陳偉, 孫傳杰, 李永澤, 拜云山

(中國工程物理研究院 總體工程研究所, 四川 綿陽 621900)

0 引言

低速旋轉(zhuǎn)尾翼穩(wěn)定彈是指彈體在飛行過程中繞縱軸低速旋轉(zhuǎn)的尾翼彈，通常為軸對稱飛行器，主要包括制導(dǎo)兵器、戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈和再入飛行器等。旋轉(zhuǎn)體可有效地降低氣動(dòng)不對稱、結(jié)構(gòu)不對稱和推力偏心等擾動(dòng)因素所帶來的彈道散布，提高落點(diǎn)精度，同時(shí)可有效地簡化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)；對于再入彈頭，自旋可以避免氣動(dòng)加熱的單面燒蝕，從而減小不對稱因素對打擊精度的影響。

與非旋轉(zhuǎn)彈相比，低速旋轉(zhuǎn)尾翼穩(wěn)定彈俯仰和偏航通道之間的耦合效應(yīng)使其具有特殊的動(dòng)力學(xué)特性。造成這些強(qiáng)耦合的原因主要包括馬格努斯效應(yīng)誘導(dǎo)的氣動(dòng)交聯(lián)、陀螺效應(yīng)誘導(dǎo)的慣性交聯(lián)及動(dòng)力學(xué)延遲誘導(dǎo)的控制交聯(lián)[1-2]。彈體繞其自身縱軸旋轉(zhuǎn)，滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航3通道之間是相互耦合的，當(dāng)轉(zhuǎn)速接近彈體俯仰、偏航擺動(dòng)頻率時(shí)，將引起共振不穩(wěn)定，彈體角運(yùn)動(dòng)振幅有可能發(fā)散到一個(gè)不可接受的幅值，以致發(fā)射任務(wù)完全失敗[3]。因此，在低速旋轉(zhuǎn)尾翼穩(wěn)定彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，需要考慮以上各種耦合因素， 若不采取任何補(bǔ)償或解耦措施而直接對其進(jìn)行控制，則當(dāng)對其中一個(gè)通道施加控制指令時(shí)，不僅會(huì)引起該通道上的輸出響應(yīng)，而且會(huì)引起另外一個(gè)通道上的輸出響應(yīng)，對控制指令的穩(wěn)定跟蹤造成不利影響[4-5]。

相關(guān)學(xué)者在低速旋轉(zhuǎn)尾翼穩(wěn)定彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)領(lǐng)域開展了較為深入研究，并取得了一定的研究成果。文獻(xiàn)[6]分析了雙通道控制旋轉(zhuǎn)尾翼穩(wěn)定彈的各種耦合特性，并采用前饋補(bǔ)償解耦方法實(shí)現(xiàn)了基于過載駕駛儀的靜態(tài)解耦控制。文獻(xiàn)[7]采取對角占優(yōu)解耦控制方法，設(shè)計(jì)了彈體動(dòng)力學(xué)環(huán)節(jié)以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)環(huán)節(jié)的解耦控制器。這些方法本質(zhì)上都屬于線性靜態(tài)解耦的范疇，主要是針對一個(gè)或者若干個(gè)特征點(diǎn)設(shè)計(jì)解耦控制器，若系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生較大變化時(shí)，則會(huì)導(dǎo)致解耦效果變差。因此，學(xué)者們將現(xiàn)代控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)尾翼穩(wěn)定彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[8]采用動(dòng)態(tài)逆方法進(jìn)行姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)，該方法可以有效地處理動(dòng)力學(xué)中的非線性因素，但此方法依賴于被控對象精確的動(dòng)力學(xué)模型，若存在不確定性的影響，則控制性能會(huì)大大降低。

由于模型預(yù)測控制對建模精度要求不高，且具有較好的解耦能力[9]，其被學(xué)者們應(yīng)用于導(dǎo)彈控制領(lǐng)域[10-11]。模型預(yù)測控制采用滾動(dòng)優(yōu)化策略，選取滾動(dòng)優(yōu)化區(qū)間越大，其控制精度越高，計(jì)算量會(huì)大大增加， 很難滿足實(shí)時(shí)控制的需求。為此，文獻(xiàn)[12]提出一種離線預(yù)測控制方法，通過離線求解線性矩陣不等式優(yōu)化問題得到控制參數(shù)陣， 在線通過查表方式得到相匹配的控制參數(shù)陣，將大量的計(jì)算工作轉(zhuǎn)為離線進(jìn)行，以滿足實(shí)時(shí)控制的需求。但是，文獻(xiàn)[12]中的離線預(yù)測控制方法存在一定局限性，即當(dāng)指令信號實(shí)時(shí)變化時(shí)系統(tǒng)跟蹤誤差較大。本文在其研究基礎(chǔ)上提出一種基于指令濾波器的離線預(yù)測控制方法，將系統(tǒng)輸出跟蹤誤差積分引入模型中，充分利用被控對象和指令模型的動(dòng)態(tài)特性，使得離線求解的控制參數(shù)陣能夠很好地應(yīng)對指令信號變化， 確保飛行指令的穩(wěn)定跟蹤。

1 旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)力學(xué)模型

由于旋轉(zhuǎn)尾翼穩(wěn)定彈在飛行過程中以一定角速度繞其縱軸連續(xù)滾轉(zhuǎn)，為了便于分析，引入準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系，建立動(dòng)力學(xué)模型[13]。為了簡化控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，需要對彈體動(dòng)力學(xué)方程組進(jìn)行簡化，為不失一般性，作如下假設(shè)：

1)在一小段飛行過程中，彈體速度不變，彈體轉(zhuǎn)速不變；

3)控制舵產(chǎn)生的升力與彈體受到的總升力相比是小量。

當(dāng)重點(diǎn)考慮彈體短周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，可假定速度的方向不變，而只考慮彈軸的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)，即假定彈道傾角θ和彈道偏角ψV在彈體運(yùn)動(dòng)短周期內(nèi)基本保持不變，可近似為0°，并根據(jù)小角度假設(shè)條件，有如下近似關(guān)系式[14]成立：

(1)

(2)

基于上述近似關(guān)系式和假設(shè)，對動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行整理化簡后可得

(3)

令俯仰角?、偏航角ψ為系統(tǒng)的測量輸出，可得系統(tǒng)如下狀態(tài)空間形式：

(4)

2 旋轉(zhuǎn)條件下舵系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

彈體控制指令σcy、σcz形成于非旋轉(zhuǎn)的準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下，根據(jù)傳感器測量得到此時(shí)彈體相對于準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系的滾轉(zhuǎn)角γd，將σcz、σcy進(jìn)行分解，得到彈體坐標(biāo)系下的控制指令σc1、σc2，σc1、σc2經(jīng)舵機(jī)驅(qū)動(dòng)舵面偏轉(zhuǎn)，從而得到彈體坐標(biāo)系下舵面偏轉(zhuǎn)角σ1、σ2和控制力矩，最后再將σ1、σ2和控制力矩合成到準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下的舵機(jī)響應(yīng)σz、σy和控制力矩。舵系統(tǒng)的指令執(zhí)行框圖如圖1所示。

根據(jù)圖1所示的指令執(zhí)行框圖和舵機(jī)響應(yīng)傳遞函數(shù)，可得舵機(jī)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

(5)

式中：ks為舵機(jī)系統(tǒng)增益；τ為從滾轉(zhuǎn)角γ的測量到控制指令的生成并分解輸入到實(shí)際舵機(jī)系統(tǒng)所需的時(shí)間；Gs(s)為前向通道傳遞函數(shù)，Gsco(s)為耦合通道傳遞函數(shù)，其表達(dá)式為

Ts為舵機(jī)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)；μs為舵機(jī)系統(tǒng)阻尼。

當(dāng)忽略轉(zhuǎn)速變化且僅考慮舵機(jī)系統(tǒng)在常值指令輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出時(shí)，則準(zhǔn)彈體系中舵機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可簡化為

(6)

將(6)式代入(4)式可得考慮舵機(jī)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的旋轉(zhuǎn)尾翼穩(wěn)定彈動(dòng)力學(xué)模型為

(7)

式中：Bc表達(dá)式為

3 基于預(yù)測控制的解耦控制器設(shè)計(jì)

3.1 在線預(yù)測控制

將動(dòng)力學(xué)模型(7)式進(jìn)行離散化處理，得到如下離散模型：

(8)

式中：k為采樣時(shí)刻；G(k)∈R4×4；H(k)∈R4×2，σc(k)∈R2×1.

由于系統(tǒng)(8)式為參數(shù)不確定系統(tǒng)，可采用多胞模型進(jìn)行描述，即

[G(k),H(k)]∈Ω=
Co{[G1,H1],[G2,H2],…,[Gp,Hp]}，

(9)

式中：[Gi,Hi],i=1,2,…,p為多胞模型的p個(gè)模態(tài)值，即系統(tǒng)當(dāng)前模型是各個(gè)模態(tài)的凸組合。

系統(tǒng)(8)式的預(yù)測控制可表示成如下優(yōu)化求解問題：

(10)

(11)

(12)

式中：σz,max和σy,max分別為準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下俯仰舵偏指令和偏航舵偏指令的限幅值；ωz,max和ωy,max分別為俯仰角速度和偏航角速度限幅值。

在采樣時(shí)刻k，文獻(xiàn)[15]定義Lyapunov函數(shù)為V(x)=xTP(k)x，P(k)為正定矩陣。對于任意[G(k+i),H(k+i)]∈Ω,i≥0，假定V(x)滿足如下穩(wěn)定約束：

V(x(K+i+1|k))-V(x(k+i|k))≤
-[xT(k+i|k)x(k+i|k)+
σc(k+i|k)].

(13)

令i從0到∞取值，x(∞|k)=0，對(13)式進(jìn)行累積相加可得

(14)

式中：r為正實(shí)數(shù)。

(14)式可以等價(jià)為如下線性矩陣不等式：

(15)

式中：Q=rP(k)-1為正定矩陣。

對于系統(tǒng)(8)式的各個(gè)模態(tài)值，(13)式可等價(jià)為如下線性矩陣不等式：

(16)

控制指令約束(11)式可等價(jià)為如下線性矩陣不等式：

(17)

式中：X11、X22為中間變量X的對角線元素。

同理，狀態(tài)約束(12)式可等價(jià)為如下線性矩陣不等式：

(18)

式中：Z11、Z22為中間變量Z的對角線元素。

基于以上分析，可將(10)式轉(zhuǎn)化成如下線性矩陣不等式優(yōu)化求解問題[15]：

(19)

控制指令σc(k)可由F(k)x(k)計(jì)算得到，其中F(k)為控制參數(shù)陣，可由YQ-1計(jì)算得到。

3.2 離線預(yù)測控制

隨著被控對象維數(shù)的提高，線性矩陣不等式優(yōu)化求解問題(19)式的在線計(jì)算量會(huì)大大增加，無法滿足實(shí)時(shí)控制需求?；跈E圓不變集的離線預(yù)測控制方法將大部分計(jì)算工作轉(zhuǎn)為離線進(jìn)行，可滿足實(shí)時(shí)控制需求。

橢圓不變集定義如下：

對于離散系統(tǒng)x(k+1)=f(x(k))，如果x(k1)屬于集合ζ={x|xTQ-1x≤1}，對于任何x(k),k≥k1也屬于集合ζ，并且隨著k→∞，x(k)→0，則ζ屬于橢圓不變集。

對于系統(tǒng)(8)式，如果系統(tǒng)的控制指令σc(k)=F(k)x(k)，則其狀態(tài)集合ζ={x|xTQ-1x≤1}屬于橢圓不變集。

算法1：基于橢圓不變集的離線預(yù)測控制方法[12]為：

1)選取初始狀態(tài)集{x10,x20,…，xN0}(N為狀態(tài)向量個(gè)數(shù))，令i=1，從初始狀態(tài)點(diǎn)集中任意選取一狀態(tài)作為xi，然后基于xi和[Gj,Hj]，j=1,2,…,p，在額外約束Qi-1>Qi(i>1)條件下，離線求解優(yōu)化問題(19)式，存儲(chǔ)Qi、Fi、Xi、Yi.

基于以上控制方法，控制指令能夠驅(qū)動(dòng)狀態(tài)x(k)→0，但當(dāng)系統(tǒng)的俯仰角指令或者偏航角指令不等于0時(shí)，由于系統(tǒng)(8)式中不包含指令狀態(tài)，基于其模態(tài)值計(jì)算得到的控制指令無法確保系統(tǒng)很好地跟蹤變化的指令信號。為解決此問題，下面提出一種基于指令濾波器的離線預(yù)測控制方法。

3.3 基于指令濾波器的離線預(yù)測控制

(20)

式中：?c0、ψc0為指令濾波器輸入；ω?、ωψ為帶寬；ξ?、ξψ為阻尼比。

將指令濾波器(20)式寫成狀態(tài)空間的形式：

(21)

令系統(tǒng)指令跟蹤誤差積分為yI，可通過如下狀態(tài)空間模型輸出得到：

(22)

綜合旋轉(zhuǎn)尾翼穩(wěn)定彈狀態(tài)方程(7)式、指令濾波器狀態(tài)方程(21)式和積分誤差方程(22)式得到增廣狀態(tài)方程為

(23)

將(23)式寫成對應(yīng)的如下狀態(tài)空間形式：

(24)

將增廣狀態(tài)方程(24)式進(jìn)行離散化處理，得到如下離散模型：

(25)

式中：GR(k)∈R10×10；HR(k)∈R10×2；LR(k)∈R10×1；CR(k)∈R2×10.

算法2：基于指令濾波器的離線預(yù)測控制方法為：

1)選取初始狀態(tài)集{xR,10,xR,20,…,xR,N0}，令i=1，從初始狀態(tài)點(diǎn)集中任意選取一狀態(tài)作為xR,i，然后基于xR,i和增廣矩陣AR的各個(gè)模態(tài)值[GR,j,HR,i],j=1,2,…,p，在如下額外約束的條件下離線求解優(yōu)化問題(19)式，存儲(chǔ)Qi、Fi、Xi、Yi.

(26)

3) 在線根據(jù)xR(k)，在{Q1,Q2,…，QN}中查找

值得注意的是：基于初始狀態(tài)點(diǎn)集{xR,10,xR,20,…，xR,N0}計(jì)算得到的控制參數(shù)陣{F1,F2,…，F(xiàn)N}是N個(gè)離散的值，而在實(shí)時(shí)控制時(shí)狀態(tài)xR(k)是一個(gè)相對連續(xù)值。針對此問題，上述控制方法中通過求解αi使得控制參數(shù)陣αiFi+(1-αi)Fi+1隨著xR(k)連續(xù)變化，從而更好地適應(yīng)實(shí)時(shí)控制需求。

3.4 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，下面對其穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

令

(27)

當(dāng)i≠N時(shí)，基于矩陣不等式(16)式和矩陣不等式(26)式，可得如下矩陣不等式：

(28)

由于矩陣不等式(17)式和矩陣不等式(18)式對于初始狀態(tài)xR,i和xR,i+1都滿足，則存在對稱矩陣X(αi)和Z(αi)使得如下矩陣不等式成立：

(29)

(30)

式中：X11(αi)、X22(αi)為X(αi)的對角線元素；Z11(αi)、Z22(αi)為Z(αi)的對角線元素。

4 仿真分析

4.1 仿真初始條件

彈體質(zhì)量m=465 kg，彈體直徑D=0.3 m，機(jī)翼參考面積S=0.070 9 m2，舵機(jī)系統(tǒng)增益ks=10，舵機(jī)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)Ts=0.016，舵機(jī)系統(tǒng)阻尼μs=0.5，飛行速度v=1 200 m/s. 為了驗(yàn)證控制系統(tǒng)的魯棒性，在原有氣動(dòng)參數(shù)的基礎(chǔ)上加上15%作為建模誤差，并在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)俯仰通道施加30sin(2πt)N·m的干擾信號。

4.2 仿真1

4.3 仿真2

5 結(jié)論

基于旋轉(zhuǎn)尾翼穩(wěn)定彈動(dòng)力學(xué)離散模型進(jìn)行離線預(yù)測控制器設(shè)計(jì)，能夠在很大程度上減小在線計(jì)算量，通過查表得到的控制參數(shù)陣能夠確保系統(tǒng)狀態(tài)在初始擾動(dòng)條件下逐漸穩(wěn)定到0. 但當(dāng)系統(tǒng)指令實(shí)時(shí)變化時(shí)，會(huì)存在較大的跟蹤誤差。為此，本文在預(yù)測模型中引入指令狀態(tài)和指令跟蹤誤差積分，基于增廣模型進(jìn)行離線預(yù)測控制器設(shè)計(jì)，離線優(yōu)化計(jì)算得到的控制參數(shù)陣可驅(qū)使指令跟蹤誤差逐漸趨向于0，從而確保在線查表控制時(shí)，系統(tǒng)輸出能夠較好地跟蹤系統(tǒng)指令。

參考文獻(xiàn)(References)

[1] Li K Y, Yang S X, Zhao L Y. Three-loop autopilot of spinning missiles[J].Journal of Aerospace Engineering,2014,228(7): 1195-1201.

[2] Li K Y, Yang S X, Zhao L Y. Stability of spinning missiles with an acceleration autopilot[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2015, 35(3):774-786.

[3] 周偉.旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性與魯棒變增益控制[D].北京:北京理工大學(xué),2016:1-16.

ZHOU Wei. Dynamic stability and robust gain-scheduling control of spinning missiles[D]. Beijing: Beijing Institute of Technology,2016:1-16.(in Chinese)

[4] Zhou W, Yang S X, Dong J L. Coning motion instability of spinning missiles induced by hinge moment[J]. Aerospace Science and Technology, 2013, 30(1):239-245.

[5] 馬振興,王利,博學(xué)綱.考慮效率補(bǔ)償?shù)男D(zhuǎn)彈舵機(jī)控制耦合解耦算法[J].現(xiàn)代防御技術(shù),2017，45(1):88-92.

MA Zhen-xing,WANG Li,BO Xue-gang. Decoupling algorithm of actuator control of rotating missile considering efficiency compensation[J]. Modern Defense Technology, 2017, 45(1):88-92.(in Chinese)

[6] 陳羅婧,劉莉,于劍橋.雙通道控制旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀回路數(shù)學(xué)變換及其耦合性分析[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2007，27(10): 847-850.

CHEN Luo-jing,LIU Li,YU Jian-qiao. Transform and coupling analysis of double-channel control rolling missile autopilot loop[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology, 2007, 27(10): 847-850.(in Chinese)

[7] 袁天保,劉新建,秦子增.自旋彈道導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)與控制[J].宇航學(xué)報(bào),2006, 27(2):217-220.

YUAN Tian-bao,LIU Xin-jian,QIN Zi-zeng. Dynamic and control of spinning ballistic missile[J].Journal of Astronautics, 2006, 27(2): 217-220.(in Chinese)

[8] 閆曉勇,李克勇,楊樹興.基于動(dòng)態(tài)逆理論的自旋彈控制方法[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào),2009,29(5):83-86.

YAN Xiao-yong, LI Ke-yong,YANG Shu-xing. The control method of spinning missile based on dynamic inversion[J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2009,29(5):83-86.(in Chinese)

[9] Ward D G, Barron R L. A self-designing receding horizon optimal flight controller[C]∥Proceedings of the American Control Conference. Washington, US: Barron Associates, 1995: 3490-3494.

[10] Faway M, Aboelela M A S, Rhman O A E, et al. Design of missile control system using model predictive control[J]. The Online Journal on Computer Science and Information Technology, 2011,1(3):64-70.

[11] Bachtiar V. Multi-objective design of model predictive control and its application in missile autopilot and guidance[D]. Melbourne, Australia: the University of Melbourne,2016:1-120.

[12] Wan Z Y, Kothare M V. An efficient off-line formulation of robust model predictive control using linear matrix inequalities[J]. Automatica, 2003,39(5):837-845.

[13] 錢杏芳,林瑞雄,趙亞男.導(dǎo)彈飛行力學(xué)[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,2006:60-70.

QIAN Xing-fang, LIN Rui-xiong,ZHAO Ya-nan. Missile flight aerodynamics[M]. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 2006:60-70.(in Chinese)

[14] 楊樹興,趙良玉,閆曉勇.旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性理論[M].北京:國防工業(yè)出版社,2014:1-20.

YANG Shu-xing, ZHAO Liang-yu, YAN Xiao-yong. Dynamic stability theory of spinning projectile[M].Beijing: National Defense Industry Press, 2014:1-20.(in Chinese)

[15] Kothare M V, Balakrishnan V, Morari M. Robust constrained model predictive control using linear matrix inequalities[J]. Automatica, 1996, 32(10):1361-1379.

[16] Sonneveladt L, Chu Q P, Milder J A. Nonlinear flight control design using constrained adaptive backstepping[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2007, 30(2): 322-335.