■廖慶偉

平面向量問題中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在解題時(shí)，若能適時(shí)地滲透有關(guān)的數(shù)學(xué)思想和方法，則有助于掌握知識(shí)技能，提高解題效率。

一、數(shù)形結(jié)合思想

例 1如圖1所示，在△ABC中，點(diǎn)D，F(xiàn)分 別 是 邊BC，AC的 中 點(diǎn)

圖1

(1)用a，b表示

(2)求證:B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線。

小結(jié)：“數(shù)無(wú)形，少直觀，形無(wú)數(shù)，難入微”。靈活利用向量的“形”的特征，尤其是在解決有關(guān)向量的加法、減法問題時(shí)，抓住幾何特征，可以快速解題。

二、分類討論思想

例 2如圖2，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(4，3)，B(3，-1)，C(1，-2)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

圖2

解：設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)。若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳，B，C，D，則(1-x，-2-y)。由第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，2)。

綜上可知，第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，2)或(6，4)或(0，-6)。

小結(jié)：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)。

三、化歸與轉(zhuǎn)化思想

例 3如圖3，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若的 值 是____。

圖3

小結(jié)：用向量方法解決幾何問題的“三步驟”:①用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如平行、垂直、距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。

四、函數(shù)與方程思想

小結(jié)：本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)。

例5在平面直角坐標(biāo)系x O y中，已知向量 a=(-1，2)，點(diǎn) A(8，0)，B(n，t)，

(1)若⊥a，且||=5||，求。

(2)若與向量a共線，當(dāng)k＞4且tsinθ取最大值4時(shí)，求。

解：(1)由題設(shè)知=(n-8，t)。因?yàn)椤蚢，所以8-n+2t=0。 因 為|=|，所 以5×64=(n-8)2+t2=5t2。 由上解得t=±8。當(dāng)t=8時(shí)，n=24；t=-8時(shí)，n=-8。所以=(24，8)或(-8，-8)。

小結(jié)：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及正弦函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)。

五、整體思想

例 6已知非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|=2|a|，則向量a+b與a-b的夾角為____。

解：將|a+b|=|a-b|兩邊平方可得a·b=0，將|a-b|=2|a|兩邊平方可得b2=3a2。所 以 cos〈a+b，a-b〉=又α∈[0，π]，故向量a+b與a-b的夾角為60°。

小結(jié)：本題主要考查向量的夾角的概念，通過(guò)整體代入和整體相約，降低了解題的難度。