王 萍， 劉進生

(太原理工大學 數(shù)學學院, 山西 太原 030024)

本文主要利用變分方法, 結(jié)合山路引理與集中緊性原理, 研究了RN上帶有臨界非線性項的p-Kirchhoff型問題

RN上的Kirchhoff型問題

(1)

作為橢圓型方程非局部問題的典型代表, 并且它又在實際生活中被廣泛應(yīng)用, 故而近年來有許多作者研究了其非平凡解的存在性[1-7]. 與此同時, 也有大量作者將問題(2)推廣到含有p-Laplace算子Δp的情形, 即所謂的p-Kirchhoff 型問題, 如文獻[8-12]研究了p-Kirchhoff問題

(2)

非平凡解的存在性. 文獻[13]又研究了更一般的p-Kirchhoff型問題

(3)

非平凡解的存在性與多重性. 但文獻[13]的研究方法不適合問題(P)的研究, 因為問題(3)中的非線性項f是次臨界的, 而我們所研究的問題(P)中的非線性項含有臨界項|u|p*-2u.

本文所使用的方法是文獻[6]與[7]研究方法的一個結(jié)合與推廣. 主要結(jié)論為

定理1 假設(shè)p2

1)p2

1 基本引理

對任意的1≤s≤+∞,|·|s表示通常的Lebesgue 空間Ls(RN)上的范數(shù). 對固定的常數(shù)a,m> 0, 可以在W1,p(RN)中引入等價范數(shù), 即u∈W1,p(RN)時， 定義

可以證明， 當u∈W1,p(RN)時, 問題(P)所對應(yīng)的能量泛函為

(4)

并且I∈C1W1,p(RN),R, 從而由式(4)定義的泛函I的臨界點即為問題(P)在W1,p(RN)中的解.

本文中, 由于問題(P)是自治的,結(jié)合對稱臨界原理, 只需在徑向?qū)ΨQ空間

RN)=

{u∈W1,p(RN)∶u(x)=u(|x|)}

中證明I存在非零的臨界點即可.

引理1 當p2

證明顯然有I(0)=0. 由式(4), 利用Bernoulli 不等式((1+x)α≥1+αx,α>1,x>-1)及Sobolev嵌入定理知， 存在常數(shù)C1,C2>0使得

注意到p0,α>0, 使得I|?Bρ(0)≥α>0. 而當t>0時, 有

根據(jù)山路引理及引理 1, 令Γ是E中聯(lián)結(jié)0與e的道路的集合, 即

Γ={g∈C([0,1],E)|g(0)=0,g(1)=e},

記

(5)

那么c≥α并且I關(guān)于c存在臨界序列{un}. 若I還滿足(PS)c條件, 則c是I的臨界值. 為了證明{un}在E中滿足(PS)c條件, 需要給出式(5)中c的一個上界并證明{un}在E中是有界的.

記空間D1,p(RN)={u∈Lp*(RN)∶u∈Lp(RN)} 中的Sobolev最佳嵌入常數(shù)為S, 注意到p2

(6)

有唯一的正實根, 記為μ. 定義

(7)

那么， 由式(6)容易知道

引理2 若定理1的假設(shè)條件成立, 則c

證明對任意的ε,r>0, 取Uε(x)=φ(x)U(x,ε), 其中

直接計算有

(8)

且當p2≥N時, 有

(9)

當p2

(10)

那么

3) 當t′

則

y′(t)=

由此容易證明y(t)存在唯一的最大值點tε>0, 它滿足y′(t∈)=0. 令

注意到

結(jié)合式(8)可知, 當ε→0時,

所以， 由式(6)可得F(μ,A0,B0,C0)=0, 而

于是由隱函數(shù)定理可知, 在點(μ,A0,B0,C0)附近， 方程F(tε,Aε,Bε,Cε)=0可以確定隱函數(shù)

tε=f(Aε,Bε,Cε),

從而由隱函數(shù)的連續(xù)性知， 當ε→0時,tε→μ, 將其在點(A0,B0,C0) Taylor展開得到

tε=f(A0,B0,C0)+

(11)

于是將函數(shù)y(t)中的每一項都在t=μ點Taylor展開, 計算可得，y(tε)=c*+O(εα), 而當t′0使得

綜合(1), (2)及(3)可知在定理1的假設(shè)條件下c

引理3 當p2

證明一方面, 因為當n→∞時,I(un)→c,I′(un)→0, 故

(12)

式中：εn→0(n→∞).

另一方面, 仍利用Bernoulli不等式, 容易估計出

(13)

注意到p>1, 故由式(12)及(13)知， {un}是有界的.

2 主要結(jié)論的證明

定理1的證明只需證明由式(4)定義的泛函I滿足(PS)c條件.

假設(shè){un}?E, 滿足I(un)→c,I′(un)→0. 由引理3知{un}是有界的, 于是對{un}的某個子列, 仍記為{un}, 存在u∈E, 使得

(14)

由集中緊性原理[15], 結(jié)合空間E的特性知， 對{un}的某個子列, 仍記為{un}, 存在數(shù)η0,v0≥0使得在測度意義下有

|un|p?dη≥|u|p+η0δ0,

|un|p*?dv=|u|p*+v0δ0,

(15)

下面證明η0=v0=0. 用反證法. 若η0,v0中至少有一個不為零, 與文獻[7]中的證明同理可得， 對固定的v0,η0, 有v0≥(a+bη0)p-1η0, 因此有

(16)

從而η0,v0>0, 再結(jié)合收斂性結(jié)論(14), 計算得到

(17)

對于函數(shù)

故

因此， 由式(17)得到c≥c*, 這與引理2的結(jié)論矛盾, 故η0=v0=0. 而由文獻[16]可知

(18)

其中

因此

(19)

由I′(un)→0, {un}的有界性以及式(14)可得

o(1)=〈I′(un)-I′(u),un-u〉=

(20)

由H?lder不等式, {un}的有界性以及式(19)可得

(21)

又因為un?u, 且{un}有界, 故可得

(22)

由文獻[17]知存在正常數(shù)Cp, 使得對任意的ξ,η∈RN, 有

(23)

因此， 由式(23), H?lder不等式及{un}的有界性知， 存在正常數(shù)C使得

(24)

且

(25)

則由式(20)～(25)可得

所以

因此， ‖un-u‖→0, 結(jié)合在E中un?u, 可以得到在E中un→u.

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