常 晶，周 軍，郭建國

(西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所， 西安 710072)

0 引 言

制導(dǎo)控制一體化(Integrated guidance and control，IGC)設(shè)計方法是為了彌補傳統(tǒng)的攔截彈制導(dǎo)與姿態(tài)控制分離設(shè)計的耦合效應(yīng)而提出的。通過對制導(dǎo)環(huán)節(jié)和姿態(tài)控制環(huán)節(jié)的整體系統(tǒng)展開設(shè)計，制導(dǎo)控制一體化設(shè)計方法有效提高了導(dǎo)彈對大機動目標(biāo)的攔截精度[1]。

IGC系統(tǒng)是一個具有各種不確定性的高階系統(tǒng)，面臨著非匹配不確定系統(tǒng)的控制問題[1]。目前對于IGC系統(tǒng)主要有兩種控制思路，一種是對其線性化模型進(jìn)行最優(yōu)控制設(shè)計[2]，但是忽略了系統(tǒng)的模型不確定性和干擾的影響；另一種是將魯棒控制方法與退步算法相結(jié)合進(jìn)行制導(dǎo)控制一體化設(shè)計[3-7]以抑制模型的不確定性和干擾的影響。雖然以上方法解決了IGC設(shè)計中不確定性和干擾的問題，但是這些方法都假設(shè)導(dǎo)彈的所有狀態(tài)是可測量的。 然而，采用紅外導(dǎo)引頭的攔截彈由于其導(dǎo)引頭的特殊性，在制導(dǎo)控制一體化設(shè)計過程面臨著新的難題：視線角速率無法獲取[8]。對于這類部分狀態(tài)未知的攔截彈而言，前述基于反步算法的IGC設(shè)計難以工程實現(xiàn)。

文獻(xiàn)[9]中利用高增益觀測器技術(shù)和輸入狀態(tài)穩(wěn)定理論研究了導(dǎo)彈在視線角速率不可獲取時的制導(dǎo)問題，但是只給出了導(dǎo)彈加速度指令，依然屬于傳統(tǒng)的制導(dǎo)控制系統(tǒng)分離設(shè)計。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[9]采用高增益觀測器只估計了未知狀態(tài)，沒有對干擾進(jìn)行估計和補償。將導(dǎo)彈飛行過程中的氣動力參數(shù)和氣動力矩參數(shù)不確定性以及風(fēng)干擾和目標(biāo)機動不確定性作為集總干擾，利用觀測器來實現(xiàn)未知狀態(tài)和干擾的估計，然后結(jié)合退步算法實現(xiàn)IGC系統(tǒng)的控制律設(shè)計是消除或抑制導(dǎo)彈不確定項影響的一種有效解決途徑[3]。同傳統(tǒng)的線性觀測器不同，滑模觀測器通過在觀測器中引入一個非線性項可以達(dá)到有限時間的收斂，具有魯棒性強、設(shè)計簡單靈活的特點[10]。但是，要利用滑模觀測器實現(xiàn)干擾的估計，系統(tǒng)的不變零點需要是穩(wěn)定的(最小相位)，且系統(tǒng)必需滿足匹配條件[10-11]。采用紅外導(dǎo)引頭的高速攔截彈的IGC系統(tǒng)不滿足干擾匹配條件。通常有兩種方法來放松匹配條件的約束，一種是通過高階滑模微分器[10-11]得到輸出變量的微分項構(gòu)造擴張輸出狀態(tài)使得新系統(tǒng)滿足匹配條件；另一種方法是設(shè)計多個滑模觀測器的串聯(lián)[12-13]，構(gòu)造一個虛擬系統(tǒng)，直到虛擬系統(tǒng)滿足匹配條件。高階滑模微分器容易引入噪聲的影響，且要求系統(tǒng)的高階導(dǎo)數(shù)有界。這種串聯(lián)滑模觀測器的設(shè)計參數(shù)多，干擾誤差容易累計。此外，這些方法適用的系統(tǒng)都需要滿足最小相位條件。Rios等[11]將系統(tǒng)分為強可觀子系統(tǒng)、可觀子系統(tǒng)和不可觀子系統(tǒng)，保證了非最小相位系統(tǒng)的估計誤差有界。Bejarano[14]針對特殊的干擾研究了放松滑模觀測器強可觀性條件的方法。文獻(xiàn)[15]通過坐標(biāo)變換研究了不滿足最小相位系統(tǒng)和干擾匹配條件的滑模觀測器，要求的輸出與干擾個數(shù)滿足一定關(guān)系，其缺點是只可以實現(xiàn)部分干擾的估計。

基于以上分析，本文借鑒文獻(xiàn)[14-15]的思想，通過構(gòu)造補償滑模觀測器，實現(xiàn)了紅外導(dǎo)引高速攔截彈在不滿足干擾估計匹配條件下的未知狀態(tài)和干擾的完全估計。然后，將未知狀態(tài)和干擾估計信息用于攔截彈IGC系統(tǒng)的設(shè)計，利用李雅普諾夫函數(shù)證明了制導(dǎo)控制系統(tǒng)的有界穩(wěn)定性。本文提出的方法拓展了基于滑模觀測器和反步算法的制導(dǎo)控制一體化算法的工程適用范圍，實現(xiàn)了采用紅外導(dǎo)引頭的攔截彈在視線角速度難以獲取且存在非匹配不確定性影響下對目標(biāo)的高精度攔截。最后，數(shù)值仿真結(jié)果表明了本文所設(shè)計方法的有效性。

1 問題描述

彈-目相對關(guān)系如圖1所示，M與T分別代表導(dǎo)彈與目標(biāo)，其相對運動方程為：

(1)

(2)

式中：R和q分別表示彈目相對距離和視線角，VM與VT是導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度，θM與θT分別是導(dǎo)彈和目標(biāo)的彈道傾角。對式(2)求導(dǎo)并代入式(1)可得：

(3)

(4)

式(4)中的導(dǎo)彈加速度可表示為

(5)

式中：α是攻角，m為導(dǎo)彈質(zhì)量，TM是導(dǎo)彈的推力，L是導(dǎo)彈的升力。

導(dǎo)彈的姿態(tài)動力學(xué)方程為[4]

(6)

式中：?是俯仰角，ωz是導(dǎo)彈的角速率，Jz為轉(zhuǎn)動慣量，δz是俯仰舵偏，M=M0+Mδzδz表示導(dǎo)彈的俯仰力矩。Mδz是由舵偏產(chǎn)生的力矩,M0為攻角、馬赫數(shù)和高度等因素引起的力矩，可近似表示為M0=Mαα+Mωzωz，其中Mα和Mωz分別表示α和ωz引起的力矩系數(shù)。當(dāng)α，ωz和俯仰舵偏δz較小時，升力L和力矩M可寫作

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：

為保證攔截彈擊中目標(biāo)，應(yīng)該設(shè)計制導(dǎo)控制系統(tǒng)使得x1=0。針對具有非匹配擾動的系統(tǒng)(10)，本文的目標(biāo)是利用滑模觀測器(Sliding mode observer,SMO)實現(xiàn)未知狀態(tài)x1和擾動d的估計，然后結(jié)合反步算法設(shè)計出一體化的控制變量δz，使得x1=0。但是，利用常規(guī)的滑模觀測器，系統(tǒng)必需滿足(A,D,C)的不變零點穩(wěn)定和擾動估計的匹配條件rank(CD)=rank(D)，而系統(tǒng)(2)中rank(CD)=2, rank(D)=3，不滿足這個條件。下面分析如何通過滑模理論中的等效控制構(gòu)造補償滑模觀測器，估計系統(tǒng)(10)的未知狀態(tài)和干擾，實現(xiàn)紅外攔截彈的輸出反饋制導(dǎo)控制一體化。

2 觀測器設(shè)計

根據(jù)文獻(xiàn)[10]的附錄，通過對系統(tǒng)x和f做一定的坐標(biāo)變換，矩陣(A,D,C)可以轉(zhuǎn)換為

(11)

式中：

引理1[16]. 對于連續(xù)正定函數(shù)V(t)滿足以下條件

(12)

式中：α>0, 0<η<1是常數(shù)，則V(t)在有限時間到零。

系統(tǒng)(11)的未知狀態(tài)和干擾可以由如下的滑模觀測器給出

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

對V1從0到t積分可得

(18)

(19)

考慮到隨著t→∞，式(19)中右邊第一項趨于0，則h(t)→δ1。當(dāng)|e1(0)|>δ1，則h(t)從|e1(0)|遞減到δ1；反之，h(t)從|e1(0)|增加到δ1。因此，h(t)≤max(δ1,|e1(0)|)。令δ=max(δ1,|e1(0)|)，則估計誤差e1(t)是有界的且滿足|e1(t)|≤δ。

(20)

設(shè)計參數(shù)k2滿足

(21)

則

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

3 制導(dǎo)控制一體化算法設(shè)計

(27)

式中:η1>0是控制器增益。

2)定義跟蹤誤差s2=x2-x2c，設(shè)計虛擬控制量

(28)

(29)

3)定義跟蹤誤差變量s3=x3-x3c, 系統(tǒng)的實際控制量設(shè)計為

(30)

假設(shè)2.虛擬控制量x2c和x3c的導(dǎo)數(shù)是有界的。

定理2.考慮非線性系統(tǒng)(9)具有有界擾動d，如果利用觀測器(13)對系統(tǒng)的未知擾動和舵效損失同時進(jìn)行估計，然后代入式(27)～(30)所示的控制器，通過選擇合適的參數(shù)，則系統(tǒng)狀態(tài)是一致最終有界的,s=[s1,s2,s3]T將漸近地收斂到零附近的小鄰域中。

證. 定義指令濾波函數(shù)的誤差分別為ec1=x2c-x2d，ec2=x3c-x3d。令Lyapunov函數(shù)

(31)

其中，ec=[ec1,ec2]T。將式(27)～(30)代入式(9)，可得

(32)

對Vs求導(dǎo)可得

(33)

(34)

當(dāng)選取ηi,i=1,2,3和τi,i=1,2使得τ2<1,τ3<1，η1>c0-2,η2>c1-3-1/τ2,η3>c2-2-1/τ3，則

(35)

式中：ξ=2min(1,2,3,4,5)

4 仿真校驗

本節(jié)通過數(shù)值仿真對所設(shè)計的基于滑模觀測器的輸出反饋控制方法的有效性進(jìn)行校驗。設(shè)置攔截彈初始條件為：VM(0)=1200 m/s，VT(0)=900 m/s，α(0)=0°，ω(0)=0°/s，θM(0)=0°，θT(0)=10°，且導(dǎo)彈的初始位置在(0,16) km，目標(biāo)的初始位置在(1,16.4) km。舵機模型是時間常數(shù)為0.01 s的一階慣性環(huán)節(jié)且限幅為±30°。導(dǎo)彈的氣動系數(shù)參照文獻(xiàn)[4]：

為了進(jìn)行仿真對比研究，將本文提出的基于滑模觀測器的部分狀態(tài)反饋BC方法 (Partial state feedback back-stepping control, PSFBC ) 和文獻(xiàn)[8]中視線角速度未知的基于輸入-狀態(tài)穩(wěn)定和高增益觀測器的制導(dǎo)律 (High-gain observers based partial state feedback control, HOPFC) 分別在標(biāo)稱情況和氣動參數(shù)攝動的情況下進(jìn)行仿真校驗。目標(biāo)機動過載設(shè)置為5g，并且考慮導(dǎo)彈存在30%以內(nèi)的氣動參數(shù)攝動，對系統(tǒng)(8)分別加外界擾動：dvq=10cos(u/3)+15，dα=5sin(u/2)+3,dω=cos(u/5)+0.5。文中所提方法的觀測器參數(shù)和控制器參數(shù)分別取為：K1=diag(10,10,10),k2=1,kv=1.5,η1=2,η2=2,η3=4,τ1=0.1,τ2=0.1。

圖2～圖3給出了標(biāo)稱情況存在未建模動態(tài)的仿真結(jié)果。當(dāng)導(dǎo)彈存在30%的氣動參數(shù)攝動和外部干擾情況時，其仿真結(jié)果在圖4～圖5給出，導(dǎo)彈依然實現(xiàn)了精確打擊目標(biāo)。兩種制導(dǎo)方法在各種參數(shù)攝動以及外部擾動情況下的脫靶量和攔截時間統(tǒng)計結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，本文提出基于SMO的輸出反饋IGC方法達(dá)到了脫靶量小于0.1 m，打擊精度高于文獻(xiàn)[8]中基于高增益觀測器的制導(dǎo)方法。PSFBC方法由于基于高增益觀測器在初始時刻將較大的干擾估計誤差引入了控制器設(shè)計中，同時其估計誤差只能漸近收斂于一個小領(lǐng)域，因此不能完全抵消干擾和不確定性對系統(tǒng)的影響。而本文提出的方法，因為滑模觀測器精確估計了未知狀態(tài)和干擾，提高了系統(tǒng)的魯棒性。標(biāo)稱情況下導(dǎo)彈對目標(biāo)的跟蹤軌跡在圖2(a)中給出,圖2(b)為兩種方法的舵偏變化曲線。由于在初始時刻，高增益觀測器在控制器中引入了較大的干擾估計誤差，因此HOPFC算法的舵偏指令偏差較大且達(dá)到飽和，而本文采用方法所需要的舵偏角較小，且過渡過程的動態(tài)響應(yīng)更平緩。到了快接近目標(biāo)時，兩種方法的導(dǎo)彈與目標(biāo)碰撞角度不同，導(dǎo)致最后視線角速度的發(fā)散方向不同，因此，舵偏指令最后時刻差異明顯。圖3和圖5給出了滑模觀測器對未知狀態(tài)Vq和干擾的估計效果，實現(xiàn)了各觀測誤差收斂到零。

5 結(jié) 論

本文提出的方法拓展了基于滑模觀測器和反步算法的制導(dǎo)控制一體化算法的工程適用范圍，對于部分狀態(tài)無法獲取的導(dǎo)彈也可實現(xiàn)制導(dǎo)控制一體化設(shè)計，精確打擊目標(biāo)。文中嚴(yán)格證明了新型SMO的有限時間收斂特性和整個IGC系統(tǒng)的有界穩(wěn)定。仿真結(jié)果表明,導(dǎo)彈可以快速精確擊中目標(biāo)，系統(tǒng)具有較好的魯棒性、動態(tài)性能和制導(dǎo)精度。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 薛文超，黃朝東，黃一. 飛行制導(dǎo)控制一體化設(shè)計方法綜述[J]. 控制理論與應(yīng)用， 2013, 30(12): 1511-1520. [Xue Wen-Chao，Huang Chao-Dong，Huang Yi. Design methods for the integrated guidance and control system[J]. Control Theory and Applications, 2013, 30(12): 1511-1520.]

[2] Xin M,Balakrishnan S N, Ohlmeyer E J. Integrated guidance and control of missiles withθ-D method[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2006, 14(6): 981-992.

[3] 董朝陽, 程昊宇, 王青. 基于自抗擾的反步滑模制導(dǎo)控制一體化設(shè)計[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2015, 37(7):1604-1610. [Dong Chao-yang, Cheng Hao-Yu, Wang Qing. Backstepping sliding mode control for integrated guidance and control design based on active disturbance rejection[J]. System Engineering and Electronics, 2015, 37(7): 1604-1610.]

[4] Ran M P, Wang Q,Hou D L, et al. Backstepping design of missile guidance and control based on adaptive fuzzy sliding mode control[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2014, 27(3): 634-642.

[5] 齊輝, 張澤, 韓鵬鑫, 等. 基于反演滑?？刂频膶?dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化設(shè)計[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2016, 38(3):618-623.[ Qi Hui, Zhang Ze, Han Peng-xin, et al. Integrated design of missile guidance and control based on back-stepping and sliding mode control[J]. Systems Engineering and Electronics, 2016, 38(3): 618-623.]

[6] 吳云潔, 張聰. 主從編隊反艦導(dǎo)彈末制導(dǎo)段一體化位姿控制[J]. 宇航學(xué)報,2016,37(12):1315-1322. [Wu Yun-jie, Zhang Cong. Integrated control of position and attitude for terminal guidance of leader-follower anti-ship missiles[J]. Journal of Astronautics, 2016, 37(12): 1315-1322.]

[7] 賴超, 王衛(wèi)紅, 熊少鋒. 攔截大機動目標(biāo)的三維制導(dǎo)控制一體化設(shè)計[J]. 宇航學(xué)報, 2017, 38(7):714-722. [Lai Chao, Wang Wei-hong, Xiong Shao-feng. Integrated guidance and control design against highly maneuvering target[J]. Journal of Astronautics, 2017, 38(7):714-722.]

[8] Yan H, Ji H.Guidance laws based on input-to-state stability and high-gain observers[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2012, 48(3): 2518-2529.

[9] 董飛垚，雷虎民，周池軍, 等.導(dǎo)彈魯棒高階滑模制導(dǎo)控制一體化研究[J]. 航空學(xué)報, 2013,34(9):2212-2218. [ Dong Fei-yao, Lei Hu-min, Zhou Chi-jun, et al. Research of integrated robust high order sliding mode guidance and control for missiles[J]. Acta Aeronautical et Astronautics Sinica, 2013, 34(9): 2212-2218. ]

[10] Kalsi K,Lian J, Hui S, et al. Sliding-mode observers for systems with unknown inputs: a high-gain approach[J]. AUTOMA-TICA, 2010, 46(2): 347-353.

[11] Ríos H,Efimov D, Davila J, et al. Non-minimum phase switched systems: HOSM-based fault detection and fault identification via Volterra integral equation[J]. International Journal of Adaptive Control & Signal Processing, 2013, 28(12): 1372-1397.

[12] Floquet T, Edwards C, Spurgeon S K. On sliding mode observers for systems with unknown inputs[J]. International Journal of Ada-ptive Control & Signal Processing, 2007, 21(8-9): 638-656.

[13] Tan C P,Crusca F, Aldeen M. Extended results on robust state estimation and fault detection[J]. AUTOMATICA, 2008, 44(8): 2027-2033.

[14] Bejarano F J. Partial unknown input reconstruction for linear systems[J]. AUTOMATICA, 2011, 47(8): 1751-1756.

[15] Wang X, Tan C P, Zhou D. A novel sliding mode observer for state and fault estimation in systems not satisfying matching and minimum phase conditions[J]. AUTOMATICA, 2017, 79: 290-295.

[16] Wei X J,Guo L. Composite disturbance observer based control and terminal sliding mode control for non-linear systems with disturbances[J]. International Journal of Control, 2009, 82(6): 1082-1098.