潘 偉，徐振國(guó)

(1.牡丹江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 牡丹江 157011；2.國(guó)家科技基礎(chǔ)條件平臺(tái)中心，北京 100862)

0 引言

利用半開(kāi)L-集和半閉L-集在L-空間中引入S1-連通性，如一般拓?fù)鋵W(xué)中的連通性一樣，它也具有許多理想的性質(zhì).特別地，著名的樊畿定理對(duì)于S1-連通性也成立.此外，還討論了連通性和S1-連通性之間的關(guān)系.

引理1[3]設(shè)A,B∈LX且AB，如果1∈J(L)，則A′∨B≠1.

定義1[1]設(shè)(X,τ)是L-拓?fù)淇臻g，G∈LX，則

(1)G稱(chēng)為半開(kāi)L-集，如果G≤cl(int(G))；

(2)G稱(chēng)為半閉L-集，如果int(cl(G))≤G.

定義2[1]設(shè)(X,τ)是L-拓?fù)淇臻g，G∈LX，定義

intS(G)=∨{D∈LX|D≤G,D是半開(kāi)的}；

clS(G)=∧{D∈LX|D≥G,D是半閉的}.

1 S1-連通性

本節(jié)借助于S-分離L-集來(lái)研究S1-連通性.

定理1設(shè)(X,τ)是L-拓?fù)淇臻g且A,B∈LX，如果A和B是S-分離的且C≤A,D≤B，那么C和D同樣是S-分離的.

定理2設(shè)(X,τ)是L-拓?fù)淇臻g且G∈LX，則下列情況等價(jià)：

(1)G是S1-連通的；

(2)不存在2個(gè)半閉L-集A,B，使得

(3)不存在2個(gè)半閉L-集A,B，使得

證明(1)?(2).假設(shè)G是S1-連通的且存在2個(gè)半閉L-集A,B使得

(2)?(3).假設(shè)存在2個(gè)半閉L-集A,B使得GA,G則事實(shí)上，如果那么由(A∨B)∧G=(A∧G)∨(B∧G)=G可知B∧G=G，這說(shuō)明G≤B，這與GB相矛盾.同理這又與(2)矛盾.

定理3設(shè)(X,τ)是L-拓?fù)淇臻g，G∈LX,則下列結(jié)論等價(jià)：

(1)G是S1-連通的；

(3)如果A,B∈LX是S-分離的且G≤A∨B，那么G≤A或G≤B.

推論2J(LX)中每個(gè)元是S1-連通的.

定理4設(shè)(X,τ)是L-拓?fù)淇臻g且G是S1-連通的，如果G≤H≤clS(G)，那么H是S1-連通的.

證明假設(shè)H不是S1-連通的，則存在2個(gè)半閉L-集A和B使得

定理5設(shè)(X,τ)是L-拓?fù)淇臻g，G和H都是S1-連通的，如果G和H不是S-分離的，則G∨H是S1-連通的.

證明假設(shè)G∨H不是S1-連通的,則存在2個(gè)半閉L-集A,B使得

由G∨HA有GA或HA.如果GA,那么由G的S1-連通性有G≤B.所以HB,H≤A.這表明于是類(lèi)似地，這表明G和H是S-分離的，矛盾. 】

所以存在r,s∈I使得

這說(shuō)明Gr∨Gs∨Gj不是S1-連通的.由定理5得到矛盾. 】

定理7設(shè)(X,τ)是L-拓?fù)淇臻g且G∈LX,則G是S1-連通的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)G中任意2個(gè)非零的∨-既約元a,b,存在S1-連通的L-集H,使得a,b≤H≤G.

證明必要性是明顯的，下面證充分性.假設(shè)G在(X,τ)中不是S1-連通的,則存在2個(gè)半閉L-集A,B∈LX，使得GA,G取兩個(gè)非零的∨-既約元a,b≤G使得aA,bB.設(shè)H是S1-連通的L-集且滿(mǎn)足a,b≤H≤G,則有HA,H這表明H不是S1-連通的，矛盾. 】

證明假設(shè)f→(G)在(Y,τ2)中不是S1-連通的，則存在2個(gè)半閉L-集A,B∈MY使得f→(G)A,f→(G)B,f→(G)所以Gf←(A),G這表明G不是S1-連通的，矛盾.于是f→(G)在(Y,τ2)也是S1連通的. 】

下面將樊畿定理推廣到L-拓?fù)淇臻g.文獻(xiàn)[4]引入了遠(yuǎn)域映射的概念，類(lèi)似地，給出下述定義.

證明?.假設(shè)G不是S1-連通的,則存在2個(gè)半閉L-集A,B∈LX使得

取a,b∈J(G)使得a≤A和b≤B.因?yàn)閷?duì)于J(G)中任意有限個(gè)元x1=a,x2,…,xn=b,xi≤A和xi≤B(i=1,2,…,n)有且只有一個(gè)是真的，所以P(xi)=B或者P(xi)=A.但P(x1)=B,P(xn)=A，因此存在j(1≤j≤n-1)使得P(xj)=B，P(xj+1)=A.這表明G≤A∨B=P(xj)∨P(xj+1)，產(chǎn)生矛盾.

則對(duì)任意的c∈φ及任意的d∈ψ，有G≤P(c)∨P(d).設(shè)

A=∧{P(c)|c∈φ},B=∧{P(d)|d∈ψ},

則

顯然，a和a可連接，于是a∈φ.因?yàn)閍和b不可連接，所以b∈ψ，因此GA,GB.此外，明顯有且由A,B的定義可知A,B是半閉L-集，這說(shuō)明G不是S1-連通的，矛盾. 】

2 S1-連通性和連通性之間的關(guān)系

定理10在L-空間中，S1-連通的L-集是連通的L-集.

注1：定理9的逆不成立，這能從例1看出來(lái).

例1設(shè)X={x1,x2},L={0,a,b,1},這里a′=a,b′=b,1′=0,0′=1;0

設(shè)(X,τ)是L-空間，這里τ={C(0,0),C(1,0),C(1,1)}，則C(0,1)是連通的L-集.下面證明C(0,1)不是S1-連通的.實(shí)際上，設(shè)Ω是所有半閉L-集之族，則

取半閉L-集C(0,a)和C(0,b)，由C(0,1)C(0,a)，C(0,1)可知C(0,1)不是S1-連通的.

參考文獻(xiàn):

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