，，，

(1.南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇 南京 210016；2.江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016)

0 引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)是一個(gè)強(qiáng)非線性的復(fù)雜系統(tǒng)，在范圍寬廣的飛行包線內(nèi)工作時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)的工作狀態(tài)隨外界的變化而不斷變化。傳統(tǒng)非線性系統(tǒng)控制方法的基本思想為對(duì)非線性模型中的一些穩(wěn)定設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行線性化以獲得對(duì)應(yīng)各個(gè)點(diǎn)的線化模型，然后針對(duì)各線化模型分別設(shè)計(jì)控制器，運(yùn)用擬合或插值的方法將各個(gè)控制器聯(lián)系起來(lái)[1]。在傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂破鞯脑O(shè)計(jì)過(guò)程中，針對(duì)每個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)的控制器能夠滿足控制系統(tǒng)的性能要求，但是難以保證系統(tǒng)的全局控制性能[2]，且對(duì)所選取的設(shè)計(jì)點(diǎn)數(shù)量依賴程度較高。

Saydy等人提出的保護(hù)映射理論可分析參數(shù)化矩陣族和多項(xiàng)式的廣義穩(wěn)定性[3]。參考文獻(xiàn)[4]將保護(hù)映射理論第一次用在飛機(jī)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，通過(guò)目標(biāo)穩(wěn)定區(qū)域的確定來(lái)表示飛行操縱品質(zhì)指標(biāo)。參考文獻(xiàn)[5]將保護(hù)映射理論應(yīng)用在高超聲速飛行器的控制方法設(shè)計(jì)上，使得高超聲速飛行器在大范圍包線內(nèi)工作時(shí)能夠保持穩(wěn)定。

將基于保護(hù)映射理論的控制方法應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制中，可通過(guò)初始控制器直接獲得整個(gè)調(diào)度參數(shù)變化范圍內(nèi)的控制器，能夠解決傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂品椒ㄋ嬖诘碾y以保證全局控制性能問(wèn)題。

1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)LPV模型

航空發(fā)動(dòng)機(jī)的LPV模型為：

(1)

狀態(tài)向量x∈Rn；輸出向量y∈Rm；控制向量u∈RP；調(diào)度參數(shù)向量ρ∈Rj；系數(shù)矩陣A(ρ)，B(ρ)，C(ρ)和D(ρ)中的所有元素與ρ存在函數(shù)關(guān)系。

研究對(duì)象為某型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)，其為雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，并以航空發(fā)動(dòng)機(jī)最主要的控制通道為例進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。文中所采用的發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)均為相似歸一化后的相對(duì)參數(shù)，通過(guò)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)進(jìn)行相似歸一化處理，可以避免各個(gè)物理量之間很大的數(shù)量級(jí)差別而導(dǎo)致建模精度降低。建立線化模型時(shí)，選擇輸入量為主燃燒室的供油量增量ΔWf，輸出量為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速 Δnh增量，狀態(tài)量為低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速增量Δn1和高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速增量Δnh。

(2)

(3)

為了驗(yàn)證所建LPV模型的精度，選擇在任意兩個(gè)轉(zhuǎn)速點(diǎn)(nh=0.974 )處，使LPV模型和非線性模型在相同的階躍輸入下，計(jì)算得到高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線。響應(yīng)結(jié)果如圖1所示。

圖1 高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

由圖1可得，將LPV模型與非線性模型的轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)進(jìn)行比較，跟蹤效果較好。

2 保護(hù)映射理論

矩陣廣義穩(wěn)定性集合S(Ω) 表示它所包含的矩陣在Ω區(qū)域內(nèi)保持穩(wěn)定，即矩陣的所有特征值均在Ω區(qū)域內(nèi)。

定義1[8]：矩陣Rn×n到復(fù)數(shù)域C的映射表示為v。?S表示集合S的邊界，如果矩陣M∈?S(Ω)的充分必要條件為v(M)=0 ,則映射v是S(Ω)的保護(hù)映射，其實(shí)質(zhì)為n×n實(shí)矩陣上的標(biāo)量映射。

如圖2a所示區(qū)域(即Re(z)<α)的保護(hù)映射為：

vα(M)=det(M⊙I-αI⊙I)det(M-αI)

(4)

⊙表示運(yùn)算Bialternate積。

如圖2b所示與虛軸負(fù)半軸夾角為θ的2條射線所組成的區(qū)域的保護(hù)映射為：

vξ(M)=det(M2⊙I+(1-2ξ2)M⊙M)det(M)

(5)

ξ=cosθ。如圖2c所示半徑為ω的圓形區(qū)域的保護(hù)映射為：

vω(M)=

det(M⊙M-ω2I⊙I)det(M-ωI)det(M+ωI)

(6)

圖2 保護(hù)映射的典型區(qū)域

其它區(qū)域的保護(hù)映射表達(dá)式，可以根據(jù)典型區(qū)域通過(guò)相關(guān)的性質(zhì)獲得，例如：設(shè)S(Ω1),S(Ω2),…,S(Ωn)相應(yīng)的保護(hù)映射為v1,v2,…,vn,則S(Ω1∩Ω2…∩Ωn)，則的保護(hù)映射為v=v1v2…vn。

引理[8]：M(x)=M0+xM1+…+xkMk表示矩陣多項(xiàng)式，x為未知的參數(shù)；Mi為已知的常數(shù)矩陣。M(x0)相對(duì)Ω區(qū)域穩(wěn)定,vΩ為S(Ω)的保護(hù)映射，可獲得達(dá)到控制要求的x[x∈(x-,x+)] 最大范圍為：

x-≈sup {x

(若不存在，值為-∞)

(7)

x+≈inf{x>x0:vΩ[M(x)]=0}

(若不存在，值為+∞)

(8)

3 參數(shù)整定算法

3.1 活動(dòng)區(qū)域定義

如圖3a所示的穩(wěn)定集合區(qū)域Ω的定義式為

ΩΩ(α,ξ,ω)=

{λ∈C:Re(λ)≤α,ξ(λ)≥ξ,|λ|≤ω}

(9)

ξ(λ)為λ的阻尼比。

如圖3b所示的不穩(wěn)定集合區(qū)域Ψ的定義式為

ΨΨ(α,ω)={λ∈C:Re(λ)≤α,|λ|≤ω}

(10)

圖3 不同類型的區(qū)域

定義2[8]：矩陣M為Hurwitz穩(wěn)定矩陣，其所有特征值為Λ={λ1,λ2,…,λn}，區(qū)域ΩΛ=Ω(αΛ,ξΛ,ωΛ)，其中，αΛ=max{Re(λi)}ξΛ=min{ξ(λi)} ，ωΛ=max{|λi|}。區(qū)域Ωt=Ω(αt,ξt,ωt)為目標(biāo)區(qū)域，則定義Ωu=Ω(αu,ξu,ωu)，其中，αu=max{αt,αΛ}，ξu=min{ξt；ξΛ}ωu=max{ωt,ωΛ}。

定義38]：矩陣M為Hurwitz穩(wěn)定矩陣，其所有特征值為Λ={λ1,λ2,…,λn}，區(qū)域ΨΛΨ(αΛ,ωΛ)，其中αΛ=max{Re(λi)}，ωΛ=max{|λi|}。區(qū)域Ωt=Ω(αt,ξt,ωt)為目標(biāo)區(qū)域，則定義Ψu=Ψ((αu,ωu)，其中，αu=αΛ，ωu=max{ωt,ωΛ}。

3.2 目標(biāo)區(qū)域增益預(yù)置算法

基于保護(hù)映射理論的目標(biāo)區(qū)域增益預(yù)置算法可根據(jù)任意選擇的初始控制器增益，計(jì)算得到控制器增益向量K，使控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于目標(biāo)區(qū)域Ωt=Ω(αt,ξt,ωt) 內(nèi)。

算法的具體步驟為：

②計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣Acl(Kq)的特征值Λq={λ1,λ2,…}，若Λq?Ωt則跳出循環(huán)。

③根據(jù)Acl(Kq)的穩(wěn)定性來(lái)構(gòu)建新的區(qū)域，若穩(wěn)定，則采用3.1中介紹的定義2構(gòu)建Ωq=Ωu=Ω(αq,ξq,ωq)；若Acl(Kq)不穩(wěn)定，則采用3.1中介紹的定義3構(gòu)建Ωq=Ψu=Ψ(αq,ωq)。

④根據(jù)構(gòu)建的新區(qū)域Ωq和Kq，進(jìn)行如下循環(huán)迭代過(guò)程：

當(dāng)‖Kr-Kr+1‖≤εk(1+‖Kr‖) (εk為一較小的正數(shù))時(shí)，則跳出循環(huán)，令Kq+1=Kr+1；否則，r=r+1，繼續(xù)求解。

⑤ 當(dāng)‖Kq-Kq+1‖≤εk(1+‖Kq‖)時(shí)，循環(huán)結(jié)束，否則，q=q+1，返回到第②步繼續(xù)運(yùn)行。

3.3 單參數(shù)模型控制過(guò)程

設(shè)計(jì)滿足控制性能要求并與調(diào)度參數(shù)ρ∈[ρmin，ρmax]相關(guān)的全局控制器是LPV模型控制器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵?；诒Ｗo(hù)映射理論的單參數(shù)LPV模型的全局控制器設(shè)計(jì)流程如圖4所示。

圖4 單參數(shù)模型控制流程

算法的具體步驟為：

①設(shè)Acl(ρ,K)為閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，K=[Kj](j=1,…,m)為控制系統(tǒng)增益向量。首先，設(shè)ρ=ρ0=ρmin，則控制對(duì)象變?yōu)楣潭▍?shù)的模型。

②利用3.2中的算法求得滿足控制要求的增益向量Ki。

4 控制器設(shè)計(jì)與仿真

4.1 控制器設(shè)計(jì)過(guò)程

采用狀態(tài)反饋控制結(jié)構(gòu)，且為了使閉環(huán)系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)誤差為0，將差值的積分增廣成系統(tǒng)的狀態(tài)量xe。在LPV模型的基礎(chǔ)上，所設(shè)計(jì)的航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 控制器結(jié)構(gòu)

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，最重要的是所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)應(yīng)滿足性能指標(biāo)要求，本文的控制器設(shè)計(jì)指標(biāo)考慮衰減系數(shù)α、阻尼比ξ和自然頻率ω。為保證系統(tǒng)具有良好的性能，確定3個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)分別為α≤-1.7,ω≤8,ξ≥0.85。根據(jù)保護(hù)映射性質(zhì)構(gòu)建目標(biāo)區(qū)域保護(hù)映射為：

vΩt(Acl)=vα(Acl)vξ(Acl)vω(Acl)

(11)

表1 控制器設(shè)計(jì)結(jié)果

根據(jù)所設(shè)計(jì)的控制器計(jì)算不同轉(zhuǎn)速下的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)，其分布圖如圖6所示，可以看出閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)均位于目標(biāo)區(qū)域內(nèi)，達(dá)到了預(yù)期的設(shè)計(jì)目標(biāo)。

圖6 閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)分布

4.2 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器性能，以發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型為被控對(duì)象來(lái)進(jìn)行仿真分析。選取采用傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的在航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制中運(yùn)用較多的PI控制器作為比較對(duì)象，其設(shè)計(jì)方法為：在相對(duì)高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化區(qū)間內(nèi)等間距的10個(gè)點(diǎn)處，通過(guò)遺傳算法[9]整定PI參數(shù)值，最后采用插值的方法將各個(gè)點(diǎn)的控制器聯(lián)系起來(lái)。H=0 km,Ma=0 點(diǎn)的階躍仿真結(jié)果如圖7和圖8所示。在H=6 km,Ma=0.6點(diǎn)采用相同的方法設(shè)計(jì)控制器并進(jìn)行階躍仿真，其仿真結(jié)果如圖9和圖10所示。

圖7 H=0 km,Ma=0處高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)結(jié)果

圖8 H=0 km,Ma=0處高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速大范圍階躍響應(yīng)結(jié)果

由圖7～圖10可以看出，基于保護(hù)映射理論設(shè)計(jì)的增益調(diào)度控制器的控制效果與傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的控制器的控制效果相比，具有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，且對(duì)參考指令信號(hào)的跟蹤迅速且平穩(wěn)。在基于保護(hù)映射理論設(shè)計(jì)的控制器增益的控制下，系統(tǒng)響應(yīng)曲線的調(diào)節(jié)時(shí)間小于2 s， 超調(diào)量小于1%，穩(wěn)態(tài)誤差為0，滿足控制系統(tǒng)性能要求。

圖9 高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)結(jié)果

圖10 高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速大范圍階躍響應(yīng)結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)變?cè)鲆婵刂浦写嬖诘娜挚刂菩阅軉?wèn)題，將基于保護(hù)映射理論的控制方法用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，它是一種綜合設(shè)計(jì)方法，可以自動(dòng)地獲得全局控制器參數(shù)，避免了傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂品椒ㄔ诟髟O(shè)計(jì)點(diǎn)分別設(shè)計(jì)控制器的不足，保證了全局控制性能。在航空發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型上的仿真結(jié)果表明其具有良好的控制效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 姜銳. 航空發(fā)動(dòng)機(jī)線性變參數(shù)控制方法研究[D]. 南京:南京航空航天大學(xué), 2015.

[2] LU B, WU F, KIM S W. Switching LPV control for high performance tactical aircraft[R]. AIAA-2010-7903, 2010.

[3] SAYDY L, ANDRE L T, EYAD H A. Guardian maps and the generalized stability of parametrized families of matrices and polynomials[J]. Mathematics of Control Signals and Systems, 1990, 3(4): 345-371.

[4] SAUSSIE D, SAYDY L, AKHRIF O, et al. Gain scheduling with guardian maps for longitudinal flight control[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 2011, 34(4): 1-15.

[5] 劉夢(mèng)影, 劉燕斌, 肖地波, 等. 高超聲速飛行器應(yīng)用保護(hù)映射的大包線控制律[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2015, 32(11): 1540-1550.

[6] 樊思齊, 李華聰, 樊丁, 等. 航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制[M]. 西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社, 2008.

[7] 馮正平, 孫健國(guó). 航空發(fā)動(dòng)機(jī)小偏差狀態(tài)變量模型的建立方法[J]. 推進(jìn)技術(shù), 2001, 22(1): 54-57.

[8] 李臣亮, 劉燕斌, 彭福軍, 等. 保護(hù)映射理論在火星無(wú)人機(jī)魯棒自適應(yīng)控制的應(yīng)用[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2014, 35(11): 1261-1269.

[9] 劉金琨. 先進(jìn)PID控制MATLAB仿真[M].第3版.北京: 電子工業(yè)出版社, 2011.