那景童，張旭秀

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分表示微分和積分階次是分?jǐn)?shù)的微積分運(yùn)算.單從這個(gè)意義上講，分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分在階次上的一種推廣，或者說(shuō)前者是后者的一般形式[1].因此比起整數(shù)階微積分，分?jǐn)?shù)階微積分可以更加準(zhǔn)確的描述系統(tǒng)屬性特征，較整數(shù)階控制系統(tǒng)能夠獲得更好的控制品質(zhì)，從而研究分?jǐn)?shù)階控制理論具有非凡意義[2].在分?jǐn)?shù)階控制理論的研究范疇內(nèi)，針對(duì)各類(lèi)分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)及其參數(shù)整定一直是分?jǐn)?shù)階控制理論研究熱點(diǎn)問(wèn)題.

Podlubny教授在1999年提出了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，為分?jǐn)?shù)階控制器奠定了基礎(chǔ)，并證明了較傳統(tǒng)PID控制器，應(yīng)用分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器能夠取得更優(yōu)的系統(tǒng)控制品質(zhì)[3](上升時(shí)間短、超調(diào)小、穩(wěn)定誤差小、魯棒性強(qiáng)等).但是由于PIλDμ控制器多了兩個(gè)可調(diào)參數(shù)使得控制器設(shè)計(jì)及參數(shù)整定的難度大大提高.文獻(xiàn)[4]提出了采用相角裕度和幅值裕度方法整定分?jǐn)?shù)階控制器，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階高精度控制，然而該方法只能整定

具有三個(gè)參數(shù)的分?jǐn)?shù)階控制器如PIλ控制器或PDμ控制器；文獻(xiàn)[5]采用主導(dǎo)極點(diǎn)法開(kāi)展了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)整定方法的研究，結(jié)果表明，該方法存在計(jì)算量大且整定過(guò)程相對(duì)復(fù)雜等不足.因此，越來(lái)越多的研究人員著眼于采用優(yōu)化算法設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，如文獻(xiàn)[6]將粒子群優(yōu)化算法用于整定分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)，但收斂精度底，容易陷入局部最優(yōu)解，導(dǎo)致尋優(yōu)效果不理想，甚至出現(xiàn)搜索失?。晃墨I(xiàn)[7]將遺傳算法用于整定分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)，該算法在尋優(yōu)過(guò)程中，由于部分迭代值尋優(yōu)不當(dāng)使得整個(gè)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定，尋優(yōu)不能繼續(xù).基于此，本文采用FAPSO方法整定分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)，數(shù)字仿真證明，該方法能夠獲得更好的控制效果.

1 模糊自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法

1.1 粒子群優(yōu)化算法介紹

Kennedy和Eberhart于1995年基于對(duì)鳥(niǎo)群運(yùn)行模式的簡(jiǎn)化研究及行為模擬開(kāi)發(fā)了一種優(yōu)化算法即粒子群優(yōu)化算法[8].假設(shè)在一個(gè)D維的搜索空間里存在n個(gè)微粒，這時(shí)每個(gè)微粒代表以一定速度飛行的一只鳥(niǎo).對(duì)于要求解的優(yōu)化問(wèn)題，此時(shí)的每個(gè)微粒就是一個(gè)潛在的解.對(duì)于每個(gè)微粒都具備以下信息：到目前為止自己發(fā)現(xiàn)的最優(yōu)位置(pbest)，并以pbest作為自身飛行的經(jīng)驗(yàn)；到目前為止整個(gè)群體所找到的最優(yōu)位置(gbest)，該值為pbest中的最優(yōu)值.在整個(gè)尋優(yōu)過(guò)程中，每個(gè)粒子的適應(yīng)度取決于所采用的優(yōu)化函數(shù)的值.粒子群優(yōu)化算法是一種迭代優(yōu)化算法即每個(gè)粒子通過(guò)若干次迭代搜索，最終找到最優(yōu)解.在每次的迭代過(guò)程中，微粒通過(guò)追蹤pbest與gbest的位置來(lái)更新自己.PSO在尋優(yōu)過(guò)程中，運(yùn)用下式來(lái)更新自身的速度與位置：

vk+1=ωvk+c1r1(pbestk-xk)+

c2r2(gbestk-xk)

(1)

xk+1=xk+vk+1

(2)

式(1)、(2)中，vk表示微粒的當(dāng)前速度、xk表示微粒的當(dāng)前位置、ω為慣性權(quán)重、c1、c2為非負(fù)常數(shù)，r1、r2稱(chēng)為加速常數(shù)，分別用來(lái)表示pbestkgbestk對(duì)每個(gè)粒子的影響強(qiáng)度，一般取c1、c2∈(0,2)，r1、r2∈[0,1].

(3)

式(3)對(duì)微粒的速度進(jìn)行了限制，如果微粒速度太大，可能會(huì)飛過(guò)最優(yōu)解；如果微粒速度太小，微粒容易陷入局部搜索空間而得不到最優(yōu)解.

1.2 模糊自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法

在傳統(tǒng)PSO算法中，慣性權(quán)重是用來(lái)平衡局部和全局搜索能力的變量.以往研究者運(yùn)用線性減小的方法來(lái)對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行尋優(yōu)操作[9]，即在尋優(yōu)開(kāi)始時(shí)，取一個(gè)相對(duì)較大的值，這樣在算法進(jìn)行初始階段有較強(qiáng)的全局搜索能力，隨后以線性速度減小到一個(gè)較小值，這樣在將要出現(xiàn)最優(yōu)解時(shí)(算法的局部搜索能力也增強(qiáng).由于PSO優(yōu)化過(guò)程是非線性的，所以運(yùn)用線性減小慣性權(quán)重的方法并不能得到算法的最佳搜索狀態(tài).因此，可以通過(guò)對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行非線性、自適應(yīng)動(dòng)態(tài)的取值，使PSO算法的局部和全局搜索能力達(dá)到更好的平衡.此外，常規(guī)的 PSO 算法，在粒子追逐最優(yōu)的過(guò)程中，限制了粒子速度的取值范圍，但沒(méi)有限制粒子位置的取值范圍,如式(2)，當(dāng)vk+1變化較大時(shí)xk+1的變化也增大，這樣，在粒子追逐最優(yōu)的過(guò)程中，越接近最優(yōu)粒子，算法越易陷入局部最優(yōu)，收斂速度加快，優(yōu)化提前終止.因此本文提出一種采用模糊規(guī)則的方法來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重的值及位置更新.

對(duì)慣性權(quán)重采用如下隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊處理：

(4)

其中，μ1為廣義正態(tài)分布的隸屬函數(shù)，a、b為常數(shù)，分別取7和2，z是以搜索代數(shù)為自變量的正態(tài)分布函數(shù)值.通過(guò)μ1對(duì)ω進(jìn)行控制，搜索空間由小到大變化，搜索一定代數(shù)，搜索空間轉(zhuǎn)為由大到小變化，從而可更靈活地調(diào)節(jié)全局搜索和局部搜索能力，將式(4)代入式(1)得：

c1r1(pbestk-xk)+c2r2(gbestk-xk)

(5)

對(duì)位置更新采用如下隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊處理：

(6)

式(6)中，μ2為S形隸屬函數(shù)，α、c為常數(shù)，對(duì)不同的函數(shù)優(yōu)化取值不同，T為給定閾值，與算法的最大迭代次數(shù)有關(guān).當(dāng)?shù)螖?shù)較低時(shí)，隸屬度取1，粒子位置改變較大；當(dāng)?shù)螖?shù)大于某給定的閾值時(shí)，粒子的改變放慢，到達(dá)一定迭代次數(shù)又可加快些，這樣進(jìn)行自適應(yīng)控制可以有效地避免陷入局部最優(yōu)解，將式(6)帶入式(2)得：

(7)

2 分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器設(shè)計(jì)

2.1 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器描述

本文所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器采用如下形式的數(shù)學(xué)模型[10]:

(8)

這里考慮到離散化效果與適用性，在分?jǐn)?shù)階微積分算子離散化過(guò)程中生成函數(shù)采用Al-aloui算子，即

(9)

對(duì)式(9)采用連分式展開(kāi)得：

(10)

式(10)中T為采樣周期、γ為分?jǐn)?shù)階微積分階次、P、Q是變量Z-1的多項(xiàng)式，可通過(guò)查表得到.采用Al-aloui算子+連分式展開(kāi)方法，則可得到分?jǐn)?shù)階微積分算子s±γ的整數(shù)階傳遞函數(shù)，將所得整數(shù)階傳遞函數(shù)代入到式(8)，即可實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的離散化.

2.2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)設(shè)計(jì)

在本文尋優(yōu)過(guò)程中，采用式(11)作為每個(gè)微粒的適應(yīng)度函數(shù)：

(11)

式(11)中J屬于積分絕對(duì)誤差(ITAE).|e(t)|為輸入輸出誤差的絕對(duì)值；t為控制系統(tǒng)輸出信號(hào)跟蹤上輸入信號(hào)時(shí)間，ITAE作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，其涉及快速性、準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性，能夠較好的評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)的性能.最終可以看出基于模糊自適應(yīng)PSO算法的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)整定問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橛屑s束的優(yōu)化問(wèn)題，具體優(yōu)化步驟可簡(jiǎn)述為：

步驟1 根據(jù)文獻(xiàn)[10]設(shè)置進(jìn)化代數(shù)、參數(shù)優(yōu)化維數(shù)、粒子種群數(shù)等，初始化所有粒子的速度和位置；

步驟2 把每個(gè)微粒的位置向量依次作為 控制器參數(shù)，計(jì)算其適應(yīng)度函數(shù)值；

步驟3 對(duì)慣性權(quán)重及粒子的位置更新分別用式(4)、式(6)進(jìn)行模糊處理，采用式(5)、式(7)更新粒子的速度和位置；

步驟4 判斷全局最優(yōu)值是否滿足精度要求，或算法迭代已達(dá)到設(shè)置的進(jìn)化代數(shù)，若滿足，則迭代結(jié)束，并輸出最終的全局最優(yōu)值作為問(wèn)題的解，否則繼續(xù)迭代，重復(fù)步驟2～4.

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果討論

為了驗(yàn)證本文所提基于模糊自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法所整定的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器效果，這里分別選取整數(shù)階被控對(duì)象與分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象進(jìn)行討論.

例1考慮受控對(duì)象為整數(shù)階模型[11]：

(12)

本文所提FAPSO算法種群維數(shù)為5，種群大小取60，粒子總數(shù)為1000，最大迭代次數(shù)為200.以式(12)為被控對(duì)象運(yùn)行FAPSO優(yōu)化算法，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的五個(gè)參數(shù)整定結(jié)果如下：

因此，可得分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器為：

(13)

同時(shí)采用傳統(tǒng)PSO算法整定的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器為：

(14)

采用式(13)、(14)控制器分別對(duì)整數(shù)階模型(12)進(jìn)行單位階躍響應(yīng)，得到系統(tǒng)仿真對(duì)比圖如圖1所示.

圖1 整數(shù)階被控對(duì)象系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)對(duì)比

從圖1的階躍響應(yīng)對(duì)比可得，本文設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器無(wú)論是在上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量均優(yōu)于傳統(tǒng)PSO設(shè)計(jì)的PIλDμ控制器.

為了驗(yàn)證所整定控制器的魯棒性，改變整數(shù)階模型系數(shù)，即

(15)

圖2 模型失配時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)對(duì)比

從圖2的階躍響應(yīng)對(duì)比可得，本文設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器具有更強(qiáng)的魯棒性.

例2考慮一個(gè)分?jǐn)?shù)階受控對(duì)象模型[12]：

(16)

以式(16)為被控對(duì)象運(yùn)行FAPSO優(yōu)化算法，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的五個(gè)參數(shù)整定結(jié)果如下：

因此，可得分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器為：

(17)

同時(shí)采用常規(guī)PSO算法整定的分?jǐn)?shù)階控制器為：

(18)

采用式(17)、(18)控制器分別對(duì)分?jǐn)?shù)階模型(16)進(jìn)行閉環(huán)單位階躍測(cè)試，得到系統(tǒng)仿真對(duì)比圖如圖3所示.

圖3 分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)對(duì)比

從圖3的階躍響應(yīng)對(duì)比可得，本文設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器無(wú)論是在上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量均優(yōu)于傳統(tǒng)PSO設(shè)計(jì)的PIλDμ控制器.

為了驗(yàn)證所整定控制器的魯棒性，改變分?jǐn)?shù)階模型系數(shù)，即

(19)

由圖4可得，本文所提FAPSO方法相比傳統(tǒng)PSO算法，在魯棒性方面具有優(yōu)勢(shì).

為了更有效說(shuō)明運(yùn)用本文方法所整定的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器具有更好的時(shí)域控制品質(zhì)和魯棒性，這里選取閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量δ%、絕對(duì)時(shí)間誤

圖4 模型失配時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)對(duì)比

差積分ITAE、調(diào)節(jié)時(shí)間ts作為驗(yàn)證系統(tǒng)控制品質(zhì)的指標(biāo)，如表1所示.

表1控制系統(tǒng)性能指標(biāo)對(duì)比

模型方法原被控對(duì)象模型參數(shù)攝動(dòng)后模型δ/% ITAEtsδ/% ITAEts整數(shù)階模型FAPSO12.791.652512.7193.5223PSO13.7132.8622014.28171.8217分?jǐn)?shù)階模型FAPSO2.3111.612.33.48513.432.5PSO7.0940.76315.5187. 336.5

由表1可得，無(wú)論整數(shù)階被控對(duì)象，還是分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象，本文給出的FAPSO分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器設(shè)計(jì)方案，在超調(diào)量、ITAE、調(diào)節(jié)時(shí)間均優(yōu)于傳統(tǒng)PSO設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器.在整數(shù)階受控對(duì)象模型失配情況下，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)在采用本文方法所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器作用下，超調(diào)只增加了0.01、ITAE增加了1.87，調(diào)節(jié)時(shí)間下降2 s,而系統(tǒng)在傳統(tǒng)PSO設(shè)計(jì)的控制器作用下，超調(diào)提高了0.58，調(diào)節(jié)時(shí)間下降3s，但I(xiàn)TAE增加了38.94.在分?jǐn)?shù)階受控對(duì)象模型失配情況下，傳統(tǒng)PSO設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器性能更為不足.因此相比傳統(tǒng)PSO整定的控制器，文章所提方法具有更好的動(dòng)靜態(tài)特性和更強(qiáng)的魯棒性.

4 結(jié)論

本文針對(duì)以往分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)整定復(fù)雜問(wèn)題，提出基于FAPSO算法的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器整定方法.通過(guò)對(duì)整數(shù)階被控對(duì)象和分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象進(jìn)行單位階躍測(cè)試，以及對(duì)兩被控對(duì)象參數(shù)攝動(dòng)后的單位階躍測(cè)試，通過(guò)結(jié)果可以可得，相比傳統(tǒng)PSO整定的控制器，文章所提方法具有更好的動(dòng)靜態(tài)特性和更強(qiáng)的魯棒性.

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