（作者系浙江省嘉興教育學(xué)院義務(wù)教學(xué)研究處副處長，浙江省數(shù)學(xué)特級教師）

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。提升以思維為核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，已經(jīng)成為當(dāng)前深化小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的重要方向。數(shù)學(xué)教學(xué)要積極引領(lǐng)學(xué)生產(chǎn)生高質(zhì)量的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以活動為主線，以有趣、豐富的數(shù)學(xué)活動為載體，引領(lǐng)學(xué)生思維在生動中走向深刻。近期，筆者對人教版四上《對策問題》一課進(jìn)行了多次教學(xué)實(shí)踐研究，努力踐行引領(lǐng)學(xué)生思維在生動中走向深刻的教學(xué)理念。

片段一：游戲熱身，激活思維

1.第一次游戲：兩人玩撲克牌比大小的游戲，每人每次抽一張牌，牌點(diǎn)數(shù)大者勝。

教師先后與兩名學(xué)生比賽，各抽一張牌，根據(jù)點(diǎn)數(shù)大小確定勝負(fù)，學(xué)生的參與熱情瞬間被激活。

兩次比賽后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：這樣比賽，靠什么獲勝？

學(xué)生都認(rèn)為“靠運(yùn)氣獲勝”。教師板書：獲勝——運(yùn)氣好。

2.第二次游戲：兩人玩撲克牌比大小的游戲，每人每次出一張牌，各出3次，贏兩次者勝。

學(xué)生理解規(guī)則后，教師給出兩組牌讓學(xué)生選擇。紅色牌：9、7、5；黑色牌：8、6、3。

（1）教師讓學(xué)生先選牌，學(xué)生都選擇紅色的這三張。教師板書：（獲勝）——實(shí)力強(qiáng)。

（2）教師故意給學(xué)生出難題：教師先選牌，也選紅色的這三張，并逐一貼在黑板上，引導(dǎo)學(xué)生思考：你們拿黑色的這三張，還有辦法獲勝嗎？怎樣出牌，才能獲勝？

學(xué)生獨(dú)立思考，同桌交流后，推薦一名學(xué)生到黑板上用三張黑色牌給出獲勝方案。

在確認(rèn)學(xué)生三局兩勝獲得勝利后，引導(dǎo)學(xué)生思考：老師實(shí)力強(qiáng)，學(xué)生實(shí)力弱，靠什么獲勝？

交流后教師板書：（獲勝）——對策優(yōu)。

（3）引導(dǎo)學(xué)生理性思考：還有別的應(yīng)對策略嗎？請說明理由。

這個(gè)問題需要學(xué)生進(jìn)行理性思考，對推理能力和表達(dá)能力的要求都比較高。因此，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后組織四人小組展開交流，最后小組內(nèi)推選代表表述觀點(diǎn)。

生1：黑方只能用最小的3和紅方最大的9比，保證后面兩局的勝利。

生2：如果不用3和9比，不管用8或6，都會先輸一局，而3一定會再輸一局。

3.教師結(jié)合板書進(jìn)行小結(jié)：比賽的時(shí)候，靠運(yùn)氣好能獲勝，靠實(shí)力強(qiáng)能獲勝，實(shí)力弱的靠對策優(yōu)也能獲勝。

撲克牌游戲是學(xué)生常玩的游戲，本節(jié)課教師從撲克牌比大小的游戲引入，一下子就將學(xué)生吸引住了。第一次游戲簡單直接，目的是創(chuàng)設(shè)生動有趣的比賽情境，降低教學(xué)起點(diǎn)，讓學(xué)生人人都能參與。第二次游戲，教師故意給學(xué)生出難題——教師先選牌，逼迫學(xué)生進(jìn)行理性思考：實(shí)力弱，怎樣對陣才能獲勝。實(shí)踐證明，田忌賽馬中以弱勝強(qiáng)的策略，學(xué)生完全能夠想到。通過交流，學(xué)生能在具體情境中感悟到，優(yōu)化對陣策略，實(shí)力弱的一方也能獲得勝利。

在這一環(huán)節(jié)中，最后一個(gè)問題富有挑戰(zhàn)性：還有別的應(yīng)對策略嗎？請說明理由。解答這個(gè)問題，教材采用的方法是羅列出所有應(yīng)對方法（一共6種），然后發(fā)現(xiàn)只有一種方法能獲勝。但在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，這不是學(xué)生原生態(tài)的思維，當(dāng)面對這個(gè)問題時(shí)，學(xué)生更愿意用推理、說理的方式，而且也能表達(dá)清楚。所以我將這個(gè)問題交流的教學(xué)目標(biāo)定于培養(yǎng)學(xué)生推理能力和表達(dá)能力，而引導(dǎo)學(xué)生有序思考、一一列舉放到第二個(gè)環(huán)節(jié)。

片段二：疑難探究，錘煉思維

1.提出挑戰(zhàn)性問題：教師故意背對學(xué)生，打亂三張紅色牌的順序，反面朝上隨機(jī)呈現(xiàn)在黑板上。

師：不知道老師的出牌順序，你還能獲勝嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考后，指名一位學(xué)生在黑板上擺好黑色牌（反面朝上）。

師：擺好后，我們的出牌順序就都不能變了?，F(xiàn)在我們先來看看這位同學(xué)的黑色牌的出牌順序（教師翻開黑色牌，黑色牌的排序是隨機(jī)的，每次教學(xué)都可能不一樣）。

2.提出猜想：

師：你們認(rèn)為比賽結(jié)果會怎么樣？

生1：我們肯定輸了！

生2：我們不太可能贏。

師追問：你們有可能獲勝嗎？

生3：有可能。

生4：我們獲勝的可能性很小。

教師板書猜想：有可能勝；勝的可能性小。

教師質(zhì)疑（分別打上問號）：有可能勝？紅色牌的排列順序是怎樣時(shí)，你們能獲勝？

3.思考交流：

生：6上面是5，8上面是7，3上面是9。

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：如果紅色牌的出牌順序是5、7、9，黑方能否獲勝？觀察、交流后確認(rèn)“有可能勝”。

師：勝的可能性小？你們是怎么想的？

生1：紅色牌不一定是這么出的。

生2：紅色牌還有很多種出法，黑色牌都會輸?shù)摹?/p>

師：紅色牌到底有幾種不同的出法呢？請大家獨(dú)立寫一寫。

學(xué)生獨(dú)立寫完后，請幾名學(xué)生口答（一般情況下，大多數(shù)學(xué)生都能有序地寫出所有6種不同的出法），教師有序板書6種出法，并引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考：在這6種出法中，黑色牌能獲勝的有幾種？

師：經(jīng)過剛才的交流和討論，誰能再說一說，為什么說黑色牌勝的可能性?。?/p>

生：因?yàn)榧t色牌一共有6種不同的出牌方法，其中黑色牌能獲勝的只有一種，所以說黑色牌勝的可能性小。

4.驗(yàn)證猜想：

教師翻開紅色牌，翻開前讓學(xué)生決定先翻開哪一張，希望看到幾。（一般學(xué)生都希望先翻開3上面的那一張，并希望它是9）

教師翻開3上面那一張后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考。如果翻開后是9，學(xué)生會非常興奮，這時(shí)教師追問“你們一定能獲勝了嗎？”；如果翻開后不是9，教師追問“還要繼續(xù)翻嗎？”。這樣教學(xué)，數(shù)學(xué)活動的思維含量得到顯著提高。

5.質(zhì)疑討論：

師：剛才我們認(rèn)為，實(shí)力弱的時(shí)候，靠對策優(yōu)也能獲勝?，F(xiàn)在怎么成了勝的可能性小了？

生1：因?yàn)槲覀儾恢兰t色牌的出牌順序。

生2：這樣我們沒辦法用對策，只能靠運(yùn)氣了。

師：看來靠對策優(yōu)獲勝是有條件的，那就是要后出牌，這就是我們經(jīng)常說的“后發(fā)制人”（板書）。

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思維的全過程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要途徑。在每人三張牌比大小的游戲中，正常情況下，學(xué)生是不知道對方的出牌順序的，這時(shí)候，學(xué)生可以預(yù)判對方可能的出牌順序，但也得清楚地認(rèn)識到實(shí)力弱的一方“有可能勝”，但“勝的可能性小”，從而懂得靠對策優(yōu)獲勝是有條件的。怎樣讓學(xué)生達(dá)成這樣的認(rèn)識，并在這其中發(fā)展思維呢？上述教學(xué)中，將紅色牌反扣在黑板上是十分重要的一步，當(dāng)學(xué)生看不到紅色牌出牌順序時(shí)，就會深入思考比賽的結(jié)果，提出猜想。當(dāng)學(xué)生需要想辦法說明“有可能勝”時(shí)，他們的推理能力就得到了錘煉。當(dāng)學(xué)生需要說明“勝的可能性小”時(shí)，有序思考，羅列所有可能的出牌順序成為學(xué)生的主動需求。當(dāng)學(xué)生在生動、有趣的數(shù)學(xué)活動中深刻認(rèn)識到靠對策優(yōu)獲勝必須具備“后發(fā)制人”的條件時(shí)，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性得到了較好的錘煉，這正是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)。

值得一提的是，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容雖然是優(yōu)化思想，但從思維能力培養(yǎng)的角度，還有前伸后延的教學(xué)目標(biāo)，前伸是學(xué)生已有的有序思維的應(yīng)用，后延是隨機(jī)思想的滲透。

片段三：變式運(yùn)用，完善思維

第三次游戲：師生兩人玩撲克牌比大小的游戲，每人每次出一張牌，各出3次，贏兩次者勝。

師：第三次游戲規(guī)則同前，但要再增加一條：先選牌的，先出牌（課件補(bǔ)充呈現(xiàn)）。

師：老師為大家重新抽出了3張紅色牌和3張黑色牌。請大家思考，你們準(zhǔn)備讓老師先選牌，還是你們先選牌？

生1：老師您先選牌，我們后選。

生2：這樣我們可以后發(fā)制人。

教師呈現(xiàn)下面的兩組牌：

紅色牌：10、7、4。

黑色牌：9、3、2。

當(dāng)學(xué)生看到牌，馬上后悔了，嚷嚷著“肯定輸了”。

師：你們怎么知道肯定贏不了？

生1：因?yàn)槔蠋熌阋欢〞x紅色牌的。

生2：黑色牌只有一張9能獲勝。

師：如果紅色牌不變，還是 10、7、4。但允許你換掉1張黑色牌，你準(zhǔn)備換哪一張？

學(xué)生都想換掉那張最小的2，也有學(xué)生認(rèn)為換掉3也行。

師：如果換掉2，你準(zhǔn)備換成幾？最小可以換成幾？換成4行不行？

通過交流，學(xué)生認(rèn)識到，只有較大的兩張黑色牌大過較小的兩張紅色牌，黑方才有可能獲勝。

師：除了要后發(fā)制人，靠對策優(yōu)獲勝還需要滿足什么條件？

生1：牌不能太小。

生2：實(shí)力相差不能太懸殊。

生3：至少要有2張牌能大過對方。

教師補(bǔ)充板書：實(shí)力相當(dāng)，后發(fā)制人。

不斷制造思維沖突，是組織數(shù)學(xué)活動的關(guān)鍵因素。只有讓學(xué)生一次次掉入思維陷阱，才能不斷激發(fā)學(xué)生的思維能量。面對新規(guī)則“先選牌的，先出牌”，還停留于第二次游戲活動經(jīng)驗(yàn)中的學(xué)生自然掉入了思維陷阱。但當(dāng)學(xué)生意識到上當(dāng)后，他們的數(shù)學(xué)思維就得以完善，更加嚴(yán)謹(jǐn)了。

片段四：經(jīng)典故事，提升思維

1.視頻播放《田忌賽馬》的故事，播放到一半時(shí)暫停。

師：你知道孫臏給田忌出了怎樣的主意？

生：田忌用下等馬對齊威王的上等馬，用上等馬對齊威王的中等馬，用中等馬對齊威王的下等馬。

師：你能在黑板上找到齊威王的上等馬嗎？看著黑板說一說第一次比賽和第二次比賽田忌的馬的出場順序。

生：第一次——上、中、下；第二次——下、上、中。

2.繼續(xù)播放視頻，感受田忌賽馬的智慧。

3.深入思考：在《田忌賽馬》的故事中，誰最聰明？聰明在哪里？

生：孫臏最聰明，他讓田忌改變馬的出場順序，實(shí)現(xiàn)以弱勝強(qiáng)。

師：孫臏的策略有風(fēng)險(xiǎn)嗎？你認(rèn)為孫臏的聰明還體現(xiàn)在什么地方？

生1：孫臏的策略也是有風(fēng)險(xiǎn)的，如果齊威王猜到孫臏會讓田忌改變出場順序，他只要也變一變，田忌就不可能獲勝了。

生2：孫臏他懂得齊威王的心理，預(yù)判到第一次獲勝的齊威王不會改變馬的出場順序。

師：是啊，知彼知己才能百戰(zhàn)不殆！

按照人教版教材的編寫順序，本課例題教學(xué)的是《田忌賽馬》的故事，撲克牌比大小是練習(xí)中的內(nèi)容。筆者在教學(xué)時(shí)，調(diào)整了教材的教學(xué)順序，從撲克牌游戲切入。一方面，四年級學(xué)生更熟悉也更喜歡在游戲活動中學(xué)習(xí)；另一方面，撲克牌游戲更容易引導(dǎo)學(xué)生有層次地思考，數(shù)學(xué)化地表達(dá)。在學(xué)生通過參與數(shù)學(xué)游戲活動，對優(yōu)化思想有了較為深刻的認(rèn)識后，再讓學(xué)生聽一聽《田忌賽馬》的故事，并將孫臏的優(yōu)化思想和撲克牌游戲的優(yōu)化思想進(jìn)行同化，從而實(shí)現(xiàn)遷移，提升了學(xué)生的思維水平。

綜觀整個(gè)教學(xué)過程，教師引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)游戲活動中充分經(jīng)歷優(yōu)化思想的形成過程，不但懂得以弱勝強(qiáng)的策略，還明晰了靠策略取勝所必須具備的條件，讓學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)、深刻，較好地達(dá)成了引領(lǐng)學(xué)生思維在生動中走向深刻的教學(xué)理念。這樣教學(xué)《田忌賽馬》的故事，從德育教育的角度思考，還讓學(xué)生明白一些人生的道理，筆者認(rèn)為，如果通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生只知道以弱勝強(qiáng)，靠策略取勝，他們收獲的只是一些小智慧、小技巧。其實(shí)，一個(gè)人要想勝出，首先要靠實(shí)力，只有強(qiáng)大自己，才能立于不敗之地。當(dāng)實(shí)力還弱于對方時(shí)，也不能放棄努力，因?yàn)樵谝欢l件下，正確選擇應(yīng)對策略，也能夠以弱勝強(qiáng)。通過這一內(nèi)容的教學(xué)讓學(xué)生對這些問題有所思考、有所感悟，這或許比培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加重要。

通過《對策問題》一課的案例分析，可以梳理出引領(lǐng)學(xué)生思維在生動中走向深刻的教學(xué)策略。

首先，數(shù)學(xué)教學(xué)要始終保持學(xué)生對未知的好奇心。對未知的好奇與渴望是驅(qū)動學(xué)生探索的強(qiáng)大動力，創(chuàng)設(shè)情境、發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，都要置學(xué)生于憤悱之間，要撓到學(xué)生認(rèn)知的癢處。如本課教學(xué)中，主要教學(xué)情境就是撲克牌游戲，教師通過“拿黑色的這三張，還有辦法獲勝嗎”“不知道教師的出牌順序，你還能勝嗎”“你們準(zhǔn)備讓老師先選牌，還是你們先選牌”這三個(gè)問題始終讓學(xué)生保持著對未知的好奇心。

其次，要努力讓學(xué)生主動投入探索之中。改變教師滿堂問的教學(xué)方式，以具有較大思維空間的核心問題引領(lǐng)學(xué)生探索，保證學(xué)生獨(dú)立探索的時(shí)間，努力讓課堂靜下來，讓學(xué)生的思維自然流淌。如本課教學(xué)中，在研究“不知道教師的出牌順序，你還能勝嗎”這個(gè)問題時(shí)，教師放手讓學(xué)生主動思考，自主探索，合作交流，從而引領(lǐng)學(xué)生思維走向深刻。

再次，要引領(lǐng)學(xué)生有效展開對話與交流。教師教學(xué)的藝術(shù)集中體現(xiàn)在引領(lǐng)學(xué)生對話與交流的能力，只有引領(lǐng)合理才能有效將學(xué)生的思維引向深刻。如何找到反饋的最佳切入點(diǎn)，如何合理安排生成性學(xué)習(xí)材料的反饋順序，如何在對話與交流的關(guān)鍵處適時(shí)追問，等等，都需要教師智慧應(yīng)對。