■湖北省巴東縣第三高級中學 廖慶偉

一、知識掃描

(一)組合與組合數(shù)

組合:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

組合數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),記作Cmn。

(二)組合數(shù)公式

(三)組合數(shù)的性質(zhì)

溫馨提示:

1.解決排列組合問題,整體分類,局部分步,分類和分步做到不重不漏。

2.在解組合問題時,常會遇到“至多”“至少”“恰有”等詞,要仔細審題,理解其含義。

3.分清是有序還是無序:有序排列,無序組合,排列與組合并存時,一般采用先組合后排列的方法解決。

4.分組問題與分配問題不同。前者組與組之間只要元素個數(shù)相同是不可區(qū)分的;而后者即使元素個數(shù)相同,但因元素不同,仍然是可區(qū)分的,對于分配問題必須先分組后排列。

5.求解排列組合問題的思路:排組分清,加乘明確;有序排列,無序組合;分類相加,分步相乘。

二、題型例析

題型一:對組合概念的理解

例1 判斷下列問題是組合問題還是排列問題:

(1)設集合A={a,b,c,d,e,f},則集合A的子集中含有4個元素的有多少個?

(2)從甲地到乙地的高鐵,共有10個車站,則這條鐵路上共有多少種票價?

(3)某班45人,春節(jié)期間,約好相互通一次電話,共通了多少次電話?

(4)從高二(10)班的10位科代表中選3人參加學校每周一、三、五的社會實踐活動,有多少種選法?

解析:(1)是組合問題。因為子集的個數(shù)與順序無關。

(2)是組合問題。由于甲站到乙站與乙站到甲站的高鐵票價一樣。

(3)是組合問題。因為甲與乙通了一次電話也就是乙與甲通了一次電話,沒有順序區(qū)別。

(4)是排列問題。因為這三個人中,周一去、周三去或周五去,是有順序區(qū)別的。

點評:排列組合的區(qū)別是元素之間的順序問題,元素與順序無關是組合問題,元素與順序有關是排列問題。

題型二:有關組合數(shù)的計算與證明

例2 計算:。

點評:計算化簡含有排列數(shù)、組合數(shù)的式子,要注意排列公式與組合公式的聯(lián)系,靈活運用組合的性質(zhì)。

例3 解不等式

點評:對于與排列組合有關的方程或不等式問題,要用排列數(shù)、組合數(shù)公式,以及組合的性質(zhì)求解時,要注意由Cnm中n∈N*,m∈N*,且n≥m確定m、n的范圍。求解后要驗證所得的結果是否適合題意。

題型三:組合的實際運用

例4 現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張。從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為____。

解析:第一類,含有1張紅色卡片,不同的取法C14C212=264種。

第二類,不含有紅色卡片,不同的取法C312-3C34=220-12=208種。

由分類加法計數(shù)原理知,不同的取法共有264+208=472種。

點評:本題是分配問題。解題時要注意按照正確的順序,還要注意均勻分配與不均勻分配是不同的。

例5 設集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中滿足條件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個數(shù)為( )。

A.130 B.120 C.90 D.60

解析:對于|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1或2或3,下面分三種情況討論。

其一,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1,此時,從x1,x2,x3,x4,x5中任取一個讓其等于1或-1,其余等于0,于是有C15C12=10(種)情況。

其二,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此時,從x1,x2,x3,x4,x5中任取兩個讓其都等于1或都等于-1或一個等于1、另一個等于-1,其余等于0,于是有40(種)情況。

其三,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此時,從x1,x2,x3,x4,x5中任取三個讓其都等于1或都等于-1或兩個等于1、另一個等于-1或兩個等于-1、另一個等于1,其余等于0,于是有=80(種)情況。

綜上知,滿足條件的元素個數(shù)共有10+40+80=130(種),故答案為A。

點評:兩類組合問題的解法:

①“含”與“不含”的問題:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取。

②“至少”、“最多”的問題:解這類題必須重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解。用直接法或間接法都可以求解。通常用直接法分類復雜時,考慮逆向思維,用間接法處理。

題型四:排列組合的綜合運用

例6 12名同學合影,站成了前排4人后排8人,現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排,其他人的相對順序不變,則不同調(diào)整方法的種數(shù)是( )。

解析:要完成這件事,可分兩步走:第一步可先從后排8人中選2人共有種;第二步可認為前排放6個座位,先選出2個座位讓后排的2人坐,由于其他人的順序不變,所以有種坐法。綜上,由分步乘法計數(shù)原理知不同調(diào)整方法種數(shù)為種。故選C。

點評:(1)應熟記兩個計數(shù)原理、排列組合數(shù)公式及性質(zhì)。

(2)區(qū)分某一問題是排列還是組合問題,關鍵看選出的元素與順序是否有關。若交換某兩個元素的位置對結果產(chǎn)生影響,則是排列問題;若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響,則是組合問題。也就是說排列問題與選取元素的順序有關,組合問題與選取元素的順序無關。

例7 有5名同學參加唱歌、跳舞、下棋三項比賽,每項比賽至少有一人參加,其中甲同學不能參加跳舞比賽,則參賽方案的種數(shù)為( )。

A.112 B.100 C.92 D.76

解析:甲同學有2種參賽方案,其余四名同學的參賽情況為:

若只參加甲參賽后剩余的兩項比賽,則將四名同學先分為兩組,分組方案有,再將其分到兩項比賽中去,共有分配方案數(shù)為7×A22=14;

若剩下的四名同學參加三項比賽,則將其分成三組,分組方法數(shù)是C24,分到三項比賽中去的分配方法數(shù)是

根據(jù)兩個基本原理共有方案數(shù)2×(14+36)=100(種)。

點評:(1)把握求解排列組合問題及應用題的基本策略:①解排列組合問題應遵循的原則:先特殊后一般,先選后排,先分類后分步。②常用策略:(a)相鄰問題捆綁法;(b)不相鄰問題插空法;(c)定序問題屬組合;(d)至少或至多問題間接法;(e)選排問題先取后排法;(f)局部與整體問題排除法;(g)復雜問題轉化法。

(2)區(qū)分排列與組合的關鍵是看元素是否與順序有關,“定序”為組合,“有序”為排列,“分堆”為組合,“分配”為排列。