王懷文 丁 鵬 馬泉池

(煤炭工業(yè)濟(jì)南設(shè)計(jì)研究院有限公司,山東 濟(jì)南 250031)

1 尖點(diǎn)突變模型

經(jīng)過前人學(xué)者的研究與論證，煤層底板突水與突變理論中的尖點(diǎn)突變模型較為符合。尖點(diǎn)突變模型是突變理論中最簡單且應(yīng)用最廣泛的模型之一。尖點(diǎn)突變亦稱Rienan-Hugonioc點(diǎn)突變，其勢函數(shù)一般由式(1)表達(dá)：

V(x)=x4+ax2+bx

(1)

其中，x為狀態(tài)變量；a，b均為控制變量。

在數(shù)學(xué)角度來評(píng)定一個(gè)系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定的狀態(tài)，須先求出其函數(shù)的極值[1]。求勢函數(shù)V(x)的一階導(dǎo)數(shù)，并使其為零，即：

V′(x)=0

(2)

得到系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，全部臨界點(diǎn)集構(gòu)成的平衡曲面：

4x3+2ax+b=0

(3)

對(duì)于奇點(diǎn)的穩(wěn)定性，可以勢函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)確定，求勢函數(shù)V(x)的二階導(dǎo)數(shù)，并使其為零[6]，得：

V″(x)=12x2+2a=0

(4)

非孤立奇點(diǎn)集需同時(shí)滿足式(3)，式(4)，因此，聯(lián)立兩方程得分支點(diǎn)集的方程：

8a3+27b2=0

(5)

由此可得如圖1所示的平衡曲面和分支曲線圖。

由圖1可見，分支曲線為一半立方拋物線，在原點(diǎn)(0,0)處有一尖點(diǎn)， 式(5)是系統(tǒng)穩(wěn)定與否的判別依據(jù)。當(dāng)8a3+27b2>0時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)8a3+27b2<0時(shí)，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)8a3+27b2=0時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)[2]。

2 煤底板突水的突變模型

根據(jù)王連國教授建立的煤層底板突水突變模型，可以得出煤層底板巖層的水壓應(yīng)力比隨著底板突水阻抗因子及底板導(dǎo)水裂隙發(fā)展因子發(fā)展至突水狀態(tài)的尖點(diǎn)突變模型[3]：

(6)

其中，IP為狀態(tài)變量，為底板隔水層所承受水壓與最小主應(yīng)力σ之比；MR為底板突水阻抗因子，控制變量；Nh1為底板導(dǎo)水裂隙發(fā)展因子，控制變量；M，N為正的系數(shù)；R為單位水壓底板巖層厚度，即底板厚度h與水壓P之比；h1為底板采動(dòng)導(dǎo)水裂隙帶深度。

對(duì)特定的煤層采場而言，其開采前后的底板隔水層厚度與水壓是不變的，但煤層的開采引起圍巖應(yīng)力重新分布，使底板發(fā)生破壞，底板隔水層巖石強(qiáng)度和隔水性能下降，當(dāng)?shù)装甯羲畬铀艿乃畨号c最小主應(yīng)力之比，即IP>1時(shí)，煤層底板便發(fā)生突水[4]。

其分支曲線方程為：

(7)

其中，h1l為臨界采動(dòng)導(dǎo)水裂隙帶深度。當(dāng)h1l

式(6)，式(7)中，M,N為正的系數(shù)。

(8)

(9)

其中，Q點(diǎn)為分支曲線的交點(diǎn)，此點(diǎn)為臨界點(diǎn)，IP=1；RQ為Q點(diǎn)單位水壓底板巖層厚度；h1Q為Q點(diǎn)采動(dòng)導(dǎo)水裂隙帶深度。根據(jù)王連國教授對(duì)大量突水資料的統(tǒng)計(jì)分析，底板巖層h<30 m時(shí),取M=0.153 2，N=0.030 75； 30 m

3 煤底板突水危險(xiǎn)性預(yù)測

表1 6號(hào)煤底板水壓應(yīng)力比突水預(yù)測表

表2 7號(hào)煤底板水壓應(yīng)力比突水預(yù)測表

經(jīng)過對(duì)諸多礦區(qū)的實(shí)際突水情況的驗(yàn)證，式(6)的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際情況吻合，現(xiàn)用于某煤礦下組煤底板突水危險(xiǎn)性的預(yù)測。此煤礦6號(hào)、7號(hào)煤底板大部分區(qū)域隔水層厚度在30 m～60 m之間，因此取M=0.176 8，N=0.015 72。取工作面寬度130 m時(shí)的底板破壞帶深度為h1，由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得h1=16.2 m，代入式(6)計(jì)算水壓應(yīng)力比IP，見表1，表2。該煤礦下組煤由水壓應(yīng)力比得到的突水危險(xiǎn)性分區(qū)見圖2。

通過計(jì)算該煤礦6號(hào)煤底板的水壓應(yīng)力比IP可知，在采區(qū)范圍內(nèi)只有鉆孔9-3,11-3,O2-1的水壓應(yīng)力比IP<1，這幾個(gè)鉆孔附近煤層開采時(shí)突水的可能較小。7號(hào)煤由于底板隔水層厚度減小，使單位水壓底板巖層厚度減小，隨之底板突水阻抗因子MR也減小，結(jié)果顯示大部分區(qū)域會(huì)比較危險(xiǎn)；鉆孔O2-1處由于水壓較小，底板突水阻抗因子MR值較大，因此，結(jié)果顯示危險(xiǎn)性較小。突變理論預(yù)測底板突水結(jié)果與突水系數(shù)法比較吻合，所說明的危險(xiǎn)區(qū)和安全區(qū)相一致。以突變理論預(yù)測底板突水危險(xiǎn)性也為我們提供了一種新的突水預(yù)測的思路，用尖點(diǎn)突變模型來研究煤層底板隔水層水壓應(yīng)力比的發(fā)展規(guī)律是比較合適的，對(duì)煤層底板突水危險(xiǎn)性的預(yù)測也是較為準(zhǔn)確的[7]。

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