姚 波, 張 瑤

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

在控制理論中,能夠把極點(diǎn)配置到所希望的位置上且能保證閉環(huán)系統(tǒng)具備特定的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性是控制領(lǐng)域的基本問題。然而精確的極點(diǎn)配置問題較難真正實(shí)現(xiàn),所以區(qū)域極點(diǎn)配置成為控制界研究的熱門問題。在文獻(xiàn)[1-2]中,給出了區(qū)域極點(diǎn)配置控制器的設(shè)計(jì)算法,文獻(xiàn)[3]給出了垂直條形區(qū)域極點(diǎn)配置的充要條件,以此為基礎(chǔ),提出了不確定系統(tǒng)垂直條形區(qū)域極點(diǎn)配置的充分條件。文獻(xiàn)[4-5]給出了線性系統(tǒng)區(qū)域極點(diǎn)配置的理論依據(jù)。但是在現(xiàn)實(shí)的控制系統(tǒng)中,系統(tǒng)不確定性往往會(huì)出現(xiàn)且無法控制,這些不確定性的發(fā)生會(huì)使系統(tǒng)原有性能失去作用,甚至?xí)p壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性,上述文獻(xiàn)針對(duì)系統(tǒng)的不確定性給出了可靠控制的理論依據(jù),可靠控制盡管能夠使系統(tǒng)依然漸近穩(wěn)定,但是保守性過強(qiáng),設(shè)計(jì)可靠控制系統(tǒng)會(huì)造成能源大量的浪費(fèi)。所以容忍區(qū)間的問題進(jìn)入了人們的研究領(lǐng)域中。文獻(xiàn)[6-15]給出了控制系統(tǒng)容忍區(qū)間的概念及系統(tǒng)硬件冗余度算法。所以若考慮系統(tǒng)的不確定性,對(duì)不確定參數(shù)容忍區(qū)間的分析有著重要研究意義。

本文在線性系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋垂直條形區(qū)域極點(diǎn)配置問題的基礎(chǔ)上,思考系統(tǒng)的不確定性,剖析每個(gè)不確定項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的影響,提出了系統(tǒng)不確定參數(shù)容忍區(qū)間的概念,通過闡發(fā)每個(gè)不確定參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響狀況,得到了系統(tǒng)不確定參數(shù)容忍區(qū)間的計(jì)算方法。系統(tǒng)設(shè)計(jì)人員可以根據(jù)不確定參數(shù)的容忍區(qū)間大小判斷不確定參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響程度,進(jìn)而設(shè)計(jì)出一套性能較好的系統(tǒng)。

1 問題描述

考慮線性系統(tǒng):

(1)

這里:x(t)是系統(tǒng)的n維狀態(tài)變量;u(t)是系統(tǒng)的p維輸入變量;y(t)是系統(tǒng)的q維輸出變量;系數(shù)矩陣A,B,C是不依附于狀態(tài)和輸入的的常數(shù)矩陣。

u(t)=Ky(t)

(2)

由式(1)和式(2)結(jié)合形成如下的閉環(huán)系統(tǒng):

(3)

命題1[8]矩陣A的全部特征值都在H1和H2的垂直條形區(qū)域內(nèi),當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)稱正定矩陣X,使得

(4)

命題2[8]考慮閉環(huán)系統(tǒng),存在靜態(tài)輸出反饋控制器K,且系統(tǒng)的極點(diǎn)能夠配置到H1和H2的垂直條形區(qū)域中,當(dāng)且僅當(dāng)存在正定的矩陣X和矩陣U,使得

(5)

存在可行解為(U,X),則u(t)=UV-1x(t)為系統(tǒng)相應(yīng)的靜態(tài)輸出反饋控制器,其中V由VC=CX求得。

如果考慮系統(tǒng)的不確定因素,那么系統(tǒng)可以表述為

(6)

此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)表述為

(7)

2 主要結(jié)果

3 仿真算例

考慮線性系統(tǒng):

設(shè)定系統(tǒng)的第ij項(xiàng)不確定參數(shù)波動(dòng)區(qū)間為-5≤fij≤5。

現(xiàn)考慮此系統(tǒng)中的不確定因素在垂直條形區(qū)域中極點(diǎn)配置問題,以及系統(tǒng)不確定參數(shù)波動(dòng)的容忍區(qū)間。研究表明,系統(tǒng)不確定參數(shù)的不同對(duì)系統(tǒng)性能的影響程度也不同,容忍區(qū)間越小,對(duì)系統(tǒng)性能的影響越大。如圖2、圖3和圖4所示。圖2描述的是系統(tǒng)不確定參數(shù)f11∈[-5,5]波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響程度,可以觀察到系統(tǒng)不確定參數(shù)f11波動(dòng)容忍區(qū)間為[-2,2.3]。

圖3描述的是系統(tǒng)不確定參數(shù)

圖1 條形極點(diǎn)配置極點(diǎn)分布圖

圖2 參數(shù)f11波動(dòng)容忍區(qū)間Fig.2 Tolerance interval of parameter f11

圖3 參數(shù)f33波動(dòng)容忍區(qū)間Fig.3 Tolerance interval of parameter f33

圖4 參數(shù)f23波動(dòng)容忍區(qū)間Fig.4 Tolerance interval of parameter f23

f33∈[-5,5]波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響程度,可以觀察到系統(tǒng)不確定參數(shù)f33波動(dòng)容忍區(qū)間為[-3.1,2.7]。圖4描述的是系統(tǒng)不確定參數(shù)f23∈[-5,5]波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響程度,可以觀察到不確定參數(shù)f23在[-5,5]范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)容忍區(qū)間極大,即不確定參數(shù)f23在[-5,4]范圍內(nèi)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的性能不造成影響,由上述所提規(guī)律可知,可以擴(kuò)大參數(shù)f23左側(cè)波動(dòng)幅度求得其容忍區(qū)間的大小。

由上述數(shù)據(jù),可知系統(tǒng)不確定項(xiàng)f11對(duì)系統(tǒng)的影響較不確定項(xiàng)f33對(duì)系統(tǒng)的影響較大。加大不確定參數(shù)的波動(dòng)幅度可以得到f23項(xiàng)的容忍區(qū)間。

4 結(jié) 論

在實(shí)際的工業(yè)設(shè)計(jì)問題中,系統(tǒng)中的很多不確定因素是客觀存在的,設(shè)計(jì)者若能掌握好各個(gè)不確定參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響程度,那么在設(shè)計(jì)過程中就可以降低能源上的浪費(fèi),同時(shí)也能保證系統(tǒng)有較高的安全性能。

本文研究了線性系統(tǒng)不確定參數(shù)容忍區(qū)間的問題,給出了在垂直條形區(qū)域內(nèi)不確定參數(shù)容忍區(qū)間的算法。容易得知,系統(tǒng)的每個(gè)不確定參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響程度是不一樣的。容忍區(qū)間越小,對(duì)系統(tǒng)的影響越大,相反則次之。最后利用算例仿真說明了該算法的可行性和重要性。

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