材料的柔性變形實現(xiàn)偏轉動作，偏轉范圍比較小。平臺底座和兩側固定支撐的質量相對較大，工作時二者均處于靜止狀態(tài)。平臺底座和隔振實驗臺之間固定連接，因此其中心位置不會移動，實驗中也未出現(xiàn)中心位置移動的現(xiàn)象，說明了該平臺性能良好。

3.2 定位與跟蹤實驗

首先，測試了該壓電式偏擺平臺的分辨力。由于標定后的應變輸出信號電壓值代表了平臺的偏擺角度，可以用該電壓信號來計算平臺的角度分辨力。給該平臺施加一個0 V的輸入電壓，會從應變模塊得到其輸出噪音信號。經(jīng)過多次測量，得到的噪音如圖11(a)所示。圖11(a)中選用的測量時間為3.5 s，采樣頻率為10 kHz. 從圖11(b)中該信號的柱狀可以看出，該輸出信號基本符合高斯正態(tài)分布，同時可計算出其標準差為0.49 μrad. 根據(jù)拉依達準則，選取3倍標準差作為輸出信號的分辨力[19]，因此可得該偏擺平臺的角度定位分辨力約為1.5 μrad. 需要說明的是，該平臺的角度定位分辨力是以測量次數(shù)足夠多為前提，并根據(jù)應變傳感器的輸出信號計算出來的。由于無法做到無窮多的測量次數(shù)，實際測量結果存在較小程度的隨機性誤差。而且測量時沒有濾除高頻噪聲，該柱狀圖的峰頂中間出現(xiàn)了一定程度的凹陷，但是該結果仍然基本符合高斯正態(tài)分布。

為了測試該壓電式偏擺平臺的準靜態(tài)定位性能，進行了一個階梯狀參考信號的階躍跟蹤實驗，參考定位角的間隔是0.03 mrad. 該偏轉平臺在閉環(huán)PID控制模式下的角度輸出響應如圖12所示，從中可以看到定位比較穩(wěn)定，閉環(huán)的穩(wěn)態(tài)峰峰值誤差約為4.2 μrad，處于穩(wěn)態(tài)值的±3 μrad之間，而且隨時間的延長沒有出現(xiàn)漂移現(xiàn)象，蠕變帶來的定位誤差基本消除。這是由于閉環(huán)反饋控制作用消除了蠕變非線性的影響，該偏擺平臺可用于長時間穩(wěn)定定位。

為了進一步檢驗該偏擺平臺在閉環(huán)條件下的角度跟蹤性能，分別測試了在開環(huán)和閉環(huán)條件下跟蹤0.5 Hz正弦曲線的實驗效果。圖13(a)給出了開環(huán)條件下的參考跟蹤曲線、實際曲線及其誤差，圖13(b)給出了代表參考跟蹤曲線和實際輸出曲線之間關系的遲滯曲線。從圖13可以看出，開環(huán)條件下跟蹤誤差較大，這主要是由于壓電材料的遲滯非線性效應導致的。圖14(a)給出了閉環(huán)條件下的參考跟蹤曲線、實際輸出曲線及其誤差，圖14(b)給出了參考曲線和實際曲線之間的遲滯曲線關系。與圖13的開環(huán)跟蹤效果相比，在圖14的閉環(huán)PID控制條件下該偏轉平臺對0.5 Hz正弦曲線的跟蹤性能有較大改善，誤差由開環(huán)時的25.0%下降到1.4%，跟蹤精度得到明顯提高，參考曲線和實際曲線之間基本呈線性關系。當跟蹤曲線的頻率由0.5 Hz增加到1.0 Hz時，跟蹤精度會有所降低。圖15(a)給出了閉環(huán)條件下跟蹤1.0 Hz的正弦曲線所得到的實際曲線，其跟蹤誤差占滿行程的1.9%，比開環(huán)時的25.0%下降了23.1個百分點，跟蹤精度顯著提高，可以實現(xiàn)對1.0 Hz正弦偏轉角的有效跟蹤。圖15(b)給出了參考曲線和實際曲線之間的遲滯關系，與圖14(b)相比遲滯有所增加，但仍然比開環(huán)效果要好得多。需要說明的是，由于受壓電蠕變效應的影響，在跟蹤的起始時刻傳感器的輸出存在一定的漂移，進而導致在圖14(b)和15(b)中部下方出現(xiàn)了一個小線段。它表示在初始時刻參考角度為0°時實際角度不為0°，但是這并不影響實際的閉環(huán)控制效果。因為閉環(huán)周期比漂移的時間尺度小得多，所以一旦開始閉環(huán)控制蠕變帶來的定位誤差就會基本消除。此外，采用PID算法只能消除靜態(tài)低速條件下的遲滯效應，在高頻跟蹤時需要采用其他先進算法來消除遲滯帶來的誤差。

4 結論

為了設計一種高跟蹤精度和高諧振頻率的壓電式偏擺平臺，本文提出了一種二級放大復合柔性鉸鏈結構，在此基礎上進行了緊湊型壓電式偏擺平臺結構設計及其工作原理分析。同時對該平臺的偏擺角度進行了解析計算和有限元仿真分析，測試了平臺原型的偏擺角和諧振頻率以及平臺分辨力，并在開環(huán)和閉環(huán)條件下測試了平臺的準靜態(tài)定位與跟蹤精度性能。實驗結果表明：在準靜態(tài)條件下，該平臺受蠕變和遲滯等非線性效應的影響較小，可用于低于1.0 Hz參考信號的定位和跟蹤。

下一步工作將采用先進的控制算法來研究該偏擺平臺在高頻跟蹤時存在的非線性問題。

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