■河北省唐山市海港高級(jí)中學(xué) 曹樹聰

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一、計(jì)數(shù)原理

例1 如圖1,用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色,每個(gè)格子涂一種顏色,要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同,則不同的涂色方法共有____種(用數(shù)字作答)。

圖1

解析:采用間接法。根據(jù)乘法原理,對(duì)每一個(gè)格子依次涂色,共有6×5×5×5=750(種),再去掉使用4種顏色的涂色方法數(shù)A46=360(種),則所求的涂色方法數(shù)為750-360=390(種)。

二、排列問(wèn)題

例2 (2017·天津卷)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有____個(gè)。(用數(shù)字作答)

解析:滿足條件的四位數(shù)有兩種情況:一是沒(méi)有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù);二是正好有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)。故共有=1080(個(gè))。

三、組合問(wèn)題

例3 (2017·浙江卷)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,共有____種不同的選法。(用數(shù)字作答)

解析:(方法一)完成這件事情分兩類:第一類,服務(wù)隊(duì)中只有1名女生,先從2名女生中選取1名女生,共有種方法,再?gòu)?名男生中選取3名男生,共有種方法,然后在這已選取的4名學(xué)生中選取1名隊(duì)長(zhǎng),1名副隊(duì)長(zhǎng),共有種方法,因此第一類共有=480(種)選法;第二類,服務(wù)隊(duì)中有2名女生,先從2名女生中選取2名女生,只有1種方法,再?gòu)?名男生中選取2名男生,共有種方法,然后在這已選取的4名學(xué)生中選取1名隊(duì)長(zhǎng),1名副隊(duì)長(zhǎng),共有種方法,因此第二類共有1×=180(種)選法。所以完成這件事情共有480+180=660(種)選法。

(方法二)考慮間接法:所有可能的情況為,其中不含有女生的情況有,所以=840-180=660(種)選法。

四、求二項(xiàng)式展開式的指定項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)

五、求二項(xiàng)式展開式的指定項(xiàng)的系數(shù)

例5 (2017全國(guó)卷Ⅲ)(x+y)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為( )。

A.-80 B.-40 C.40 D.80

解析:(x+y)(2x-y)5=x(2x-y)5+y(2x-y)5,由(2x-y)5展開式·(2x)5-r(-y)r可得,r=3時(shí),x(2x-y)5中x3y3的系數(shù)為×(-1)3=-40;r=2時(shí),y(2x-y)5中x3y3的系數(shù)為×(-1)2=80。故x3y3的系數(shù)為80-40=40,應(yīng)選C。

六、求二項(xiàng)式展開式中符合要求項(xiàng)的個(gè)數(shù)

例6的冪的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有( )

A.3項(xiàng) B.4項(xiàng) C.5項(xiàng) D.6項(xiàng)

解析,故6|(72-5r),即6|r。而r∈[0,24],所以r=0,6,12,18,24。共有5項(xiàng),應(yīng)選C。