陳珊

● 教學(xué)內(nèi)容分析

枚舉算法是一種常用的基礎(chǔ)算法。依賴計算機的高速運算能力，枚舉算法能解決很多問題，如密碼破譯、搜索等。利用枚舉算法解決問題的關(guān)鍵是通過分析問題，確定枚舉對象、范圍和檢驗條件。另外，同一問題的枚舉方式可以多樣。本節(jié)課是枚舉算法的應(yīng)用，要求學(xué)生利用枚舉算法解決兩個具體問題——“百雞百錢”和密碼破解，讓他們在分析循環(huán)次數(shù)的基礎(chǔ)上，體會利用計算機的高速運算能力進行枚舉解決問題的優(yōu)勢。

● 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了枚舉算法的概念，有利用分支、循環(huán)語句編寫程序解決問題的經(jīng)驗，但用枚舉算法解決具體問題時，枚舉對象、范圍、檢驗條件的確定還存在一定困難，對同一問題的不同枚舉方式認(rèn)識不到位，同時對利用計算機的高速運算能力進行枚舉解決問題的優(yōu)勢體會不強烈。本節(jié)課，筆者利用兩個具體問題，在體驗、討論、小組合作的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷枚舉算法解決實際問題的過程，體會枚舉算法的價值，了解人解決問題與計算機解決問題的差異。

● 教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：進一步理解枚舉算法的思想，利用枚舉算法解決具體問題。

過程與方法目標(biāo)：在解決“百雞百錢”、密碼破解問題的過程中，體驗利用枚舉算法解決問題的方法；通過小組合作，經(jīng)歷分析問題、設(shè)計算法、編寫/調(diào)試程序的過程。

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：感受利用計算機進行枚舉的優(yōu)勢，愿意用枚舉算法去解決生活、實踐中的問題。

● 教學(xué)重點、難點

重點：利用枚舉算法解決問題的一般過程。

難點：認(rèn)識到枚舉算法是利用計算機的高速運算能力來解決問題。

● 教學(xué)過程

1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)

（1）情境導(dǎo)入：被“加密”的作業(yè)文件夾。

師：許多同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，今天的作業(yè)文件夾竟然被“加密”了。接下來，給大家一分鐘時間，親自動手嘗試“找回”作業(yè)文件夾的密碼。（PPT中1分鐘倒計時開始）

學(xué)生在緊張、興奮中開始嘗試“破解”作業(yè)文件夾密碼，1分鐘到了，但文件仍未打開（如圖1）。

（2）小組討論：破解密碼需要線索。

師：剛才是如何“找”密碼的？找回密碼存在什么困難？請大家圍繞這兩個問題開展討論。

師生互動，確定“找”密碼的過程就是枚舉，是人工在一一列舉所有可能的密碼（如“123456”“xinxi”等），逐一輸入檢驗?zāi)芊翊蜷_作業(yè)文件夾。由于密碼的位數(shù)、組成等特征未知，所以猜測密碼非常困難。學(xué)生要想破解作業(yè)文件夾密碼，需要一些線索。

2.活動一：解決“百雞百錢”問題，獲得密碼線索

（1）給出密碼線索一。

師：破解密碼需要兩條至關(guān)重要的線索。每個小組需要用10個積分來換取線索一。線索一描述：雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一。百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？

（2）利用枚舉算法解決“百雞百錢”問題。

Step1：分析問題。

分析“百雞百錢”問題，學(xué)生抽象提煉出方程組（如圖2，公雞x只、母雞y只，小雞z只）。

小組開展討論：如何才能求解x、y、z的值？學(xué)生習(xí)慣從數(shù)學(xué)思維出發(fā)，逐一人工湊數(shù)來求解這一不定方程組，也有學(xué)生嘗試消元后再找出符合條件的解。教師充分肯定這一思路，同時引導(dǎo)學(xué)生思考能否利用計算機來解決這一問題。學(xué)生認(rèn)同，可以利用枚舉算法解決“百雞百錢”問題。

Step2：設(shè)計算法。

小組討論枚舉對象、范圍和檢驗條件，寫在A3紙板上，并在全班展示交流“百雞百錢”問題的不同枚舉方式，進一步復(fù)習(xí)鞏固枚舉算法的三要素：枚舉對象、范圍和檢驗條件（如圖3）。

Step3：編寫、調(diào)試程序。

學(xué)生編寫、調(diào)試VB程序，運行得出“百雞百錢”問題的所有可能解。全班展示不同的程序?qū)崿F(xiàn)，教師著重引導(dǎo)學(xué)生分析程序（三重循環(huán)、二重循環(huán)、一重循環(huán)）的循環(huán)次數(shù)，讓學(xué)生真實感受到計算機的高速運算能力，體會利用計算機進行枚舉的優(yōu)勢。同時，教師對比不同程序循環(huán)次數(shù)的差異，適當(dāng)解釋枚舉算法優(yōu)化的必要性（如下表）。

運行程序，得到“百雞百錢”問題的四組解，教師說明其中第二組解的數(shù)字（4、18、78）是破解密碼的線索一（如圖4）。

3.活動二：找回作業(yè)文件夾“密碼”

（1）給出密碼線索二。

師：在獲取線索一（4、18、78）后，許多同學(xué)立馬去嘗試打開作業(yè)文件夾，但都失敗了。因為，破解密碼還需要至關(guān)重要的線索二，小組依然需要用10積分換取線索二。線索二描述：密碼的首位數(shù)字是4，密碼的末位數(shù)字的三倍是18，密碼組成的四位數(shù)能被78整除。

（2）利用枚舉算法破解作業(yè)文件夾密碼。

Step1：分析線索，設(shè)計算法。

小組根據(jù)線索二，討論枚舉的對象、范圍和檢驗條件，寫在學(xué)案上。這一問題也有不同的枚舉方式，鼓勵學(xué)生有不同的想法，關(guān)注算法的多樣性（如圖5）。

Step2：編寫、調(diào)試程序。

小組根據(jù)確定的枚舉對象、范圍和檢驗條件，編寫VB程序，調(diào)試運行得出可能的密碼解（如圖6）。

Step3：驗證密碼，打開作業(yè)文件夾。

學(xué)生獲得解決問題的成就感。

4.知識延伸

筆者通過圖靈密碼破譯機、深藍、AlphaGo三個實例說明枚舉算法是利用計算機的高速運算能力來解決問題。在密碼破譯領(lǐng)域，暴力枚舉本身就是一種重要而基礎(chǔ)的方法。1997年戰(zhàn)勝國際象棋大師卡斯帕羅夫的“深藍”，暴力窮舉是其算法核心，2017年大熱的AlphaGo，其關(guān)鍵就包括蒙特卡洛算法——一種優(yōu)化的枚舉算法。筆者還特別提及了AlphaGo的硬件構(gòu)成，讓學(xué)生直觀感受計算機快速運算能力的基礎(chǔ)是強大的硬件支撐，并進一步提出了思考問題：生活中還有哪些運用枚舉算法解決問題的實例？鼓勵學(xué)生去尋找、發(fā)現(xiàn)枚舉算法。

5.總結(jié)

課堂總結(jié)分兩部分，一是知識總結(jié)，包括枚舉算法的概念、特征及結(jié)構(gòu)特點，利用枚舉算法解決問題的過程等。二是對小組合作表現(xiàn)的總結(jié)，匯總小組積分，獎勵積分最高小組。

● 教學(xué)反思

本堂課設(shè)計了兩個破解密碼的線索，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生跟隨“破解”作業(yè)文件夾的密碼這一主要任務(wù)，經(jīng)歷利用枚舉算法解決兩個具體問題的過程（分析問題、設(shè)計算法、編寫調(diào)試程序），充分調(diào)動學(xué)生的興趣，學(xué)生參與度很高。

筆者從多角度、多途徑突破教學(xué)難點，讓學(xué)生在破解密碼的真實情境中主動尋找解決問題的方法，通過討論、對比手工枚舉（計算）與計算機枚舉的差異，讓他們直觀感受計算機高速運算速度所帶來的優(yōu)勢。在程序展示部分，筆者分析了程序的循環(huán)次數(shù)，再次讓學(xué)生感受計算機的高速運算能力。同時，在知識延伸部分，筆者通過深藍、AlphaGo的實例，讓學(xué)生認(rèn)識到枚舉算法是利用計算機的高速運算能力來解決問題。

學(xué)生深刻體會到計算機軟硬件相結(jié)合的重要性，軟件功能的實現(xiàn)是基于硬件，這一點在枚舉算法上體現(xiàn)得尤其明顯。正是由于計算機硬件的發(fā)展，高速的運算能力才能得到保證，也才讓枚舉算法有了用武之地。在知識延伸部分，筆者讓學(xué)生認(rèn)識到枚舉算法的重要而廣泛的應(yīng)用，同時拋出一個思考問題，讓學(xué)生帶著問題離開課堂，鼓勵他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、觀察生活中枚舉算法應(yīng)用的實例。在解決兩個具體問題的過程中，筆者讓學(xué)生利用抽象的方法建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)計算法，編寫程序，讓計算機自動化運行以解決具體的問題，以小組為單位完成算法設(shè)計、程序編寫、交流及展示活動，通過積分獎勵/兌換的形式，激勵學(xué)生，小組合作效果較好。

點 評

算法是計算機解決問題的鑰匙，如何配好這把鑰匙，是人的智慧。用計算機解決問題，就需要充分認(rèn)識到計算機的特點并充分運用其特點，發(fā)揮計算機的優(yōu)勢。在《枚舉算法的應(yīng)用》一課，學(xué)生通過了解圖靈在二次世界大戰(zhàn)期間破譯密碼的事例以及自己動手編寫解密程序等學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，可以很好地達成這一教學(xué)目標(biāo)。

盡管枚舉算法是算法學(xué)習(xí)中一種簡單且容易理解的算法，但對初學(xué)算法的學(xué)習(xí)者來說，仍然是枯燥和抽象的?！睹杜e算法的應(yīng)用》一課引用“百雞百錢”和“文件夾密碼破解”相嵌套的問題場景，激發(fā)學(xué)生的挑戰(zhàn)欲和好奇心，在已經(jīng)掌握運用循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)枚舉算法的基礎(chǔ)上，完成更復(fù)雜問題解決方法的學(xué)習(xí)任務(wù)。

趣味性可以解決枚舉算法學(xué)習(xí)起步時的動機，對《枚舉算法的應(yīng)用》一課教學(xué)過程中生成性資源的進一步挖掘可以獲得更多的學(xué)習(xí)動機，因為枚舉算法的學(xué)習(xí)核心不只是有趣，也不是兩次枚舉算法重疊的簡單重復(fù)使用，而在于如何將待解決的問題有效地分解為可以重復(fù)執(zhí)行的循環(huán)結(jié)構(gòu)以及判別條件并以程序代碼的形式表達出來。在教學(xué)過程中，教師所展示的“百雞百錢”三種不同解決方案為深入研究枚舉算法的實施提供了空間，這一方面可以引導(dǎo)多重循環(huán)知識技能的學(xué)習(xí)，另一方面也反映了如何有效發(fā)揮計算機優(yōu)勢即平衡計算機執(zhí)行效率和降低人的智力勞動強度關(guān)系的思想方法。與此同時，在解決“百雞百錢”問題之后，教師同樣用枚舉算法要求學(xué)生解決“文件夾密碼破解”，這時教師也可以設(shè)定不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)要求，供不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生練習(xí)。