摘要：平面向量是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中特別重要的一部分，特別是在高中階段，很多方面的知識(shí)點(diǎn)都需要用向量來(lái)輔助解題。同時(shí)，向量也是高考中的一個(gè)重要階段。三角函數(shù)作為高中階段的一個(gè)重要模塊，在高考中占據(jù)著重要地位，是每年高考中不可或缺的題目。本文主要討論了怎樣借助向量方法來(lái)解答三角函數(shù)的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：平面向量；三角函數(shù)；解題

1、問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，其重要性不只體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，更重要的是體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的思維方式。理性思維能力包括：直覺(jué)猜想、運(yùn)算求解、演繹證明、邏輯推理、歸納抽象等。高考“注重對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的理解，多角度、多層次地考查數(shù)學(xué)理性思維及數(shù)學(xué)素養(yǎng)和潛能”，在高考復(fù)習(xí)的各個(gè)階段都要重視理性思維的培養(yǎng)和發(fā)展。尤其是在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題備受命題專家的青睞。

三角函數(shù)與平面向量是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，在歷年高考中客觀題與主觀題并存出現(xiàn)，對(duì)“四基”進(jìn)行了全面的考查，在命題上，主要以中檔偏下題目為主。而本文以一道簡(jiǎn)單的例題和兩道高考題為案例，以淺現(xiàn)深，以點(diǎn)帶面來(lái)分析幾道平面向量與三角函數(shù)交匯的題目，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展其理性思維能力。

2、用一個(gè)簡(jiǎn)單的例題說(shuō)明平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例1已知函數(shù) ，求其函數(shù)圖像按向量 平移后所得到的圖象的解析式。

解析：因?yàn)?，經(jīng)平移后的解析式為

點(diǎn)評(píng)：在中學(xué)階段，向量方法可以用來(lái)解決很多不同類型的題目，該題就是典型的運(yùn)用平面向量來(lái)解決三角函數(shù)的問(wèn)題，主要運(yùn)用了平面向量的平移來(lái)解決三角函數(shù)的解析式問(wèn)題。向量是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中比較特殊的一部分，它不屬于代數(shù)的范疇，也不完全屬于幾何的一部分，同時(shí)又都與他們有著一定的聯(lián)系，代數(shù)和幾何的很多知識(shí)都可以和平面向量結(jié)合在一起出題。在高中階段，涉及到的很多三角函數(shù)問(wèn)題都是可以用平面向量的方法來(lái)解決的，而且學(xué)生思路會(huì)更加清晰明了。因此，在高考中，經(jīng)常出現(xiàn)平面向量和三角函數(shù)想結(jié)合的問(wèn)題，下面就以兩道高考題為例來(lái)具體說(shuō)明。

3、從兩道高考題來(lái)看平面向量和三角函數(shù)的結(jié)合在高考中的應(yīng)用

例2 已知向量 .

若 求 的值；記 求 的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的 值.

解析：（1）因?yàn)?，所以

若 ，則 ，與 矛盾，故 .于是 .

（2）

因?yàn)?，所以 ，從而 .于是，當(dāng) ，即 時(shí)， 取到最小值3；當(dāng) ，即 取到最小值 .又 ，所以 .

點(diǎn)評(píng)：這道題主要考察了平面向量的線性運(yùn)算來(lái)展示平面向量在三角函數(shù)解

題中的應(yīng)用。在本題的第一問(wèn)中利用線性運(yùn)算來(lái)求解，由 可得 ，

然后就可以根據(jù) 的范圍來(lái)確定 的值；第二問(wèn)是根據(jù)平面向量的數(shù)量積，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解 的最值。例3 設(shè)向量

解析：（1）由

，及 ，可得 .因?yàn)?/p>

當(dāng) 時(shí)， 取最大值1，所以 的最大值為 .

點(diǎn)評(píng)：在第一問(wèn)中運(yùn)用了平面向量的關(guān)于模長(zhǎng)的運(yùn)算來(lái)求 的值，第二問(wèn)主要是將數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)的恒等變形相結(jié)合來(lái)求解函數(shù)的最大值，使解題思路更加清晰明了。

由上可知，這方面的題目比較靈活，學(xué)生即使記住了公式，卻不能靈活的使用，而且思維固定，不能在短時(shí)間內(nèi)想到正確的解題思路，因此錯(cuò)誤率比較高。為了解決這一問(wèn)題，經(jīng)過(guò)探討、研究，發(fā)現(xiàn)可以將平面向量融入到三角函數(shù)中，能夠更好地解決平面向量和三角函數(shù)中的難題。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊亮.高中數(shù)學(xué)解題中向量方法的應(yīng)用研究[J].高中數(shù)理化，2015（18）：10.

[2]石小勝.向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011（02）：38-40.

作者簡(jiǎn)介：鄭茜鑫，女，河南周口人，河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院2017級(jí)學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)教育碩士。