樊 超， 郭亞菲， 曹培格， 楊鐵軍

(河南工業(yè)大學信息科學與工程學院，河南鄭州 450001)

糧食是人類賴以生存、社會進步和經(jīng)濟發(fā)展的基本生活資料，其產(chǎn)量嚴重影響著糧食的安全體系，進而關系到能否滿足人們的生存需要，它是整個國家安全系統(tǒng)的重要組成部分。因此，糧食產(chǎn)量預測在農(nóng)業(yè)經(jīng)濟管理中起著決定性作用。

通常為了準確預測糧食產(chǎn)量，主要采用以下4類模型：遙感預測模型[1]、氣候生產(chǎn)力模型[2]、投入產(chǎn)出模型[3]、多元回歸和因子分析模型[4]。這些模型和方法均從不同角度對糧食產(chǎn)量預測進行了研究，并得到一些有意義的研究結果。但是上述模型在預測產(chǎn)量時，存在數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)處理復雜、考慮影響因素有限等缺點。近年來，隨著智能技術的發(fā)展，灰色系統(tǒng)理論預測與專家系統(tǒng)相結合的預測、模糊推理預測、人工神經(jīng)網(wǎng)絡預測等新技術避免了傳統(tǒng)方法的很多缺陷，被廣泛應用。例如，基于粗糙集理論、自回歸移動平均模型(ARIMA)、小波變換、神經(jīng)網(wǎng)絡以及組合預測等技術的糧食產(chǎn)量預測方法[5-8]。但是由于糧食生產(chǎn)受到多種因素的影響，導致數(shù)據(jù)具有較大的波動性和不確定性。從預測結果來看，上述方法均存在一些不足，或者沒有考慮糧食生產(chǎn)的灰色性及信息收集的不系統(tǒng)性，或者算法適應性差，預測精度不高。

由于糧食生產(chǎn)具有明顯的灰度特征，因此可以使用灰色模型預測糧食產(chǎn)量。傳統(tǒng)的灰色模型雖然能有效地預測少量數(shù)據(jù)的序列，但隨著數(shù)據(jù)的增多和波動性的增大，該模型逐漸失去了它的優(yōu)勢[9]，而馬爾科夫模型預測可以應用于隨機變化的時間序列中，彌補灰色模型的不足[10]。因此，本研究將上述2種模型相結合，使兩者優(yōu)點互補，充分利用歷史數(shù)據(jù)包含的信息，采用灰色-馬爾科夫模型對糧食產(chǎn)量進行短期精準預測。

1 模型建立

1.1 灰色GM(1，1)預測模型

灰色GM(1，1)模型是以微分擬合為核心的一種建模方法，其基本原理是對雜亂無章的原始數(shù)據(jù)列進行“累加”，生成新的單調(diào)遞增的數(shù)據(jù)列，增加原始數(shù)據(jù)列的規(guī)律性，弱化其波動性。按照累加后序列的增長趨勢建立預測模型，得到1組單調(diào)遞增數(shù)據(jù)。然后對預測數(shù)據(jù)采用“累減”的方法進行逆運算，恢復原時間序列，得到預測結果。GM(1，1)模型建模步驟如下：(1)設原始時間序列X(0)包含n個非負元素，即

X(0)=[X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n)]。

(1)

由該序列生成1次累加序列X(1)

X(1)=[X(1)(1),X(1)(2),…,X(1)(n)]。

(2)

(3)

(2)生成累加序列X(1)的緊鄰均值序列Z(1)，

Z(1)=[Z(1)(1),Z(1)(2),…,Z(1)(n)]。

(4)

(5)

(3)構建累加序列X(1)的一階微分方程

(6)

其中參數(shù)a、b可由下式計算

[a,b]T=(BTB)-1BTY。

(7)

(8)

(4)求解微分方程，得到如下GM(1，1)模型

(9)

(5)由累加序列還原原序列

(10)

1.2 馬爾科夫模型

馬爾科夫方法的基本思路是通過原始數(shù)據(jù)求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對未來的變化狀態(tài)進行概率估計。

馬爾科夫模型可表示為

X(n)=X(t)pn-1。

(11)

式中：X(n)、X(t)分別為n、t時刻的狀態(tài)概率向量，p為1步狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣。利用馬爾科夫模型對灰色模型進行優(yōu)化時，首先須要對預測精度進行劃分，然后確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，最后使用馬爾科夫模型對結果進行優(yōu)化。具體步驟可描述為以下4步。

1.2.1 狀態(tài)劃分 根據(jù)灰色模型預測值和真實值的比值將數(shù)據(jù)樣本劃分成若干狀態(tài)，狀態(tài)個數(shù)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)元素的數(shù)量而定。劃分的狀態(tài)可用Ei表示，任一狀態(tài)可表示為Ei∈[Emin，Emax]，其中Emin和Emax分別是狀態(tài)Ei的最小值和最大值。

1.2.2 構造轉(zhuǎn)移概率矩陣 該矩陣反映各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移規(guī)律，可表示為

(12)

式中：pij(k)=mij/mi，表示由狀態(tài)Ei經(jīng)過m步轉(zhuǎn)移后到狀態(tài)Ej的概率。其中mij表示由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的數(shù)據(jù)個數(shù)，mi表示原始數(shù)據(jù)落入狀態(tài)Ei的數(shù)據(jù)個數(shù)。通過考察狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣p(m)，即可預知系統(tǒng)未來的狀態(tài)轉(zhuǎn)向。

1.2.3 編制預測表 根據(jù)上一步得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，選取1步或n步轉(zhuǎn)移，編制預測表并將相應轉(zhuǎn)移概率填入表中。然后對預測表的列進行求和，其中最大列所在的狀態(tài)即為下一步(或n步)最有可能所處的狀態(tài)。

1.2.4 計算預測值 針對上一步所確定的預測對象最有可能的狀態(tài)轉(zhuǎn)移Ei以及狀態(tài)劃分規(guī)則，計算馬爾科夫預測值。

1.3 灰色——馬爾科夫預測模型

由于傳統(tǒng)的灰色模型主要適用于預測時間短、數(shù)據(jù)資料少、波動不大的系統(tǒng)對象，對于隨機波動性較大的數(shù)據(jù)序列預測精度較低。而在馬爾科夫模型中，通過轉(zhuǎn)移概率可以反映隨機因素的影響程度，彌補了灰色預測的局限性，但要求預測序列具有馬氏鏈平穩(wěn)過程等均值的特點。因此，本研究將灰色預測模型和馬爾科夫模型相結合，在提高GM(1，1)模型預測精度的同時，又降低了模型對序列穩(wěn)定性的要求。算法步驟可描述為：(1)利用灰度建模方法構造糧食產(chǎn)量序列的灰色GM(1，1)模型，并利用該模型得到原序列的預測序列。(2)計算模型預測誤差，構造誤差預測模型，并利用該模型對產(chǎn)量預測模型進行修正。同時得到修正后第n+1年的預測值。(3)計算原序列和修正預測序列對應元素之間的比值，劃分狀態(tài)區(qū)間，得到狀態(tài)序列，并依據(jù)此序列得到新的預測序列，計算序列的自相關系數(shù)，進而得到權重序列。(4)將狀態(tài)序列轉(zhuǎn)化為概率轉(zhuǎn)移矩陣，并根據(jù)各階轉(zhuǎn)移概率密度矩陣和權重系數(shù)序列，確定歷年狀態(tài)對預測年所處狀態(tài)的影響概率。(5)根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率及權重系數(shù)，計算預測年的糧食產(chǎn)量。將此產(chǎn)量數(shù)據(jù)加入原數(shù)據(jù)序列，同時去掉序列中的第1個元素，構成新陳代謝灰度模型，并用基于誤差修正的灰度模型預測第n+2年的產(chǎn)量數(shù)據(jù)。(6)重復步驟(1)～(5)得到第n+3、n+4，…等年份的糧食年產(chǎn)量預測數(shù)據(jù)。綜上，基于灰色-馬爾科夫模型的糧食年產(chǎn)量預測算法流程見圖1。

2 基于灰色-馬爾科夫模型的全國糧食產(chǎn)量預測

為了進一步提高預測精度，本研究對GM(1，1)預測模型的誤差進行修正。為此，首先計算預測誤差序列E(10)，使用公式(13)進行計算：

E(10)=X10-X10。

(13)

由此得到的誤差序列如表1所示。為了對誤差序列進行預測，須要將誤差序列轉(zhuǎn)化為非負序列。為此，尋找序列E(10)的最小值E(10)min=-2 944，取其絕對值|E(10)min|，將序列E(10)加上該絕對值，從而將誤差序列轉(zhuǎn)化為非負序列E(11)，即E(11)=[2 944，4 352，3 729，0，2 756，3 060，3 223，2 415，3 872，2 829，3 086]。

表1 2000—2010年糧食年產(chǎn)量的灰色預測及修正預測值

考慮到糧食生產(chǎn)受到各種因素的影響，而各種因素的影響又具有連續(xù)性，本研究使用馬爾科夫鏈描述歷年產(chǎn)量對預測年產(chǎn)量的影響。因此，首先計算原序列和預測序列對應元素之間的比值，構成比值序列R，即

(14)

由此得到序列R的最小值Rmin=0.914 36，最大值Rmax=1.009 00，將序列R在Rmin～Rmax內(nèi)劃分成3個區(qū)間，即3種狀態(tài)：區(qū)間1(狀態(tài)1)，[0.91，0.97)；區(qū)間2(狀態(tài)2)，[0.97，0.99)；區(qū)間3(狀態(tài)3)，[0.99，1.01]。

(15)

對X(11)中的所有元素按照上述方法轉(zhuǎn)化為新的預測序列，得到Y1=[46 217，44 859，45 968，44 278，47 304，48 473，49 671，48 822，53 222，53 447，54 768]。同時，根據(jù)狀態(tài)序列S的元素值，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣F(fij)，元素fij表示狀態(tài)序列中由狀態(tài)i轉(zhuǎn)向狀態(tài)j的頻數(shù)(即次數(shù))。

(16)

(17)

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P(1)，選取距離預測年份(2011年)最近的3個年份，按其距離遠近將轉(zhuǎn)移步數(shù)分別定為k=1，2，3，即2010年轉(zhuǎn)移步數(shù)為1，2009年轉(zhuǎn)移步數(shù)為2，2008年轉(zhuǎn)移步數(shù)為3。然后計算各階自相關系數(shù)rk，計算公式如下：

(18)

(19)

(20)

式中：n表示預測模型中元素的總個數(shù)。

之后對各階自相關系數(shù)進行歸一化，得到權重系數(shù)序列W，其中元素Wi的計算方法如下：

(21)

(22)

(23)

所以W=[0.536 66，0.359 25，0.104 09]。由于本研究只考慮最近3年對預測年份的影響，因此，可計算每年的轉(zhuǎn)移概率密度矩陣P(2)、P(3)，計算方法見公式(24)、(25)。

(24)

(25)

根據(jù)狀態(tài)矩陣，2008—2010年的糧食年產(chǎn)量狀態(tài)分別為3、2、2。因此，可分別確定各年份對2011年所處狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，具體見表2。

表2 2008—2010年所處狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

根據(jù)表2并利用權重系數(shù)序列W計算2011年的糧食年產(chǎn)量分別處于狀態(tài)1、狀態(tài)2、狀態(tài)3的概率分別為

(26)

(27)

(28)

(29)

為對比方便，分別使用傳統(tǒng)灰色模型及馬爾科夫模型對2011—2015年糧食年產(chǎn)量進行預測，各種方法的預測結果及預測誤差見表3。由此可以看出，(1)由于傳統(tǒng)灰色模型沒有考慮歷年糧食產(chǎn)量對未來預測年份糧食產(chǎn)量的影響，初始預測值較為準確，2011—2013年的預測誤差小于1.00%，但隨著年份的增加，由于糧食年產(chǎn)量間的相互影響作用導致預測精度變差，2014、2015年的年產(chǎn)量預測誤差明顯增加，但總體來看，此方法的預測精度較高；(2)傳統(tǒng)馬爾科夫模型由于過度依賴歷年糧食產(chǎn)量對未來產(chǎn)量的影響，降低了序列的波動性，導致預測值增加較慢，預測誤差較大，所有年份的預測誤差均大于1.50%，最大誤差達到4.16%，無法用于糧食產(chǎn)量的短期精準預測；(3)相比于傳統(tǒng)灰色模型和馬爾科夫模型，由于灰色——馬爾科夫混合模型綜合考慮了序列的波動性及歷年產(chǎn)量對未來年份糧食產(chǎn)量的影響，將2種模型優(yōu)勢互補，極大地提高了模型預測的準確性，5年的糧食產(chǎn)量誤差均小于 0.40%，能夠?qū)崿F(xiàn)糧食產(chǎn)量的短期精準預測。

表3 各種方法糧食產(chǎn)量預測結果比較

3 結論

糧食安全問題是關系國民經(jīng)濟健康發(fā)展和全面建設小康社會的重大問題，因此研究糧食生產(chǎn)波動規(guī)律，做好糧食產(chǎn)量的短期預測對保障國家糧食安全和協(xié)助糧食管理部門作出科學決策具有重大意義。本研究結合糧食生產(chǎn)具有波動性及相互影響性的特點，提出基于馬爾科夫的灰色產(chǎn)量組合預測方法，該方法充分發(fā)揮了灰色模型和馬爾科夫模型的優(yōu)勢，利用歷史數(shù)據(jù)包含的信息，對糧食年產(chǎn)量進行短期精準預測，5年預測誤差均小于0.40%，平均誤差為0.19%，相較于傳統(tǒng)灰色模型及馬爾科夫模型，預測精度大幅提高。

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