王金英，王艷平，齊 爽

WANG Jinying,WANG Yanping,QI Shuang

遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001

Science College,Liaoning University of Technology,Jinzhou,Liaoning 121001,China

1 引言

波蘭科學(xué)家Pawlak于1982年首次提出了粗糙集理論[1]，幾十年來(lái)，粗糙集模型不斷被擴(kuò)展。例如，1990年Dubois等[2]將粗糙集與模糊集相融合，提出了粗糙模糊集和模糊粗糙集的概念。2000年Boixader等[3]給出了模糊集的上下近似。2002—2003年Rizvi[4]和Cornelis等[5]基于粗糙模糊集的概念，分別定義了粗糙直覺模糊集和直覺模糊粗糙集。2008—2009年Zhou等[6-7]利用構(gòu)造性方法和公理化方法，給出了直覺模糊粗糙集的上下近似算子。2010年Zhang[8]建立了區(qū)間值粗糙直覺模糊集模型，并討論了模型的一些性質(zhì)；鞏增泰等[9]建立了覆蓋粗糙直覺模糊集模型，并研究了其不確定性度量。2011年Thomas等[10]研究了格上的粗糙直覺模糊集。2012年Zhang[11]利用直覺模糊關(guān)系和閾值對(duì)，定義了一個(gè)新的粗糙集模型。2013年薛占熬等[12]在模糊近似空間中，結(jié)合直覺模糊等價(jià)關(guān)系，構(gòu)造了新的粗糙近似算子。2014年Huang等[13]結(jié)合多粒度粗糙集和直覺模糊粗糙集，建立了直覺模糊多粒度粗糙集模型；王艷平[14]將變精度粗糙集與直覺模糊集相融合，建立了變精度粗糙直覺模糊集模型。2015年Liu等[15]采用直覺模糊集和粗糙集的思想和方法，構(gòu)建了一種新的直覺模糊粗糙集模型。2016年薛占熬等[16]構(gòu)建了新的覆蓋粗糙直覺模糊集和新的覆蓋粗糙區(qū)間值直覺模糊集兩種模型。上述文獻(xiàn)的工作都是著眼于將Pawlak粗糙集模型中的經(jīng)典集合推廣到其他各種模糊集合，或者將Pawlak粗糙集模型中的經(jīng)典等價(jià)關(guān)系推廣到模糊關(guān)系、直覺模糊關(guān)系、覆蓋等。

粗糙集理論的本質(zhì)思想是在一定的知識(shí)?？臻g中，用一對(duì)可定義的上、下近似集來(lái)近似描述邊界模糊的目標(biāo)集合。隨著知識(shí)粒度的減小，即人們對(duì)事物認(rèn)知的加深，下近似集會(huì)逐步增大，而上近似集會(huì)逐步減小，從而使粗糙集的精度隨之增大，由此可以更準(zhǔn)確地描述目標(biāo)集合。然而，在短時(shí)間內(nèi)，人們對(duì)事物的認(rèn)知不容易有較大的改進(jìn)，那么在知識(shí)粒度不變的情況下，能否得到目標(biāo)集合更好的近似集，即提高近似集的精度，并且增加近似集和目標(biāo)集合之間的相似度，是一個(gè)值得深入探討的問(wèn)題。對(duì)此，2012年張清華等人[17]針對(duì)Pawlak粗糙集，利用當(dāng)前知識(shí)空間中的知識(shí)粒，構(gòu)建了目標(biāo)集合的近似集，并分析其近似集的優(yōu)越性；2015年張清華等人[18]在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上，針對(duì)Pawlak粗糙模糊集，分別給出了目標(biāo)集合的模糊近似集和近似精確集。盡管文獻(xiàn)[17-18]都是在當(dāng)前知識(shí)粒度不變的情況下，構(gòu)建了目標(biāo)集更好的近似集，但它們都是用單一的集合來(lái)近似目標(biāo)集，并沒有對(duì)原有的粗糙集和粗糙模糊集進(jìn)行優(yōu)化。為此，本文針對(duì)Pawlak近似空間中直覺模糊集的近似問(wèn)題，借鑒文獻(xiàn)[17-18]的思想，從另外的一個(gè)角度，利用直覺模糊粗糙隸屬函數(shù)，構(gòu)造了比現(xiàn)有粗糙直覺模糊集模型近似程度更好的一對(duì)上、下近似算子，從而為粗糙直覺模糊集模型在不確定性推理中的應(yīng)用提供更好的理論基礎(chǔ)。

2 相關(guān)基本知識(shí)

為討論方便，首先給出相關(guān)的基本概念和性質(zhì)。

定義1[19]設(shè)U是一非空集合，稱

為U上的直覺模糊集，其中，?x∈U，μA(x)∈[0,1]和vA(x)∈[0,1]分別為U中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，且滿足條件0≤μA(x)+νA(x)≤1，?x∈U 。

在下文中，記IF(U)為論域U上直覺模糊集的全體。在不引起混淆的情況下，{＜x,1,0＞|x∈U}簡(jiǎn)記為U ，{＜x,0,1＞|x∈U}簡(jiǎn)記為?。

定義2[19]設(shè)U是一個(gè)非空經(jīng)典集合，A,B∈IF(U)，規(guī)定序及運(yùn)算如下：

（1）A?B當(dāng)且僅當(dāng) μA(x)≤μB(x)且νA(x)≥νB(x)，?x∈U；

（2）A=B 當(dāng)且僅當(dāng) μA(x)=μB(x)且 νA(x)=νB(x)，?x∈U；

（3）～A={＜x,νA(x),μA(x)＞|x∈U}。

定義3[4]設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對(duì)?A∈IF(U)，A關(guān)于(U,R)的下近似(A)和上近似(A)定義為U上的一對(duì)直覺模糊集，對(duì)?x∈U，有

其中，[x]R={y∈U|(x,y)∈R}表示 x所在的R等價(jià)類，序?qū)?A),(A))稱為粗糙直覺模糊集。若(A)=(A)，則稱A是可定義的。

定義4[20]設(shè)A∈IF(U)，定義A的基數(shù)為：

定義5[21]設(shè)(U,R)是Pawlak近似空間，對(duì)?A∈IF(U)，則A的粗糙隸屬函數(shù)R(A):IF(U)→IF(U)定義為：

定理1[21]設(shè)(U,R)是Pawlak近似空間，直覺模糊集的粗糙隸屬函數(shù)具有如下性質(zhì)：

（1）?A,B∈IF(U)，若 A?B，則 R(A)?R(B)；

（2）若 A∈IF(U)，則 R(～A)=～R(A)。

由于直覺模糊集A的粗糙隸屬函數(shù)R(A)為一直覺模糊集，表示對(duì)象x隸屬于直覺模糊集A的不確定程度，同一等價(jià)類中的對(duì)象其粗糙隸屬度、非隸屬度相等，因此有如下結(jié)論：

定理2設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對(duì) ?A∈IF(U)，有

證明（1）因?yàn)?/p>

所以

（2）因?yàn)?/p>

于是有

所以

即

定理2表明直覺模糊集A的粗糙隸屬函數(shù)R(A)為一可定義的直覺模糊集，且介于直覺模糊集A的上、下近似之間。

3 改進(jìn)的粗糙直覺模糊集及其性質(zhì)

在Pawlak近似空間中，直覺模糊集A的下近似算子與上近似算子均為直覺模糊集。對(duì)象x關(guān)于下近似(A)的隸屬度為[x]R中所有元素隸屬度的最小值，非隸屬度為[x]R中所有元素非隸屬度的最大值；對(duì)象x關(guān)于上近似(A)的隸屬度為[x]R中所有元素隸屬度的最大值，非隸屬度為[x]R中所有元素非隸屬度的最小值；對(duì)象x關(guān)于粗糙隸屬函數(shù)R(A)的隸屬度為[x]R中所有元素隸屬度的平均值，非隸屬度為[x]R中所有元素非隸屬度的平均值。于是，用等價(jià)類中的最大值或最小值來(lái)近似目標(biāo)集合有時(shí)顯然不夠精確，那么，能否利用[x]R中所有元素隸屬度的平均值以及非隸屬度的平均值來(lái)構(gòu)造目標(biāo)集合的近似集呢？從直觀上看，這種近似應(yīng)該更趨合理，為此本文建立如下的模型。

定義6設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對(duì)?A∈IF(U)，A關(guān)于(U,R)的改進(jìn)的下近似(A)和上近似(A)定義為U上的一對(duì)直覺模糊集合，對(duì)?x∈U，有

:IF(U)→IF(U)和:IF(U)→IF(U)分別稱為改進(jìn)的直覺模糊下近似算子和上近似算子。序?qū)?(A),(A))稱為改進(jìn)的粗糙直覺模糊集。若(A)=(A)，則稱A是可定義的。

定理3設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對(duì)?A,B∈IF(U)，改進(jìn)的下近似(A)和上近似ˉ(A)算子具有如下性質(zhì)：

證明（1）由定理2和定義6，顯然成立；

（2）因?yàn)?/p>

所以

同理可證：。

（3）若 A?B，則有

于是

進(jìn)一步可得：

又因?yàn)槎x6等價(jià)于：

下面，分情況討論：

所以

所以

所以

綜上①②③，有。

同理可證：。

（4）由于，于是根據(jù)（3）有

所以

同理可證：。

需要指出的是不一定成立。

定義7設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對(duì)?A∈IF(U)，定義A關(guān)于(U,R)的近似精度為：

當(dāng)(A)=? 時(shí)，約定αR(A)=1。顯然，0≤αR(A)≤1。若A是可定義的，則αR(A)=1。

如果用表示改進(jìn)的粗糙直覺模糊集近似集合A的近似精度，那么有下面的結(jié)論。

定理4設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對(duì) ?A∈IF(U)，有

證明根據(jù)定理3，可知

又由定義2和定義4，易知

所以

可見，用改進(jìn)的粗糙直覺模糊近似算子來(lái)近似直覺模糊集A時(shí)，其近似精度會(huì)增大。

接下來(lái)，討論改進(jìn)的粗糙直覺模糊近似算子與直覺模糊集A的相似度情況?，F(xiàn)有的直覺模糊集各種形式的相似度公式[22]已有很多類型，這里不再贅述。為了下文中定理證明以及例題計(jì)算的簡(jiǎn)便，本文采用下面的相似度計(jì)算公式。

設(shè)U={x1,x2,…,xn}，對(duì)?A,B∈IF(U)，A與 B之間的相似度公式為：

引理1[18]設(shè)x1,x2,…,xn是n個(gè)實(shí)數(shù)，令則當(dāng)時(shí)，y取得最小值。

定理5設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對(duì) ?A∈IF(U)，有

證明由相似度計(jì)算公式，得

根據(jù)定義5和引理1，容易得到：

于是

所以

同理可證，S(A,(A))≥S(A,(A))。

定理5表明，相比文獻(xiàn)[4]中的粗糙直覺模糊近似算子，本文構(gòu)造的改進(jìn)的粗糙直覺模糊近似算子與直覺模糊集A有更好的相似度，因而能夠更準(zhǔn)確地近似描述直覺模糊集A。

下面通過(guò)一個(gè)具體的算例來(lái)說(shuō)明改進(jìn)的粗糙直覺模糊近似算子的求法，并驗(yàn)證上述性質(zhì)的正確性。

例1設(shè)論域U={x1,x2,…,x7}，R為U上的等價(jià)關(guān)系，U/R={X1,X2,X3}，其中X1={x1,x2,x3}，X2={x4,x5}，X3={x6,x7}。設(shè)A為U上的直覺模糊集，為簡(jiǎn)單起見，用向量形式來(lái)表示：

計(jì)算可得：

（1）比較模型改進(jìn)前后直覺模糊集A的近似精度改進(jìn)前：

其中，

改進(jìn)后：

可見改進(jìn)后模型的近似精度比改進(jìn)前有了很大的提高。

（2）比較模型改進(jìn)前后近似算子與直覺模糊集A的相似度

改進(jìn)前：

改進(jìn)后：

可見改進(jìn)后模型的近似算子與直覺模糊目標(biāo)集合的貼近度更大。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于直覺模糊集的粗糙隸屬函數(shù)構(gòu)建了一個(gè)改進(jìn)的粗糙直覺模糊集模型，該模型中新的上、下近似算子既依賴于同一等價(jià)類中元素對(duì)目標(biāo)集合的隸屬度、非隸屬度的最大值和最小值，也與等價(jià)類中元素對(duì)目標(biāo)集合的隸屬度、非隸屬度的平均值有關(guān)，因此，它能更好地接近目標(biāo)集合。下一步，一方面可以考慮將本文的方法推廣到其他各種擴(kuò)展的粗糙模糊集模型，如粗糙區(qū)間值模糊集、粗糙區(qū)間直覺模糊集等；另一方面，可以利用本文改進(jìn)的粗糙直覺模糊集模型，實(shí)現(xiàn)直覺模糊信息系統(tǒng)的屬性約簡(jiǎn)，對(duì)其應(yīng)用進(jìn)行拓展研究。

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