肖子涵，耿秀麗，徐士東

XIAO Zihan,GENG Xiuli,XU Shidong

上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093

Business School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China

1 引言

隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和環(huán)境的復(fù)雜性加劇，規(guī)劃、戰(zhàn)略等決策問題需要大量人員共同參與決策過程。在實(shí)際決策過程中，由于事物本身的模糊性、決策者自身的局限性和主觀性等特征，決策者很難對決策對象進(jìn)行精確的評價，因此，不確定性大群體決策問題越來越受到人們的重視。

文獻(xiàn)[1]針對決策偏好為區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)的大群體決策沖突測度問題，提出了聚集沖突測度模型并集結(jié)為群體沖突測度模型，然后應(yīng)用于大群體偏好集結(jié)。文獻(xiàn)[2]將直覺模糊熵與TOPSIS相結(jié)合確定綜合權(quán)重，應(yīng)用于應(yīng)急大群體決策。現(xiàn)有方法只考慮到?jīng)Q策信息的模糊性，卻沒有考慮到隨機(jī)性，而決策信息的隨機(jī)性在不確定性大群體多屬性決策中是普遍存在的。隨機(jī)性是不確定性概念的另一個重要性質(zhì)，云模型是李德毅院士于1995年在概率論和模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上提出的概念，它同時研究了模糊性和隨機(jī)性以及兩者之間的關(guān)聯(lián)性，更好地刻畫了自然語言中概念的不確定性[3-4]，同時也更好地克服了定性與定量轉(zhuǎn)換過程中的信息缺失問題。

云模型間的差異化度量是方案排序和優(yōu)選過程中的重要內(nèi)容。文獻(xiàn)[5]提出一種基于前景理論和云模型的決策方法，在最優(yōu)權(quán)系數(shù)基礎(chǔ)上，通過各方案綜合前景值進(jìn)行排序。文獻(xiàn)[6]利用云模型云滴的隨機(jī)性和穩(wěn)定傾向性的特點(diǎn)，提出了一種云模型云滴機(jī)制的量子粒子群優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[7]針對專家權(quán)重未知，評價值為不確定語言的多準(zhǔn)則群決策問題，基于綜合云，通過Hamming距離求得貼近度大小，進(jìn)而對備選方案進(jìn)行排序。以上研究只是從云模型的數(shù)字特征出發(fā)對云模型進(jìn)行的簡單比較，然而云是由一定數(shù)量符合一定隨機(jī)規(guī)則的云滴構(gòu)成的，這就使得數(shù)字特征都相同的云其云滴也不完全相同，因此單純通過數(shù)字特征的計(jì)算來確定云的距離不夠合理和精確。文獻(xiàn)[8]從云滴分布的角度，基于云滴之間的橫坐標(biāo)差值，提出云的相似度算法。文獻(xiàn)[9]提出基于云模型最大最小貼近度和算術(shù)平均最小貼近度的兩種云的相似度算法。以上研究只是通過云滴的橫坐標(biāo)比較和度量來進(jìn)行相似度計(jì)算，沒有考慮云滴縱坐標(biāo)對計(jì)算結(jié)果的影響，使得計(jì)算結(jié)果不夠精確合理，基于此，本文通過計(jì)算云滴的距離，并基于云的距離測度對云的相似度算法進(jìn)一步改進(jìn)，提出了一種改進(jìn)的云相似度算法，采用云的相似度來實(shí)現(xiàn)云模型間的差異化度量并最終實(shí)現(xiàn)方案排序。

專家權(quán)重的確定是大群體決策中的又一關(guān)鍵問題。在專家權(quán)重確定過程中，由于專家具有不同的知識、經(jīng)歷和偏好，應(yīng)該首先對專家進(jìn)行聚類。由于所提供評價信息存在差異性，因此聚類后專家評價信息的一致性程度越高表示該小群體越重要。文獻(xiàn)[10]針對決策者主觀權(quán)重已知，提出一種通過計(jì)算專家個體決策結(jié)果與群體決策結(jié)果的偏差量并結(jié)合熵理論求得專家的客觀權(quán)重的權(quán)重調(diào)整算法。文獻(xiàn)[11]利用二元語義集成算子計(jì)算屬性的主觀權(quán)重，基于最小偏差確定屬性客觀權(quán)重，主客觀相結(jié)合解決屬性值和屬性權(quán)重信息均以語言評價信息形式給出的多屬性群決策問題。本文針對已知專家聚類的大群體決策問題，研究基于小群體權(quán)重的多屬性決策問題，假設(shè)小群體中專家無差別，提出主客觀相結(jié)合確定小群體權(quán)重的方法，主觀權(quán)重由決策者根據(jù)小群體的重要度來確定，客觀權(quán)重由基于對各決策指標(biāo)評價信息的一致性分析來確定。

本文提出基于云模型的大群體決策方法，首先采用云模型將專家的對備選方案的語言評價值進(jìn)行云量化；然后采用決策者主觀確定和一致性分析相結(jié)合的主客觀權(quán)重確定方法確定小群體權(quán)重，合成得到方案綜合云；最后基于云的距離測度提出了一種改進(jìn)的云相似度算法，通過云的相似度算法比較各方案綜合云并最終實(shí)現(xiàn)方案的排序。

2 基于云模型的決策信息轉(zhuǎn)化

2.1 云模型的基本概念

李德毅院士在1995年提出了一種能將定性語言值轉(zhuǎn)化為數(shù)值描述的不確定定量模型——云模型[12]，該模型將模糊性和隨機(jī)性結(jié)合在一起，構(gòu)成定性和定量之間的映射。

定義1[13]設(shè)U是一個數(shù)值表示的定量論域，C是論域U上的定性概念，存在定量值x∈U是定性概念C上的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，且對C的隸屬度μ(x)∈[0 ,1]是一個具有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)，即 μ:U→[0 ,1]，?x∈U ，x→μ(x )，則隸屬度 μ(x)在論域U上的分布簡稱為云，記為C(U )，且每一個(x,μ(x))稱為一個云滴。

云模型用期望Ex，熵En，超熵He來表示定性的概念，其中Ex表示定性語言概念論域的中心值，熵En代表定性概念不確定度的度量，超熵He代表熵的離散程度，因此，也將云記為C(Ex,En,He)[14]。

定義2[15]設(shè)在論域U中有n朵基云{C1(Ex1,En1,He1)，C2(Ex2,En2,He2),…,Cn(Exn,Enn,Hen)}，可將n朵云集成一朵綜合云C(Ex,En,He)。

其中λ=(λ1,λ2,…,λn)為 n 朵云權(quán)重值。

2.2 評價語言值轉(zhuǎn)化為云模型

設(shè)決策者對各方案屬性的語言評價等級為n（一般為奇數(shù)），由專家制定有效論域U=[Xmin,Xmax]，利用黃金分割法生成n朵云與相應(yīng)的語言標(biāo)度一一對應(yīng)。一般情況下，中間的一朵云為C0(Ex0,En0,He0)，左右相鄰的云分別為，中間的云用來表示一般或中等的定性概念的完整云，左邊的云是用來表示較差或差等一些定性概念的半降云，右邊的云是用來表示較好或好等一些定性概念的半升云[16]。

在有效論域中可用黃金分割法生成n朵云。黃金分割法生成5朵云的計(jì)算方法如表1所示。

2.3 云的相似度

在文獻(xiàn)[8]提出的云相似度算法基礎(chǔ)上，基于云的距離計(jì)算提出改進(jìn)的云相似度算法。

輸入：兩個云模型C1=(Ex1,En1,He1)、C2=(Ex2,En2,He2)和云滴數(shù)n。

表1 黃金分割法生成云的計(jì)算方法

輸出：兩個云模型間的相似度Sim(C1,C2)。

步驟1兩朵云C1=(Ex1,En1,He1)、C2=(Ex2,En2,He2)通過云發(fā)生器各生成n個云滴。

步驟2將各自云滴按橫坐標(biāo)從小到大進(jìn)行排序。

步驟3對云滴進(jìn)行篩選，保留落在[Ex-3En,Ex+3En]范圍內(nèi)的云滴。

步驟4設(shè)篩選后的兩朵云的云滴數(shù)分別為n1和n2，假設(shè)n1≥n2，將第一朵云從n1個云滴中隨機(jī)選取n2個云滴，對云滴按橫坐標(biāo)從小到大進(jìn)行排序，保存在集合Drop1和Drop2中，若n1＜n2，則與此類似。

步驟5將兩個集合Drop1、Drop2按對應(yīng)的次序計(jì)算各云模型C1、C2之間的距離d(C1,C2)：

步驟6基于云的距離計(jì)算結(jié)果計(jì)算云的相似度Sim(C1,C2)：

算法中步驟4是指如果篩選出的云滴數(shù)不一致，以較少的云滴數(shù)作為統(tǒng)一的云滴數(shù)，這是因?yàn)楦鶕?jù)“3σ規(guī)則”在[Ex-3En,Ex+3En]范圍內(nèi)的云滴占據(jù)了所有云滴中的絕大部分，兩個云模型在生成云滴數(shù)同為n的情況下篩選出的云滴數(shù)n1和n2差別較小，可以忽略不計(jì)，因此可以將多余的云滴直接舍棄。步驟5是對兩個云模型距離的求解，它等于兩個云模型已篩選云滴集合Drop1、Drop2中所對應(yīng)云滴間的平均距離。步驟6是在云的距離計(jì)算基礎(chǔ)上對云的相似度進(jìn)行計(jì)算，xmax-xmin表示有效論域的取值范圍，云的距離越大其相似度越小，反之，云的距離越小其相似度越大，特殊的，當(dāng)

上述云的相似度算法是從云滴分布的角度對云模型進(jìn)行的差異性度量，充分考慮了云模型本身的特點(diǎn)，基于云滴的距離來計(jì)算云的相似度比單純采用云滴的橫坐標(biāo)計(jì)算云的相似度更具有合理性和準(zhǔn)確性，因此，計(jì)算結(jié)果也更精確可靠。此外，由于云滴分布的隨機(jī)性，相似度計(jì)算結(jié)果也隨之具有一定的隨機(jī)性。

3 基于專家權(quán)重確定的云模型方案排序

3.1 專家權(quán)重確定方法

設(shè)群體Ω由m個已知小群體G=(G1,…,Gi,…,Gm}構(gòu)成，Q={q1,…,qi,…,qm} 表示 Gi中專家成員數(shù)。存在n個候選方案A=(A1,…,Aj,…,An)可供選擇，每個專家使用語言評價值S=(S1,…,Sl,…,St}對各方案h個評價指標(biāo)C=(C1,…,Ck,…,Ch)進(jìn)行評價，各評價指標(biāo)屬性權(quán)重為。

群體Gi的主觀權(quán)重是決策者根據(jù)群體Ω中多個群體G={G1,…,Gi,…,Gm}的重要程度來確定的，考慮到參與決策的多個群體Gi中專家之間的公平性，主觀權(quán)重可根據(jù)群體Gi中參與決策的專家數(shù)量確定，即表示為：

且

表示群體Gi中專家er對方案Aj第k個屬性的語言評價值，是一個0-1變量，表示群體Gi中專家使用評價值Sl對候選方案各屬性進(jìn)行評價的次數(shù)，表示Sl在小群體內(nèi)部專家評價信息中的分布百分比。則

B={B1,…,Bl,…,Bt} 是評價值 S=(S1,…,Sl,…,St}所對應(yīng)的數(shù)集，分布百分比Pij可表示為：

Var(pij)表示百分比 pij的變化，設(shè)P?是一種特殊的分布百分比，Var(P?)表示理論上百分比的最佳變化，則Var(pij)和Var(P?)的計(jì)算如下：

CIij表示群體Gi中專家對方案Aj的h個屬性評價的一致性，CIij越高表示群體Gi中專家知識結(jié)構(gòu)和利益需求的一致性程度越高。表示群體Gi針對方案Aj的客觀權(quán)重，則CIij和的具體計(jì)算形式如下：

表示群體Gi針對方案Aj的權(quán)重，結(jié)合主觀權(quán)重和客觀權(quán)重，則wij和小群體內(nèi)部專家權(quán)重可表示為：

α、β是參數(shù)，0≤α,β≤1，α+β=1，若α=0，則說明在大群體方案評價中只考慮主觀權(quán)重，若β=0，則說明在大群體方案評價中只考慮客觀權(quán)重。且0≤wij≤

3.2 基于云模型的方案排序

本文所提基于專家權(quán)重確定方法并結(jié)合云模型的大群體決策過程如下：

步驟1獲取并用語言評價值表達(dá)專家對候選方案各屬性的評價信息，利用黃金分割法將群體Gi中專家er對方案Aj第k個屬性的語言評價值轉(zhuǎn)化為云模型

步驟2根據(jù)公式（4）～（14）計(jì)算大群體Ω中m個小群體Gi的內(nèi)部專家權(quán)重。

步驟3在云決策矩陣的基礎(chǔ)上，根據(jù)公式（15）對方案Aj中h個屬性的云模型集結(jié)為

步驟4結(jié)合專家權(quán)重，根據(jù)公式（16）對云模型二次集結(jié)為

步驟5令C?=(E x?,En?,He?) 為最優(yōu)云，依據(jù)本文所提云的相似度算法計(jì)算Cj與C?的相似度Sim(Cj,C?)，按相似度大小對備選方案進(jìn)行排序。

4 算例分析

隨著科技的進(jìn)步和發(fā)展，一系列智能設(shè)備的興起在給人們生活帶來極大便利的同時也正在改變著人們傳統(tǒng)的生活方式。智能手環(huán)是一種具有代表性的可穿戴智能設(shè)備，它可以用來監(jiān)測個人的運(yùn)動狀態(tài)和簡單生理指標(biāo)，幫助人們制定運(yùn)動計(jì)劃，還可以與智能手機(jī)互聯(lián)，對重要信息進(jìn)行提示，因此深受用戶的喜愛。

某企業(yè)是國內(nèi)一家新興的智能終端設(shè)備研發(fā)與制造企業(yè)。為了更好地保證其設(shè)計(jì)產(chǎn)品的競爭力，針對某款智能手環(huán)，從屏幕尺寸(C1)、操作方式(C2)、防水級別(C3)、信息提示類型(C4)、待機(jī)時長(C5)五方面制定了3個備選設(shè)計(jì)方案，其具體參數(shù)如表2所示?，F(xiàn)采用本文所提方法對備選設(shè)計(jì)方案進(jìn)行排序并最終確定出最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。

表2 備選設(shè)計(jì)方案指標(biāo)參數(shù)

企業(yè)從年紀(jì)為 G1：20～30歲、G2：30～40、G3：40～50歲研發(fā)人員中分別抽取人數(shù)為Q={q1,q2,q3}={15，9，6}組成了30人的專家組對備選設(shè)計(jì)方案進(jìn)行評價。預(yù)先設(shè)定的評估語義集合為：S={S1,S2,S3,S4,S5}={VG，G，F(xiàn)，P，VP}={非常好，好，一般，差，非常差}，決策者對各方案各指標(biāo)的評價數(shù)據(jù)如表3所示。根據(jù)本文所提的基于云模型的不確定性大群體多屬性決策方法對上述備選方案進(jìn)行選擇，具體過程如下。

表3 決策信息表

步驟1給定有效論域U=[Xmin,Xmax]=[0，100]，He0=0.1，根據(jù)表1生成5朵云{C+2,C+1,C0,C-1,C-2}與語言評價集 S={VG，G，F(xiàn)，P，VP}對應(yīng)，其數(shù)字特征如表4所示。則表3決策信息表可轉(zhuǎn)化為云決策矩陣

表4 5朵云數(shù)字特征

步驟2設(shè)定 B=(B1,…,Bl,…,Bt}={1，0.8，0.6，0.4，0.2}是語言評價值 S={VG，G，F(xiàn)，P，VP}所對應(yīng)的數(shù)集，根據(jù)公式（4）～（12）計(jì)算主觀權(quán)重和客觀權(quán)重。

在主客觀權(quán)重的基礎(chǔ)上引入α=0.5，β=0.5，即主客觀權(quán)重同等重要，根據(jù)公式（13）、（14）計(jì)算大群體Ω中m個小群體Gi針對方案Aj的權(quán)重wij和小群體內(nèi)部專家權(quán)重。

步驟3在云決策矩陣(,,)的基礎(chǔ)上，已知 λ=（0.20，0.30，0.12，0.13，0.25），跟據(jù)公式（15）對方案Aj中5個屬性的云模型集結(jié)為如表5所示。

表5 按屬性集結(jié)后的云模型

步驟4結(jié)合小群體內(nèi)部專家權(quán)重，根據(jù)公式（16）對云模型二次集結(jié)為 Cj(Exj,Enj,Hej)。

步驟5利用MATLAB生成方案Aj云模型的云圖如圖1～3所示，令 C*=（100，10.31，0.26）為方案最優(yōu)云，計(jì)算Cj與C*的相似度sim(Cj,C*)分別為：Sim(Cj,C*)={0.357 3，0.599 5，0.534 0}。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，備選方案的排序?yàn)椋篈2?A3?A1，所以方案A2為最優(yōu)方案，可以投入生產(chǎn)。

圖1 方案A1的云圖

圖2 方案A2的云圖

圖3 方案A3的云圖

5 結(jié)束語

本文針對由多個已知小群體組成的大群體，提出了一種基于云模型的不確定性大群體多屬性決策方法。針對各決策指標(biāo)對應(yīng)的小群體權(quán)重不同的問題，提出了主客觀權(quán)重相結(jié)合的方法確定小群體權(quán)重。所提方法包括三部分：

（1）采用云模型對專家的語義評價信息進(jìn)行量化，從評價語言的模糊性和隸屬度的隨機(jī)性兩方面更好地刻畫了評價過程的不確定性，因此評價結(jié)果也更具有客觀性和準(zhǔn)確性。

（2）在評價信息的基礎(chǔ)上，采用決策者主觀確定和一致性分析相結(jié)合的主客觀專家權(quán)重確定方法確定小群體權(quán)重，在此基礎(chǔ)上考慮均等的小群體內(nèi)部專家權(quán)重，結(jié)合屬性權(quán)重和專家權(quán)重二次集成生成綜合云。

（3）從云滴分布的層面來對云的相似性和差異性進(jìn)行度量，提出基于云距離測度的云相似度算法并用于確定備選方案與最優(yōu)云的相似度，進(jìn)而確定方案的排序，使方案的比較更加準(zhǔn)確合理。

所提方法已用于某企業(yè)智能手環(huán)方案的評價分析，通過實(shí)證分析，驗(yàn)證了所提方法的有效性和可行性。

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