馮 煒，張傳定，吳 星，王 凱

1. 中國科學(xué)院測量與地球物理研究所，湖北 武漢 430077； 2. 北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094； 3. 中國科學(xué)院大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，北京 100049； 4. 總裝備部工程設(shè)計(jì)研究總院，北京 100028

為了描述電離層的特性和變化規(guī)律，自20世紀(jì)60年代開始不斷有電離層全球經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ彤a(chǎn)生。IRI(international reference ionosphere)模型是IRI工作組基于非相干散射雷達(dá)、衛(wèi)星觀測、探空火箭和大量的地面觀測資料給出的，該模型描述了地磁活動平穩(wěn)情況下的電離層變化規(guī)律[1-3]。Bent模型則是根據(jù)衛(wèi)星測量數(shù)據(jù)、測站坐標(biāo)、F2層峰值模型等統(tǒng)計(jì)出的一種經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，可以描述電離層不同剖面的電子密度變化情況[1-3]。自20世紀(jì)80年代以來，隨著GNSS電離層實(shí)測數(shù)據(jù)的廣泛使用，美國GPS采用Klobuchar提出的全球電離層模型進(jìn)行電離層修正。該模型具有系數(shù)簡單便于應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)，但只能反映電離層變化的大趨勢，對于中緯度地區(qū)修正效果較差，只能達(dá)到50%左右[1-2]。2006年，文獻(xiàn)[2]提出了一種改進(jìn)Klobuchar模型，將8參數(shù)模型改為14參數(shù)模型，提高了中緯度地區(qū)的修正精度，然而由于模型本身的建模特點(diǎn)，改進(jìn)Klobuchar模型也并不能提供高精度的電離層修正[2]。

球諧函數(shù)可用于全球的電離層模型化研究，避免了以往多項(xiàng)式模型的“邊緣效應(yīng)”。文獻(xiàn)[3]使用4階球諧函數(shù)模型在局部地區(qū)精度可以達(dá)到3 TECU以下[3]。CODE(Center for Orbit Determina-tion in Europe)采用15階球諧函數(shù)構(gòu)建全球電離層模型，對外發(fā)布譜系數(shù)和電離層格網(wǎng)數(shù)據(jù)，但并沒有詳細(xì)闡述電離層球諧模型高階變化的量級和規(guī)律[1]。文獻(xiàn)[4]針對BDS系統(tǒng)的特點(diǎn)，以中國區(qū)測站為主、境外站為輔的原則，基于2002—2007年全球GPS觀測數(shù)據(jù)建立了全球電離層TEC球諧模型，并進(jìn)行了相關(guān)論證與分析，構(gòu)建了適用中國區(qū)域的球諧模型[4]。

電離層預(yù)報(bào)問題也是電離層研究的重要方向。文獻(xiàn)[5—6]基于ARMA模型進(jìn)行了電離層預(yù)報(bào)研究，其方法可以歸結(jié)為直接法和間接法兩種，在12 d內(nèi)，兩種方法的預(yù)報(bào)效果相差不大[7-8]，但是如果作為衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)發(fā)播參數(shù)，間接法形成的模型預(yù)報(bào)系數(shù)則有很好的參數(shù)固化優(yōu)勢[9]。

本文將輪胎調(diào)和分析的理論與方法應(yīng)用于電離層TEC的模型化，并通過分析球諧系數(shù)時間序列的變化規(guī)律，建立電離層TEC的輪胎調(diào)和分析模型并實(shí)現(xiàn)對電離層TEC的預(yù)報(bào)。同時利用試驗(yàn)驗(yàn)證不同模型、方法達(dá)到的應(yīng)用效果，以期為BDS系統(tǒng)電離層產(chǎn)品的系統(tǒng)化設(shè)計(jì)提供支持。

1 全球電離層TEC的輪胎調(diào)和分析

基于文獻(xiàn)[10]提出的輪胎面調(diào)和分析方法，本文利用5°間隔的CODE格網(wǎng)數(shù)據(jù)，建立36階電離層TEC的輪胎調(diào)和分析模型，并分析電離層TEC的譜變化特征與變化規(guī)律。式(1)為階數(shù)和格網(wǎng)關(guān)系[11]

(1)

式中，Nm為階數(shù)；D為格網(wǎng)間隔(km)；R為地球平均半徑(km)。

需要說明的是,由于CODE格網(wǎng)是使用GPS全球連續(xù)測量數(shù)據(jù)進(jìn)行15階球諧分析后，再繼續(xù)格網(wǎng)化的產(chǎn)物，所以格網(wǎng)已經(jīng)丟失了15階后的高頻信息，而綜合探空、GPS、雷達(dá)的原始電離層測量數(shù)據(jù)現(xiàn)階段沒有發(fā)布者，所以36階球諧分析求解出的15階后系數(shù)不具備統(tǒng)計(jì)意義，現(xiàn)階段只有算法研究意義。

1.1 電離層TEC的球諧譜表示

全球電離層TEC可采取一組球諧系數(shù)來表示[1,3]

(2)

圖1 電離層TEC輪胎調(diào)和分析流程Fig.1 Flow diagram of ionospheric TEC torus harmonic analysis

根據(jù)文獻(xiàn)[10，12]關(guān)于輪胎調(diào)和分析在重力學(xué)中的使用，現(xiàn)推導(dǎo)電離層輪胎調(diào)和分析的具體公式。

(3)

完成球面到輪胎面的轉(zhuǎn)化后，再進(jìn)行FFT變換，得到輪胎面上基于平均值等距B樣條插值的二維Fourier譜c(k,m)。根據(jù)二維Fourier譜c(k,m)，可計(jì)算實(shí)數(shù)譜[10,12]ap(k,m)、bp(k,m)，公式為

(4)

(5)

(6)

式中

至此，給出了利用輪胎調(diào)和分析求解電離層球諧模型的實(shí)用解算式。

1.2 全球電離層TEC的譜能變化特性

(7)

圖2為UTC 2011年1月1日13套電離層球諧模型對應(yīng)的階方差曲線圖。

圖2 2011年1月1日階方差圖Fig.2 Degree variations to the ionospheric model on January 1, 2011

由圖2可知階方差曲線的變化主要表現(xiàn)在5個區(qū)間：第1區(qū)間為0～7階，此區(qū)間代表電離層的基本變化周期，階方差量級較大達(dá)到100～102TECU量級，為電離層變化的基本項(xiàng)；第2區(qū)間為7～15階，階方差在10-1～100TECU的量級，此區(qū)間內(nèi)日變化幅度明顯較大，主要表現(xiàn)電離層的日變化規(guī)律。由于CODE所提供的格網(wǎng)數(shù)據(jù)是15階球諧模型格網(wǎng)化后的產(chǎn)品，因此本文不再分析15階之后的信號變化特征。通過階方差也可知：Wilkson的低階球諧模型取值3階明顯階數(shù)過低，丟失了101～100TECU量級的電離層信息。

1.3 球諧系數(shù)計(jì)算格網(wǎng)值與實(shí)際格網(wǎng)值的差異

根據(jù)1.2節(jié)得到的球諧系數(shù)，可由式(2)計(jì)算出格網(wǎng)點(diǎn)上的模型值。本文用UTC2011年1月1日00時對應(yīng)的球諧模型值與CODE發(fā)布的格網(wǎng)值進(jìn)行對比，見圖3。

由圖3可知：球諧系數(shù)計(jì)算出的電離層TEC(θ,λ)具有較高的精度，在電離層比較活躍的北緯30°至南緯30°區(qū)域內(nèi)誤差在1 TECU以內(nèi)?？傮w來看，實(shí)際電離層格網(wǎng)圖的TEC總量為52 138.4 TECU，球諧系數(shù)計(jì)算的電離層格網(wǎng)圖TEC總量為52 542.7 TECU，相對誤差為2.18%。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，全年電離層TEC球諧模型的相對誤差小于4%。

通過圖3還可以觀察在北極區(qū)域，球諧函數(shù)模型計(jì)算的TECU值和實(shí)際格網(wǎng)TECU值存在約-6.8 TECU的差值，這是由于北極地區(qū)存在電離層變化梯度帶，球諧模型在該地區(qū)適應(yīng)性差。理論上南極也應(yīng)該出現(xiàn)類似情況，但由于南極大量海洋地區(qū)沒有穿刺點(diǎn)，數(shù)據(jù)由插值補(bǔ)白得到，相關(guān)性較強(qiáng)而梯度較小，因此圖中沒有出現(xiàn)。

2 電離層TEC球諧系數(shù)時間序列的函數(shù)估計(jì)

根據(jù)1.2節(jié)計(jì)算出的球諧系數(shù)，本文使用逐級余差的思想分別對趨勢項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)波動項(xiàng)進(jìn)行函數(shù)估計(jì)，以期得出完整的電離層球諧系數(shù)時間序列模型[7-8,15]。為實(shí)現(xiàn)電離層球諧模型系數(shù)預(yù)報(bào)的目的，需對每組球諧系數(shù)的時間序列進(jìn)行函數(shù)估計(jì)。

設(shè)球諧系數(shù)的時間序列模型關(guān)系為

f(t)=l(t)+S(t)+ε(t)

(8)

式中，f(t)為球諧系數(shù)的時間序列函數(shù)；l(t)為趨勢項(xiàng)；S(t)為周期項(xiàng)；ε(t)為隨機(jī)波動。

2.1 基于趨勢函數(shù)特征的電離層球諧系數(shù)時間序列趨勢函數(shù)估計(jì)

由于趨勢項(xiàng)l(t)具有持續(xù)向上或持續(xù)向下變動的特征，所以設(shè)l(t)的函數(shù)表達(dá)式為[7,15]

(9)

(10)

在趨勢項(xiàng)確定后，理論上樣本序列中已無趨勢變化。剩余樣本序列應(yīng)表現(xiàn)以周期性為主的波動特性。這也引出了周期函數(shù)估計(jì)的問題。

2.2 基于功率譜密度的電離層球諧系數(shù)時間序列周期函數(shù)估計(jì)

周期項(xiàng)S(t)呈現(xiàn)周期性的變化特征，又因樣本序列在減去趨勢項(xiàng)后，可能包含不止一個周期的作用，所以首先要進(jìn)行譜分析找出其主要周期，再利用它們各自的特點(diǎn)建立模型實(shí)現(xiàn)預(yù)報(bào)[7,15]，具體過程見圖4。

圖4 FFT周期分析流程Fig.4 Flow diagram of FFT periodic analysis

根據(jù)表1中的周期建立函數(shù)模型，以三角函數(shù)表示周期項(xiàng)

(11)

式中，S(t)為總的周期項(xiàng)影響；n為各種周期影響總數(shù)；Ti為周期；Ci、Si為對應(yīng)的第i個周期函數(shù)系數(shù)。

圖5 球諧系數(shù)扣除趨勢項(xiàng)后的功率與周期圖Fig.5 Power and periodic diagram of remove trend term

圖6 球諧系數(shù)扣除趨勢項(xiàng)后的最顯著周期圖Fig.6 The most prominent periodic diagram of remove trend term

周期/d周期成因365太陽的周年活動182.5024月、10月出現(xiàn)極值的半年變化91.253一年中四季的季節(jié)性變化28.055太陽黑子隨太陽自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的輻射變化14.772月亮自轉(zhuǎn)的影響1日變化121.667未知的變化周期

由圖7可知，恢復(fù)值并不能完全與樣本值吻合，因此引入對于序列中無法確定趨勢項(xiàng)、周期項(xiàng)的隨機(jī)波動數(shù)據(jù)的估計(jì)方法。

2.3 基于ARMA模型的電離層球諧系數(shù)時間序列隨機(jī)波動估計(jì)

去除趨勢項(xiàng)、周期項(xiàng)后的樣本數(shù)據(jù)可視為隨機(jī)波動，本文使用文獻(xiàn)[7,16]使用的ARMA模型進(jìn)行分析。在ARMA模型中，可將隨機(jī)波動的數(shù)據(jù)序列看作一個隨機(jī)序列ε(t)，它的特性體現(xiàn)著ε(t)隨機(jī)波動在時域上的延續(xù)。ARMA(p,q)的模型[16]為

A(q)Yt=C(q)εt

(12)

式中，A(q)為q階的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式；C(q)為q階的滑動平均系數(shù)多項(xiàng)式。

由圖8可知，樣本數(shù)據(jù)自相關(guān)、偏相關(guān)自始至終表現(xiàn)出很強(qiáng)的相關(guān)性，這與ARMA模型特性相符合，所以模型可用。ARMA(p,q)的系數(shù)可利用AIC準(zhǔn)則進(jìn)行優(yōu)選[16]。圖9是樣本序列進(jìn)行AIC選擇的結(jié)果，最小的AIC值在第397個組合ARMA(20，17)，所以該組合可以達(dá)到數(shù)值最優(yōu)。使用該模型對隨機(jī)波動進(jìn)行模型化，并通過與ε(t)樣本的互差檢驗(yàn)ARMA模型的性能，精度如圖10。

2.4 電離層TEC球諧系數(shù)時間序列模型的性能分析

基于上文介紹的原理，現(xiàn)寫出電離層TEC球諧模型系數(shù)的時間序列模型

β1Yt-1+β2Yt-2+…+βpYt-p+Zt+εt+

α1εt-1+α2εt-2+…+αqεt-q

(13)

3 電離層TEC球諧系數(shù)模型的預(yù)報(bào)

下面通過預(yù)測的球諧模型系數(shù)和式(2)計(jì)算電離層TEC值，討論預(yù)報(bào)TEC和實(shí)際TEC差異。

3.1 電離層TEC格網(wǎng)的整體預(yù)測性能

試驗(yàn)中分別采用150 d(UTC2011-01-01—2011-05-30)預(yù)報(bào)10 d(UTC2011-05-31—2011-06-09)和30 d(UTC2011-01-01—2011-01-30)預(yù)報(bào)5 d(UTC2011-01-31—2011-02-04)兩個預(yù)報(bào)方案，對全部格網(wǎng)點(diǎn)的TEC值求平均，討論格網(wǎng)的整體精度，并分析所有格網(wǎng)點(diǎn)TEC預(yù)測平均值的誤差變化情況，見圖12、表2。

表2球諧預(yù)報(bào)系數(shù)計(jì)算的格網(wǎng)平均TEC預(yù)報(bào)殘差均值

Tab.2PredictionerrorsofcomputationalTECwithsphericalharmoniccoefficients

方案預(yù)報(bào)殘差/TECU相對誤差/(%)150d積累數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)10d0.87966.4030d積累數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)5d1.01229.79

150 d模型預(yù)報(bào)10 d的整體誤差平均為每個格網(wǎng)點(diǎn)0.879 6 TECU，相對誤差為6.40%；30 d模型預(yù)報(bào)5 d的整體誤差平均為每個格網(wǎng)點(diǎn)在1.012 2 TECU，相對為9.79%。

3.2 電離層TEC格網(wǎng)預(yù)測殘差的全球分布趨勢

為了方便觀察全球電離層的預(yù)報(bào)效果，對全球電離層的預(yù)測誤差進(jìn)行了計(jì)算，并且給出了相應(yīng)的階方差圖，見圖13、圖14。

通過表2、圖13、圖14可知兩種方案相比較，方案1的主階項(xiàng)整體趨勢預(yù)報(bào)效果更好，且格網(wǎng)平均殘差也更小，這是由于長時間數(shù)據(jù)構(gòu)建的模型更能體現(xiàn)電離層活動的長期變化趨勢，所以預(yù)報(bào)齡期較長。同時結(jié)合圖12、圖13、圖14可以得出結(jié)論：在數(shù)據(jù)積累時間選擇上，新的時間序列模型應(yīng)該考慮長期性能和短期性能，即對于長期預(yù)報(bào)用模型(如精密電離層全球模型)，盡量使用長期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)；對于反映實(shí)時性的短期模型(如導(dǎo)航系統(tǒng)發(fā)播模型)，應(yīng)該盡量選用短期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。

圖3 實(shí)際電離層TEC與球諧系數(shù)計(jì)算電離層TEC的對比圖Fig.3 Comparison chart of actual Ionospheric TEC and computational Ionospheric TEC

圖項(xiàng)的周期函數(shù)恢復(fù)值與扣除趨勢項(xiàng)的樣本序列圖Fig.7 Periodic function recovery value of sample series to remove trend term

圖差分樣本序列的自相關(guān)與偏相關(guān)圖Fig.8 Autocorrelation and partial correlation diagram of

圖差分樣本序列的AIC值圖Fig.9 The AIC values of series

圖10 ARMA恢復(fù)值和扣除趨勢項(xiàng)、周期項(xiàng)的樣本序列圖Fig.10 ARMA recovery value and sample series to remove trend term and periodic terms

圖11 球諧系數(shù)模型恢復(fù)值和樣本值差異圖Fig.11 The differences between model recovery values and sample values of

圖12 實(shí)際格網(wǎng)平均值與球諧預(yù)測系數(shù)計(jì)算格網(wǎng)平均值圖Fig.12 Actual average TEC of grid data and computational TEC with spherical harmonic coefficients

圖13 方案1：150 d預(yù)測1 d、4 d、10 d計(jì)算格網(wǎng)值與實(shí)際格網(wǎng)差異Fig.13 Scheme 1: the prediction errors of ionospheric TEC as predicting 1 days, 4 days,10 days with 150 days

圖14 方案2：30 d預(yù)測1 d、4 d、5 d計(jì)算格網(wǎng)值與實(shí)際格網(wǎng)差異Fig.14 Scheme 2: the prediction errors of ionospheric TEC as predicting 1 day, 4 days,5 days with 30 days

4 結(jié)論與展望

本文利用輪胎面的調(diào)和分析方法建立了電離層TEC球諧模型，分析了電離層TEC的模型譜系數(shù)變化特征與變化規(guī)律，并對模型的適用性進(jìn)行了探討，結(jié)果表明除南、北極區(qū)外球諧模型有很好的適用性，模型擬合逼近精度高。此外還討論了球諧系數(shù)時間序列的函數(shù)估計(jì)問題，對趨勢項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)波動的各自特征進(jìn)行了相應(yīng)的函數(shù)估計(jì)。通過對預(yù)報(bào)出的電離層格網(wǎng)點(diǎn)誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可知150 d數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)10 d的相對誤差約為6.40%，30 d預(yù)報(bào)5 d的相對誤差約為9.79%。電離層TEC格網(wǎng)預(yù)測誤差的全球分布趨勢結(jié)果還表明：在數(shù)據(jù)積累時間選擇上，球諧系數(shù)類模型應(yīng)該針對不同用途考慮不同的數(shù)據(jù)積累時間。精密型模型建議使用長時間的數(shù)據(jù)積累，而實(shí)時性模型則建議使用短時間數(shù)據(jù)積累進(jìn)行預(yù)報(bào)。

本文使用的數(shù)據(jù)僅為一年的電離層觀測數(shù)據(jù)，模型精度有一定的局限性。下一步將考慮利用一個太陽活動周期的數(shù)據(jù)來分析電離層TEC的周期特征，進(jìn)一步精化電離層球諧模型參數(shù)，從而提高電離層模型的預(yù)報(bào)精度。

致謝：感謝CODE提供的電離層格網(wǎng)數(shù)據(jù)。

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