李 軒，李大帥，王俊杰，張冠中，張 雪

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

理想流體在變截面管中的流動(dòng)模型可以加深學(xué)生對(duì)流體動(dòng)力學(xué)和熱學(xué)等學(xué)科的理解程度，增強(qiáng)自身科學(xué)素養(yǎng)水平，因此受到了很多競(jìng)賽的青睞[1]. 本文把水視為理想流體，首先利用理想氣體狀態(tài)方程和伯努利方程得到最大噴射高度的表達(dá)式，建立了傾斜變截面管理想流體噴射模型；引入管徑比這一概念，討論了不同傾角下管內(nèi)氣體溫度、初始水量、管徑比等參量對(duì)最大噴射高度的影響，指出文獻(xiàn)[2]分析過(guò)程中存在的一些不足并對(duì)其進(jìn)行修正.

1 理論分析

簡(jiǎn)化模型如圖1所示，作以下近似：1)空氣視為理想氣體，滿(mǎn)足理想氣體狀態(tài)方程；2)水視為理想流體且自身特性(如密度等)不受溫度等因素的影響；3)短時(shí)噴射過(guò)程中管內(nèi)氣體溫度保持恒定；4)空氣阻力、空氣流速等對(duì)水柱狀態(tài)不施加影響；5)變截面管內(nèi)壁光滑且絕熱.

圖1 處于噴射過(guò)程中的變截面管模型

設(shè)粗管內(nèi)徑為r2，高度為H，細(xì)管內(nèi)徑為r1，室溫為T(mén)1，大氣壓強(qiáng)為p1，初始管內(nèi)的水柱高度為h且h

管內(nèi)氣體變化滿(mǎn)足理想氣體方程

(1)

對(duì)噴射過(guò)程列伯努利方程

(2)

并根據(jù)流體力學(xué)連續(xù)性方程，有

(3)

(4)

(5)

2 模擬研究

2.1 不同傾角θ下管內(nèi)氣體溫度T2對(duì)最大噴射高度x的影響

設(shè)計(jì)參量：管徑比ξ=0.1，粗管長(zhǎng)H=30 cm，大氣壓強(qiáng)p1=101 kPa，重力加速度g=9.80 m/s2，密度ρ=1 g/cm3，初始水柱高度h=20 cm，室溫t1=25 ℃，氣體溫度t2=25,50,75,100 ℃.不同傾角下管內(nèi)氣體溫度對(duì)最大噴射高度的影響如圖2所示.

圖2 不同傾角下管內(nèi)氣體溫度對(duì)最大噴射高度 影響關(guān)系曲線(xiàn)

由圖2可知：1)在氣體溫度不變的情況下，最大噴射高度x隨傾斜角度θ的增大而減小，且減小速率隨傾角增大而漸緩. 其原因可以歸結(jié)為隨著傾角的增大，水自身的重力勢(shì)作為一種阻礙因素對(duì)減小噴射高度的促進(jìn)作用也在隨之增大；2)不同傾角θ下，氣體溫度T2的改變對(duì)θ-x關(guān)系曲線(xiàn)的影響程度是不同的，傾角越小，溫度對(duì)其影響程度越大. 這反映出傾角θ和溫度T2兩參量對(duì)最大噴射高度x的作用效果不同，溫度的升高對(duì)噴射高度的增加起到促進(jìn)作用，而傾角則恰恰相反；3)當(dāng)溫度t2≤25 ℃時(shí)，射流現(xiàn)象不會(huì)出現(xiàn)，x值甚至在θ>0°時(shí)為負(fù)值，即出現(xiàn)了液體倒流現(xiàn)象，且傾角越大，倒流現(xiàn)象越明顯. 射流現(xiàn)象主要靠流體下方的空氣受熱膨脹給流體施以噴射動(dòng)力形成的，當(dāng)內(nèi)部空氣一旦喪失了與外界空氣存在的溫度差之后，熱膨脹現(xiàn)象便不再出現(xiàn)，射流現(xiàn)象也不會(huì)產(chǎn)生. 如若此時(shí)管又具有一定傾角，此時(shí)流體便會(huì)由于自身受到的重力作用而產(chǎn)生倒流. 而最大噴射高度為0所需滿(mǎn)足的條件，可對(duì)流體列一平衡方程

p2=p1+ρghsinθ0,

(6)

結(jié)合(1)式得到

(7)

利用(7)式可以求出在某一特定傾角θ0下流體恰好保持平衡所需的溫度,由實(shí)驗(yàn)可得t2-θ0圖如圖3所示.

圖3 平衡狀態(tài)下t2-θ2關(guān)系曲線(xiàn)

由圖3可知，傾角越大，其所需要保持平衡狀態(tài)的溫度也就越高，并在90°達(dá)到最大值，此時(shí)流體的重力勢(shì)能有最大值，與前文所述理論分析一致.

2.2 不同傾角θ下初始管內(nèi)水量V1′對(duì)最大噴水高度x的影響

設(shè)計(jì)參量：細(xì)管內(nèi)徑r1=0.50 mm，粗管長(zhǎng)H=50 cm，大氣壓強(qiáng)p1=101 kPa，重力加速度g=9.80 m/s2，密度ρ= 1 g/cm3，室溫t1=25 ℃，管內(nèi)氣體溫度t2=75 ℃，粗管內(nèi)徑和初始水柱高度h見(jiàn)表1.

圖4為不同傾角下初始水量對(duì)最大噴射高度的影響關(guān)系曲線(xiàn)，由圖4(a)可知：1)在管徑比固定的情況下，隨著傾斜角度的增加，最大噴射高度減??；2)傾角固定時(shí)，管徑比越小，最大噴射高度越大；3)小角度下的管徑比對(duì)最大噴射高度的影響是巨大的. 可以看到，ξ1和ξ4僅相差3倍，但在傾角0°時(shí)對(duì)應(yīng)的最大噴射高度卻差了接近10倍，但管徑比在大角度下對(duì)最大噴射高度的影響卻很小. 圖4(b)的曲線(xiàn)形狀和圖4(a)類(lèi)似，初始水柱高度同樣也是在小角度處對(duì)最大噴射高度影響大，但不同的是，傾角固定時(shí)，初始水柱高度越大，最大噴射高度越小. 即初始水量增加時(shí)，可能會(huì)對(duì)最大噴射高度造成2種截然相反的結(jié)果. 其中文獻(xiàn)[1]在研究垂直情況下初始水柱高度對(duì)最大高度的影響時(shí)，給出了“由于吸水量的增加會(huì)導(dǎo)致水柱的質(zhì)量增加，因此噴泉高度會(huì)隨吸水的質(zhì)量增大而減小”這樣的解釋?zhuān)瑥倪@里看來(lái)這種解釋是不恰當(dāng)?shù)模湓蚴浅跏妓|(zhì)量的增加并不一定會(huì)造成最大噴射高度的減小. 為此給出較為合理的解釋?zhuān)?)在初始水柱高度保持不變的情況下，管徑比越大，管路的收縮程度越大，變截面管對(duì)應(yīng)的粗管口的收縮系數(shù)增大，粗管口的流速增大，對(duì)應(yīng)有最大噴射高度增大；2)在管徑比保持不變的情況下，增加初始水的高度不僅增加了水的質(zhì)量，增加了阻力因素，而且減小了熱空氣體積這一動(dòng)力因素. 這樣從兩方面減小了最大噴射高度.

表1 粗管內(nèi)徑和初始水柱高度設(shè)計(jì)參量

(a)h=10 cm時(shí)不同粗管內(nèi)徑下x-θ關(guān)系曲線(xiàn)

(b)ξ=1/10時(shí)不同初始水柱高度下x-θ關(guān)系曲線(xiàn)圖4 不同傾角下初始水量對(duì)最大噴射高度影響

2.3 垂直狀態(tài)下管徑比ξ對(duì)最大噴水高度x的影響

文獻(xiàn)[2]中以吸量管這一變截面管為例對(duì)傾角90°時(shí)的最大噴水高度影響因素進(jìn)行了分析，但遺憾的是并未意識(shí)到在其他條件不變時(shí)，對(duì)最大噴水高度起影響作用的因素是管徑比ξ.

傾角θ=90°時(shí)管徑比ξ對(duì)最大噴水高度x的影響如圖5所示. 設(shè)計(jì)參量：管長(zhǎng)H=30 cm，大氣壓強(qiáng)p1=101 kPa，重力加速度g=9.80 m/s2，密度ρ=1 g/cm3，初始水柱高度h=20 cm，室溫t1=25 ℃，氣體溫度t2=25，50，75，100 ℃.

圖5 垂直狀態(tài)下管徑比對(duì)最大噴射高度的 影響

由圖5可知，在溫度不變時(shí)，增加管徑比可以增大最大噴射高度，但隨著管徑比的增大，最大噴射高度會(huì)趨于穩(wěn)定，即管徑比對(duì)最大噴射高度的影響會(huì)隨著管徑比的增大而趨近于0. 同時(shí)應(yīng)當(dāng)看到，在t2=25 ℃時(shí)，流體確實(shí)會(huì)因重力勢(shì)作用發(fā)生倒流現(xiàn)象. 結(jié)果和上述分析結(jié)論自洽，再一次說(shuō)明了上文分析結(jié)果的正確性.

3 結(jié) 論

建設(shè)了傾斜變截面管理想流體噴射模型，并采用數(shù)值模擬的方法研究不同傾角參量的改變對(duì)最大噴射高度的影響. 分析得到：1)升高溫度、減小傾角、增大管徑比、減少初始水柱高度等方法均可使最大噴射高度增加；2)不同傾角下存在不同的特定溫度對(duì)應(yīng)流體的平衡狀態(tài)；3)管徑比在噴射模型構(gòu)建中具有重要作用，對(duì)最大噴射高度的影響會(huì)隨著管徑比的增大而趨于0.

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