劉 晶， 謝 鑫， 張文華， 張 博， 惲 迪

(西安交通大學(xué) 核安全與運(yùn)行研究室， 西安 710049)

在早期的核燃料性能分析計(jì)算中，對(duì)復(fù)雜機(jī)理過(guò)程的建模通常采用經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式或半經(jīng)驗(yàn)的方法，但是該方法只能適用于有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的工況，對(duì)于沒(méi)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的工況則無(wú)法適用。為了提高燃料性能分析的適用范圍，尤其是事故工況下的分析，在分析物理機(jī)理的基礎(chǔ)上，建立機(jī)理性模型是燃料性能分析計(jì)算的重要方式。速率理論源于化學(xué)反應(yīng)速率理論，其核心是速率常數(shù)的確定。而速率常數(shù)與反應(yīng)物質(zhì)的濃度無(wú)關(guān)，可由實(shí)驗(yàn)直接測(cè)得。速率理論源于實(shí)驗(yàn)，貼近實(shí)驗(yàn)本征特性，與經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖啾染哂懈鼜V泛的適用范圍。在微觀機(jī)制尚不明確的情況下，可基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行描述、預(yù)測(cè)和分析，因此速率理論在核燃料的性能分析領(lǐng)域得到了迅速發(fā)展。

為了促進(jìn)速率理論在核燃料性能分析計(jì)算中的應(yīng)用，對(duì)國(guó)內(nèi)外速率理論在核燃料模擬計(jì)算中的相關(guān)研究進(jìn)行了調(diào)研，總結(jié)了速率理論在模擬計(jì)算裂變氣體釋放率、包殼空洞腫脹速率和輻照生長(zhǎng)應(yīng)變率時(shí)的應(yīng)用方法，同時(shí)分析了目前存在的問(wèn)題以及未來(lái)改進(jìn)和研究的方向，為核燃料性能分析和機(jī)理性模型的建立和模擬計(jì)算提出了新思路。

1 速率理論簡(jiǎn)介

速率理論最初源于化學(xué)反應(yīng)速率理論，化學(xué)反應(yīng)速率是指在一定條件下單位時(shí)間內(nèi)某化學(xué)反應(yīng)的反應(yīng)物或生成物的濃度變化值。在一定溫度下，對(duì)于基元反應(yīng)aA+bB=gG+hH，反應(yīng)速率正比于反應(yīng)物濃度的乘積[1]，可表示為

(1)

式中，R為反應(yīng)速率；CA和CB表示兩種反應(yīng)物質(zhì)A和B的分子濃度，a和b表示反應(yīng)物的化學(xué)計(jì)量系數(shù)；k為比例常數(shù)，稱(chēng)為反應(yīng)速率常數(shù)，其單位與反應(yīng)化學(xué)計(jì)量系數(shù)相關(guān)。反應(yīng)速率常數(shù)與反應(yīng)物濃度無(wú)關(guān)?；瘜W(xué)反應(yīng)速率理論的核心在于速率常數(shù)的確定，一般用氣體分子運(yùn)動(dòng)論(碰撞理論)或量子力學(xué)(過(guò)渡態(tài)理論)的方法，并經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)平均，導(dǎo)出宏觀動(dòng)力學(xué)中速率常數(shù)的計(jì)算公式。

將化學(xué)速率理論推廣至對(duì)物理過(guò)程的模擬，其核心也是對(duì)速率常數(shù)的確定。早期，速率常數(shù)的確定是根據(jù)實(shí)驗(yàn)反推得到數(shù)據(jù)，后來(lái)隨著速率理論的發(fā)展，經(jīng)過(guò)不斷引入其他的理論機(jī)制，如分子動(dòng)力學(xué)、第一性原理等，速率常數(shù)才逐步由實(shí)驗(yàn)反推過(guò)渡到利用理論推導(dǎo)得到。

2 燃料性能分析應(yīng)用研究現(xiàn)狀

燃料的性能分析對(duì)燃料的設(shè)計(jì)運(yùn)行、安全分析以及堆外實(shí)驗(yàn)研究都起著重要作用。性能分析涉及的模擬計(jì)算包括溫度分布、裂變氣體相關(guān)計(jì)算、棒內(nèi)壓力計(jì)算、化學(xué)元素(U、Pu等)重分布計(jì)算、包殼力學(xué)計(jì)算和包殼腐蝕計(jì)算等。速率理論應(yīng)用在模擬計(jì)算中的一般過(guò)程是，首先從機(jī)理出發(fā)，利用速率理論表達(dá)出原子、間隙和空位或其他物質(zhì)相互之間的反應(yīng)速率，求解出該物質(zhì)的濃度，進(jìn)而再利用數(shù)學(xué)模型計(jì)算出所需的物理量。通過(guò)對(duì)國(guó)內(nèi)外燃料性能分析相關(guān)程序和模型的調(diào)研發(fā)現(xiàn)[2-12]，速率理論在計(jì)算裂變氣體釋放率、包殼空洞腫脹速率和輻照生長(zhǎng)應(yīng)變率上的應(yīng)用相對(duì)成熟，下面依次介紹速率理論在這幾方面的應(yīng)用方法。

2.1 在裂變氣體行為研究中的應(yīng)用

裂變氣體行為研究是核燃料性能分析的重要組成部分。裂變氣體釋放會(huì)導(dǎo)致燃料棒內(nèi)壓升高，對(duì)于充He的燃料棒，裂變氣體釋放還會(huì)降低間隙熱導(dǎo)率。此外，裂變氣體Xe和Kr是穩(wěn)定的同位素，在燃料中幾乎不溶解，并在燃料基體內(nèi)形成氣泡，會(huì)伴隨顯著的腫脹。燃料腫脹會(huì)加速燃料棒和包殼的接觸，繼而加劇燃料與包殼的相互作用，影響燃料壽命。

燃料中裂變氣體行為是一個(gè)較為復(fù)雜的物理過(guò)程。燃料晶粒內(nèi)產(chǎn)生裂變氣體原子，一部分氣體原子在晶內(nèi)聚成氣泡，另一部分?jǐn)U散至晶界，在晶界擴(kuò)散并形成晶界氣泡。隨著燃耗的增加，晶界氣泡互相連通并形成釋放通道，裂變氣體向自由空間釋放。同時(shí)，燃料中發(fā)生的氣泡重溶使氣泡中的氣體原子全部或部分再次溶解到燃料基體中。本文忽略點(diǎn)缺陷對(duì)氣體的影響，只討論氣體原子和氣泡的行為。裂變氣體在晶粒不同位置的行為如表1所列。

在上述裂變氣體行為中，氣泡形核、氣泡吸收氣體原子、氣泡聚合可以認(rèn)為是原子與原子、氣泡與原子、氣泡與氣泡之間相互作用的結(jié)果。下面針對(duì)這3種行為具體介紹如何利用擴(kuò)散控制的速率理論方法推導(dǎo)出速率常數(shù)。

設(shè)包含n個(gè)氣體原子的氣泡半徑為Rn，該氣泡吸收氣體原子的俘獲半徑為Rc，模型如圖1所示。

表1 裂變氣體在晶粒不同位置的行為T(mén)ab.1 Fission gas behavior at different positions

(a) The unit cell for computing the diffusion-controlled rate of point-defect absorption by spherical sinks

(b) Solution of the diffusion in a spherical shell with a uniform volumetric source

假設(shè)氣泡靜止，且氣體原子擴(kuò)散到達(dá)氣泡表面就被吸收，那么氣泡吸收氣體原子的反應(yīng)速率可表示為氣泡表面積和氣體原子通量的乘積[2]。

圖1(b)中r表示距氣泡中心的位置，求解氣泡表面至俘獲半徑處的氣體濃度分布，即求解在Rn≤r≤Rc的球殼內(nèi)的氣體原子的擴(kuò)散方程。構(gòu)建方程采用了以下幾點(diǎn)假設(shè)：1)假設(shè)氣體原子在俘獲體積內(nèi)均勻產(chǎn)生，且除了該氣泡中心俘獲外，沒(méi)有其他氣泡吸收。在俘獲體積內(nèi)任一點(diǎn)處的氣體原子濃度隨時(shí)間的變化是較為緩慢的，假設(shè)俘獲體積內(nèi)產(chǎn)生氣體的相對(duì)原子質(zhì)量與被中心氣泡吸收的氣體相對(duì)原子質(zhì)量相當(dāng)，即“準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)近似”；2)氣泡表面的氣體原子濃度為零且氣體原子濃度在氣泡表面存在著一個(gè)變化的濃度梯度。由于俘獲體積半徑Rc比氣泡半徑Rn大得多，在達(dá)到俘獲半徑之前，氣體原子濃度就達(dá)到了一定值，即氣體原子的濃度C1；3)理論上，在區(qū)域1內(nèi)，由于濃度梯度較大，氣體原子濃度主要受擴(kuò)散的限制，區(qū)域2受反應(yīng)速率控制，在建模過(guò)程中，假設(shè)氣泡外均受氣體擴(kuò)散控制，因此忽略源項(xiàng)；4)假設(shè)俘獲體積是一無(wú)限介質(zhì)。通過(guò)以上假設(shè)，擴(kuò)散方程可寫(xiě)為

(2)

式中，D表示氣體原子在燃料基體中的擴(kuò)散系數(shù)， cm2·s-1。擴(kuò)散方程的邊界條件為

C(∞)=C1

(3)

C(Rc,t)=0

(4)

最終求解得到被一個(gè)氣泡吸收氣體原子的速率vs,b為

(5)

再乘以氣泡濃度Cn，得出所有氣泡吸收氣體原子的速率vall,b：

vall,b=4πRnD1C1Cn

(6)

對(duì)照速率理論式(1)，可得到氣泡吸收氣體原子的速率常數(shù)為

k1,n=4πRnD1

(7)

用類(lèi)似的方法，可以得出形核的速率常數(shù)k1,1及氣泡聚合的速率常數(shù)ki,j分別為

k1,1=16πR1D1

(8)

kij=4π(Ri+Rj)(Di+Dj)

(9)

目前國(guó)際上已研發(fā)出多個(gè)基于速率理論的裂變氣體行為模型。具有代表性的是美國(guó)阿貢國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的GRASS-SST[3]、FAST-GRASS[4]，韓國(guó)的快堆金屬燃料的GRSIS模型[5]和二氧化鈾燃料的MEGA模型[6]，俄羅斯核安全研究所(IBRAE)和法國(guó)核輻射防護(hù)與核安全研究院(IRSN)合作研究的MFPR模型[7]和后續(xù)改進(jìn)的MFPR瞬態(tài)模型[8]，Wood和Matthews研究的OGRES模型[9-10]，法國(guó)的MARGARET機(jī)理模型[11]，瑞士開(kāi)發(fā)的二氧化鈾燃料GRSW-A[12]模型，美國(guó)開(kāi)發(fā)的氮化鈾燃料REDSTONE[13]程序以及米蘭理工大學(xué)和伊斯坦布爾科技大學(xué)合作的沒(méi)有模擬任何參數(shù)的TRANSURANUS模型[14]等。

上述模型都是以速率理論為基礎(chǔ)，考慮不同的燃料和工況下裂變氣體的行為差異，計(jì)算在相應(yīng)的條件下，不同物質(zhì)如原子、氣泡、點(diǎn)缺陷之間的相互反應(yīng)，構(gòu)建裂變氣體原子和氣泡在晶內(nèi)和晶界的裂變氣體行為方程，最終計(jì)算出裂變氣體釋放率和由裂變氣體導(dǎo)致的燃料腫脹。

2.2 包殼的空洞腫脹和輻照生長(zhǎng)

速率理論除了可以計(jì)算微觀尺度下的原子和氣泡濃度變化外，還可以計(jì)算空位和間隙的濃度變化，模擬出與空位和間隙相關(guān)的物理過(guò)程。包殼的空洞腫脹和輻照生長(zhǎng)與包殼材料的空位和間隙濃度密切相關(guān)，因此，速率理論也可以用來(lái)模擬包殼的空洞腫脹和輻照生長(zhǎng)行為。計(jì)算空洞腫脹速率，首先計(jì)算空位和間隙的平均濃度。假設(shè)只有單空位和自間隙原子是可動(dòng)的缺陷，小的缺陷團(tuán)簇是空洞或者環(huán)的形核點(diǎn)且這些形核點(diǎn)是固定的陷阱[15]。空位和間隙的濃度變化微分方程分別如式(10)和式(11)所示。

(10)

(11)

式(10)和式(11)中，K0表示產(chǎn)生率，即源項(xiàng)；Ki,vCvCi表示空位和間隙的湮滅速率；求和項(xiàng)分別表示空位和間隙被陷阱吸收的速率。

根據(jù)上述與裂變氣體行為相似的方法確定速率常數(shù)，得到了空位和間隙的濃度?？斩茨[脹的速率即空洞體積的增長(zhǎng)速率，等于凈空位流向空洞的通量，可根據(jù)式(12)求得。

(12)

計(jì)算輻照生長(zhǎng)應(yīng)變率的方法與計(jì)算空洞腫脹速率的方法類(lèi)似，先用擴(kuò)散控制的速率理論計(jì)算缺陷的濃度，然后通過(guò)位錯(cuò)攀移機(jī)制計(jì)算鋯包殼的輻照生長(zhǎng)應(yīng)變率[14]，這里只給出單晶鋯包殼輻照生長(zhǎng)應(yīng)變的計(jì)算過(guò)程，具體步驟如下：

首先計(jì)算單晶的空位和間隙的濃度，除了考慮源項(xiàng)、湮滅項(xiàng)外，還要考慮被間隙環(huán)、空位環(huán)、位錯(cuò)環(huán)、位錯(cuò)線(xiàn)吸收的速率。然后再根據(jù)得到的缺陷的濃度，計(jì)算單晶的輻照生長(zhǎng)的應(yīng)變，a方向和c方向輻照生長(zhǎng)的應(yīng)變率分別為

(13)

(14)

式中，Ailp，Adp，Avlb，Adb分別表示a方向間隙位錯(cuò)環(huán)、a方向位錯(cuò)線(xiàn)、c方向空位位錯(cuò)環(huán)和c方向位錯(cuò)線(xiàn)的平均應(yīng)變系數(shù)；ρilp，ρdp，ρvlb，ρdb分別是上述4個(gè)陷阱的強(qiáng)度。

式(13)表示a方向的應(yīng)變率，由兩部分相加得到，從左到右依次是a方向由間隙位錯(cuò)環(huán)產(chǎn)生的應(yīng)變率和位錯(cuò)線(xiàn)產(chǎn)生的應(yīng)變率；式(14) 表示c方向的應(yīng)變率，也是由兩部分相加得到，依次是由空位位錯(cuò)環(huán)產(chǎn)生的應(yīng)變率和位錯(cuò)線(xiàn)產(chǎn)生的應(yīng)變率。

3 速率理論在核燃料模擬計(jì)算中的局限性 及研究方向展望

3.1 速率理論在核燃料模擬計(jì)算中的局限性

速率理論方法是研究核燃料性能分析的有效工具，但在建模過(guò)程中它還存在一些關(guān)鍵和難點(diǎn)問(wèn)題，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1) 速率常數(shù)的確定。 速率常數(shù)的確定是速率理論中最核心的問(wèn)題。在確定速率常數(shù)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，往往采用了一系列的假設(shè)。有的假設(shè)并不符合實(shí)際物理過(guò)程，影響了模型的準(zhǔn)確性。首先，化學(xué)反應(yīng)速率理論是基于均勻場(chǎng)，而核燃料中發(fā)生的反應(yīng)可能存在于非均勻場(chǎng)。另外，模擬裂變氣體的形核過(guò)程往往采用擴(kuò)散控制的速率理論，假設(shè)把其中一個(gè)氣體原子看成是氣泡，吸收周?chē)臍怏w原子，然而在實(shí)際物理過(guò)程中，氣體原子并不是類(lèi)似氣泡和空位的強(qiáng)吸收尾閭，因此用擴(kuò)散控制的速率理論來(lái)模擬形核過(guò)程本身就存在一定的問(wèn)題。此外，有的物質(zhì)的物理反應(yīng)機(jī)理過(guò)程尚不明確，此時(shí)往往忽略微觀物理作用，采用實(shí)驗(yàn)結(jié)果倒推等方法來(lái)確定速率常數(shù)，利用該方法會(huì)影響模型的應(yīng)用范圍，因?yàn)槟Ｐ捅旧韼в薪?jīng)驗(yàn)的成分，對(duì)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證帶來(lái)一定的難度。

2) 與速率常數(shù)相關(guān)參數(shù)的確定。速率常數(shù)的準(zhǔn)確度除了與速率常數(shù)的確定方法相關(guān)以外，與模擬過(guò)程中的其他參數(shù)的準(zhǔn)確度也有著緊密的聯(lián)系。如擴(kuò)散控制的速率理論與擴(kuò)散系數(shù)相關(guān)，反應(yīng)速率控制的速率理論與原子的結(jié)合數(shù)相關(guān)，這些參數(shù)本身就是不確定的，不同實(shí)驗(yàn)或者不同模型，得出的數(shù)值也有所不同。如，氮化鈾的擴(kuò)散系數(shù)，采用不同的模型在同一溫度下計(jì)算得到的擴(kuò)散系數(shù)相差2個(gè)量級(jí)。因此，與速率理論有關(guān)的參數(shù)的準(zhǔn)確性也會(huì)影響著模擬計(jì)算的精確度。

3) 缺乏核燃料輻照實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模擬計(jì)算具有重要的意義，然而在核燃料領(lǐng)域，由于各種原因，大多數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并不公開(kāi)，這給模擬計(jì)算中相關(guān)參數(shù)的確定和模型的驗(yàn)證帶來(lái)一定的困難。此外，部分研究的實(shí)驗(yàn)本身就是空白，尤其是先進(jìn)核燃料的輻照實(shí)驗(yàn)。因此，在先進(jìn)核燃料的模擬計(jì)算過(guò)程中，只能用傳統(tǒng)核燃料的輻照實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)代替。

3.2 研究方向展望

1) 深入研究物理機(jī)理。核燃料所涉及的物理機(jī)理十分復(fù)雜，仍存在尚不明確原因的一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。在后續(xù)的研究中，對(duì)物理機(jī)理深入的研究是十分必要的，包括所要計(jì)算的物理量與哪些物質(zhì)有關(guān)、這些物質(zhì)產(chǎn)生哪些反應(yīng)等。在裂變氣體行為機(jī)理方面，繼續(xù)深入研究氣體原子和氣泡行為，如對(duì)氣泡形核行為的研究，一方面可以繼續(xù)研究不同燃料在不同溫度、不同燃耗下的雙原子形核；另一方面，多原子形核相關(guān)的研究目前尚屬空白，對(duì)多原子形核的研究會(huì)對(duì)氣泡形核過(guò)程和裂變氣體行為的認(rèn)識(shí)具有重要的意義。此外，還可以深入研究燃料的晶體結(jié)構(gòu)和孔隙對(duì)裂變氣體釋放的影響，燃料的晶體尺寸、孔隙率和材料特性等因素影響著裂變氣體擴(kuò)散至晶面，晶面氣泡達(dá)到晶棱以及晶棱氣泡最終釋放至自由空間的快慢，對(duì)燃料結(jié)構(gòu)的研究有助于深入了解裂變氣體釋放的動(dòng)態(tài)過(guò)程。

2) 準(zhǔn)確模擬反應(yīng)過(guò)程。反應(yīng)過(guò)程模擬的準(zhǔn)確與否體現(xiàn)在速率常數(shù)的準(zhǔn)確性上，提高速率常數(shù)的準(zhǔn)確度十分必要，主要通過(guò)3方面來(lái)改進(jìn)：一是恰當(dāng)?shù)啬M，在眾多物理過(guò)程中，根據(jù)研究確定哪些過(guò)程可以忽略，是否需要引入彈性能、焓值等微觀機(jī)理；二是改進(jìn)速率常數(shù)的表達(dá)形式，在確定需要考慮的物理過(guò)程和物理量以后，用更貼近實(shí)際機(jī)理的形式來(lái)表達(dá)。例如在模擬形核的過(guò)程中，可采用反應(yīng)速率控制的速率理論，而不是基于濃度梯度推導(dǎo)出來(lái)的擴(kuò)散控制速率理論，反應(yīng)速率控制的速率理論適用于反應(yīng)物兩者尺寸相當(dāng)、擴(kuò)散系數(shù)相當(dāng)?shù)奈镔|(zhì)，更符合氣泡形核的反應(yīng)過(guò)程；三是提高與速率常數(shù)相關(guān)參數(shù)的準(zhǔn)確性，通過(guò)更深入地研究或者實(shí)驗(yàn)來(lái)獲取更精準(zhǔn)的參數(shù)來(lái)提高速率常數(shù)的準(zhǔn)確性。如速率常數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)密切相關(guān)，通過(guò)提高擴(kuò)散系數(shù)的準(zhǔn)確度來(lái)提高模型的準(zhǔn)確性。

3) 豐富實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型的構(gòu)建和驗(yàn)證都至關(guān)重要。模擬計(jì)算的物理量相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是驗(yàn)證模型最重要的工具，豐富的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不僅可以幫助對(duì)模型的理解，還可以輔助判斷模型目前存在的問(wèn)題和不足，而模型相關(guān)參數(shù)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以幫助提高參數(shù)的準(zhǔn)確度，進(jìn)而提高模型的準(zhǔn)確度。在接下來(lái)的研究中，一方面，要完善和豐富輻照數(shù)據(jù)庫(kù)，特別是快堆燃料的輻照數(shù)據(jù)；另一方面，要增加基礎(chǔ)理論的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如支撐研究形核過(guò)程的裂變氣體原子和氣泡的密度分布，再如通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)測(cè)得核燃料在不同工況下的空隙變化、缺陷變化等，以此來(lái)完善裂變氣體模型在不同工況下的適用性。通過(guò)上述方式，獲取更為豐富的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)促進(jìn)速率理論發(fā)展具有重要的意義。

4 結(jié)語(yǔ)

綜述了速率理論在核燃料模擬計(jì)算研究領(lǐng)域中的應(yīng)用現(xiàn)狀，詳細(xì)介紹了基于速率理論，模擬計(jì)算裂變氣體釋放率、包殼空洞腫脹速率和輻照生長(zhǎng)應(yīng)變率的方法，在此基礎(chǔ)上提出了今后模擬計(jì)算機(jī)理研究和改進(jìn)速率常數(shù)等方面研究的若干建議。進(jìn)一步的研究，一方面可以深化速率理論在核燃料性能分析模擬計(jì)算中的應(yīng)用，另一方面也可以促進(jìn)速率理論和方法體系的不斷完善。

[1]徐正. 化學(xué)反應(yīng)速率理論導(dǎo)論[M]: 南京: 江蘇科學(xué)技術(shù)出版社, 1987. (XU Zheng. Introduction to Chemical Reaction Rate Theory[M]. Nanjing: Publishing House of Jiangsu Science and Technology, 1987.)

[2]OLANDER D R. Fundamental aspects of nuclear reactor fuel elements[R]. TID-26711-P1, California Univ, Berkeley (USA) Dept of Nuclear Engineering, 1976.

[3]REST J. GRASS-SST: A comprehensive, mechanistic model for the prediction of fission-gas behavior in UO2-base fuels during steady-state and transient conditions[R]. NUREG/CR-0202, Argonne National Lab, IL (USA), 1978.

[4]REST J, ZAWADZKI S A. FASTGRASS: A mechanistic model for the prediction of Xe, I, Cs, Te, Ba, and Sr release from nuclear fuel under normal and severe-accident conditions[R]. NUREG/CR-5840, US Nuclear Regulatory Commission, 1992.

[5]LEE C B, KIM D H, JUNG Y H. Fission gas release and swelling model of metallic fast reactor fuel[J]. Journal of Nuclear Materials, 2001, 288 (1): 29-42.

[6]LEE C B, YANG Y S, KIM D H, et al. A new mechanistic and engineering fission gas release model for a uranium dioxide fuel[J]. Journal of Nuclear Science and Technology, 2008, 45 (1): 60-71.

[7]VESHCHUNOV M S, OZRIN V D, SHESTAK V E, et al.Development of the mechanistic code MFPR for modellingfission-product release from irradiated UO2fuel[J]. Nuclear Engineering and Design, 2006, 236 (2): 179-200.

[8]VESHCHUNOV M S, TARASOV V I. Development of the MFPR model for fission gas release in irradiated UO2under transient conditions[J]. EPJ Nuclear Sci Technol, 2017, 3(4): 2016041.

[9]WOOD M H, MATTHEWS J R. A simple operational gas release and swelling model I: Intragranular gas[J]. Journal of Nuclear Materials, 1980, 91 (1): 35-40.

[10]MATTHEWS J R, WOOD M H. A simple operational gas release and swelling model II: Grain boundary gas[J]. Journal of Nuclear Materials, 1980, 91 (2/3): 241-256.

[11]NOIROT L, MARGARET. An advanced mechanistic model of fission gas behavior in nuclear fuel[J]. Journal of nuclear science and technology, 2006, 43 (9): 1 149-1 160.

[12]KHVOSTOV G, MIKITYUK K, ZIMMERMANN M A. A model for fission gas release and gaseous swelling of the uranium dioxide fuel coupled with the FALCON code[J]. Nuclear Engineering and Design, 2011, 241 (8): 2 983-3 007.

[13]DEFOREST D L. Transient fission gas behavior in uranium nitride fuel under proposed space applications[R] . ADA252577, Air Force Inst. of Tech, Wright-Patterson AFB, OH(United States), 1991.

[14]PASTORE G, LUZZI L, DI MARCELLO V, et al. Physics-based modelling of fission gas swelling and release in UO2applied to integral fuel rod analysis[J]. Nuclear Engineering and Design, 2013, 256: 75-86.

[15]OKITA T, WOLFER W. A critical test of the classical rate theory for void swelling[J]. Journal of Nuclear Materials, 2004, 327 (2/3): 130-139.