仵健磊 彭 偉# 董輝躍 姜獻(xiàn)峰 劉云峰*

1(浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部/浙江省重點實驗室，杭州 310014)2(浙江大學(xué)浙江省先進(jìn)制造技術(shù)重點實驗室，杭州 310027)

引言

牙周膜是連接在牙齒與牙槽骨之間的一層結(jié)締纖維組織，具有支持牙齒，傳遞、吸收和緩沖咬合力的作用[1-2]。臨床正畸治療中，對于錯位牙齒的矯正，牙周膜起著至關(guān)重要的作用。一般來說，由矯治器產(chǎn)生的矯治力首先傳遞給牙齒，再經(jīng)牙周膜緩沖之后作用在牙槽骨上，從而引起牙槽骨改建等一系列生物反應(yīng)，并最終在矯治力的作用下，牙齒產(chǎn)生相應(yīng)的移動和轉(zhuǎn)動，達(dá)到正畸的目的。在此矯治過程中，牙周膜起著重要作用，越來越多的學(xué)者認(rèn)為牙槽骨的改建與牙周膜的應(yīng)力和應(yīng)變息息相關(guān)[3-4]。因此，需要針對牙周膜開展更加深入的研究。

牙周膜作為人體生物組織，實驗材料來源有限，只能從捐獻(xiàn)尸體的口腔中獲?。涣硪环矫?，牙周膜為活性組織且極易遭到破壞，正常人體牙周膜厚度為0.2～0.3 mm[5]；牙周膜與其他人體口腔組織分離之后將失去生物活性，所以牙周膜的保存條件也極為苛刻。在實驗條件有限的情況下，更多的研究人員采用有限元的方法對牙周膜進(jìn)行相關(guān)研究。目前，有限元法已經(jīng)在口腔正畸乃至整個醫(yī)療領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，具有準(zhǔn)確度高、重復(fù)性好、可操作性強(qiáng)等特點，越來越受到正畸領(lǐng)域人員的青睞[6-9]。

為了更好地研究矯治力-牙周膜應(yīng)力應(yīng)變-牙槽骨改建-牙齒移動之間的復(fù)雜作用關(guān)系，需要建立合適的牙周膜本構(gòu)模型。在之前的許多有限元工作中，牙周膜多采用線彈性材料模型[10-11]，這顯然與實際不符。研究表明，牙周膜的本構(gòu)關(guān)系曲線表現(xiàn)出很強(qiáng)的指數(shù)形式[12]。為此，黃輝祥等構(gòu)建了牙周膜的超彈性模型[1-2]，董晶等將牙周膜設(shè)定為雙線性模型進(jìn)行有限元分析[13]，魏志剛等分別將牙周膜設(shè)定為線彈性、超彈性及次彈性模型進(jìn)行研究[14]。但是，相比于彈性材料，牙周膜更貼近黏彈性材料，其黏性作用不能忽視[15]。魏志剛等同時又構(gòu)建了牙周膜的黏彈性模型，但并沒有對黏彈性模型的有效性進(jìn)行合理的驗證[16]；國外學(xué)者NataliA等和Iman Z等分別構(gòu)建了牙周膜的黏彈性模型，但是其模型數(shù)據(jù)來源為豬和牛，并沒有對人體牙周膜進(jìn)行直接研究，其本構(gòu)模型參數(shù)并不適用于人體牙周膜[4,17]。

為了構(gòu)建一種準(zhǔn)確度高、實用性強(qiáng)的牙周膜本構(gòu)模型，以人體牙周膜平面剪切和應(yīng)力松弛實驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用有限元ABAQUS中自帶的非線性材料模型，通過實驗數(shù)據(jù)擬合確定符合牙周膜特性的超-黏彈性本構(gòu)模型及參數(shù)，并通過對牙周膜平面剪切實驗過程的模擬來驗證牙周膜本構(gòu)模型的正確性，最后通過對比牙周膜線彈性與超-黏彈性模型，分析不同牙周膜本構(gòu)模型力學(xué)響應(yīng)的差異，為口腔正畸生物力學(xué)研究提供有力的理論支持。

1 材料和方法

1.1 人體牙周膜實驗數(shù)據(jù)

為了構(gòu)建更加準(zhǔn)確的牙周膜本構(gòu)模型，首先需要可靠性好的牙周膜實驗數(shù)據(jù)。牙周膜作為人體生物活性組織，其實驗材料的獲取受到很大程度的限制，經(jīng)過查閱大量文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，Toms等的牙周膜實驗數(shù)據(jù)具有較高的可信度，這里將以此實驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進(jìn)行牙周膜模型的構(gòu)建[18]。

Toms等的實驗牙周膜對象取自一位男性(年齡78歲)尸體的下頜前磨牙，針對前磨牙牙根進(jìn)行0.85 mm厚度的組織切片處理，最終獲得了A1～A5共5組實驗試樣。牙根組織切片試樣包括牙根、牙周膜以及牙槽骨，試樣的橫斷面垂直于牙長軸方向，如圖1所示。

針對牙根組織切片試樣，分別進(jìn)行了剪切實驗和應(yīng)力松弛實驗，實驗測試簡圖如圖 2所示，實驗過程中牙槽骨固定，對切片的中間牙根施加位移載荷，壓頭下壓速度為0.2 mm/min。實驗中以牙周膜的應(yīng)變角γ作為應(yīng)變，以壓頭受到的反作用力F與牙周膜圓周面積As的比值作為應(yīng)力，試樣厚度為d，牙周膜的寬度為WL，壓頭的位移量為Δl。

經(jīng)過對5組牙根組織切片的實驗測試，獲得了牙周膜剪切實驗應(yīng)力應(yīng)變曲線和應(yīng)力松弛曲線，Toms等通過對實驗曲線的處理進(jìn)一步獲得了牙周膜剪切應(yīng)力應(yīng)變曲線方程和歸一化應(yīng)力松弛曲線方程，如表1所示。接下來，將以該實驗數(shù)據(jù)作為牙周膜本構(gòu)模型及參數(shù)構(gòu)建的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

圖2 實驗測試簡圖

表1 5組牙周膜試樣的剪切應(yīng)力-應(yīng)變曲線方程和歸一化應(yīng)力松弛曲線方程

1.2 牙周膜本構(gòu)模型

牙周膜既不屬于符合胡克定律的彈性體，也不屬于非牛頓流體，而是介于兩者之間的一種高黏彈性體，其力學(xué)模型及參數(shù)與彈性體和流體均不相同。黏彈性材料的流動變形包括兩個階段：在初始階段首先表現(xiàn)為一個瞬間的彈性變形，隨后是持續(xù)一段時間的黏性變形，在此期間保持應(yīng)變不變的情況下，應(yīng)力會隨著時間而逐步衰減。牙周膜作為一種黏彈性材料，在受載荷的一瞬間表現(xiàn)為超彈性，隨后又表現(xiàn)為黏彈性，因此需要分別定義牙周膜的超彈性力學(xué)行為和黏彈性力學(xué)行為，即超-黏彈性行為[1]，其中超彈性模型的模量時間尺度為瞬態(tài)。

1.2.1超彈性本構(gòu)模型

基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，多項式形式模型是最早提出的一種經(jīng)典本構(gòu)模型。對于各向同性材料，應(yīng)變能密度可以分解為應(yīng)變偏量能和體積應(yīng)變能兩部分，形式如下：

(1)

式中，f和g分別表示應(yīng)變偏量能和體積應(yīng)變能。

將式(1)進(jìn)行泰勒展開，可得

(2)

(3)

一般來說，縮減多項式模型的階數(shù)N越高，其適用性越廣。在有限元軟件ABAQUS中縮減多項式模型的最高階數(shù)為六階。這里，將采用縮減多項式模型描述牙周膜的超彈性行為。

1.2.2黏彈性本構(gòu)模型

(4)

如果將多個Maxwell模型并聯(lián)或多個Kelvin模型串聯(lián)起來，就得到了廣義Maxwell模型和廣義Kelvin模型，后者又稱為Kelvin鏈。對于Kelvin鏈而言，其本構(gòu)模型為

(5)

即

(6)

式(5)、(6)即為線性黏彈性本構(gòu)方程的一般表達(dá)。對于不可壓縮各向同性材料，體積應(yīng)力只改變體積，應(yīng)力偏量導(dǎo)致等體積的形狀畸變，而且兩種情形下的黏彈特性與效應(yīng)可分別考慮。因而其本構(gòu)關(guān)系可以表示為

P′·Sij=Q′·eij，P″·σkk=Q″·εkk

(7)

對于大變形黏彈性，又可將其黏彈性本構(gòu)模型改寫成應(yīng)變能形式，其Prony形式為

(8)

式中，W0為瞬時應(yīng)變能函數(shù)，W∞為穩(wěn)態(tài)應(yīng)變能函數(shù)，δn為能量函數(shù)乘子，λn為松弛時間常數(shù)，N為階數(shù)，t為時間。

由式(8)，可得名義應(yīng)力為

(9)

式中，xI為變形狀態(tài)時的坐標(biāo)，XJ為初始狀態(tài)時的坐標(biāo)。

假設(shè)W∞=0，則

(10)

由此可得牙周膜黏彈性的歸一化應(yīng)力松弛函數(shù)為

(11)

式(11)為目前有限元軟件ABAQUS中用來描述材料黏彈性特性的表達(dá)式。

1.3 牙周膜模型數(shù)據(jù)擬合

為了確定牙周膜本構(gòu)模型的具體形式以及模型參數(shù)，需要基于ABAQUS中現(xiàn)有縮減多項式模型和歸一化應(yīng)力松弛函數(shù)模型進(jìn)行人體牙周膜實驗數(shù)據(jù)擬合，其中牙周膜平面剪切實驗的擬合范圍是0～0.6 rad，應(yīng)力松弛實驗的擬合范圍是0～60 s，分別針對試樣A1～A5進(jìn)行配準(zhǔn)擬合，選擇擬合度最高的材料模型作為牙周膜的本構(gòu)模型。

1.4 牙周膜剪切實驗的有限元模擬

為驗證數(shù)據(jù)擬合獲得的牙周膜本構(gòu)模型及參數(shù)，將針對牙周膜平面剪切實驗過程進(jìn)行有限元模擬，通過對比模擬曲線與實驗曲線驗證模型的正確性。為簡化分析，假設(shè)牙根組織切片試樣近似為軸對稱圓盤結(jié)構(gòu)，取其圓周向截面作為研究對象，并以此建立二維平面軸對稱有限元模型，如圖3所示(牙槽骨模型未畫出)。牙周膜的外側(cè)設(shè)置為固定約束，牙周膜的最大應(yīng)變角為0.6 rad，屬性定義采用本文第1.3節(jié)擬合獲得的牙周膜模型及參數(shù)；牙根設(shè)定為彈性體，彈性模量為20 000 MPa，泊松比0.3[10]，其上端面以0.2 mm/min的速度施加位移載荷，牙根與牙周膜之間設(shè)定為黏結(jié)約束。因模型為軸對稱模型，同時為了保證計算精度，牙齒和牙周膜單元類型均采用四邊形雜交軸對稱單元CAX8H。試樣A1～A5的建模數(shù)據(jù)如表2所示，網(wǎng)格單元總數(shù)分別為900，1 100，1 100，1 100和1 100。有限元仿真中，以牙周膜的應(yīng)變角γ作為剪切應(yīng)變，剪切應(yīng)力則采用牙根上端面反作用力RF之和與牙根切片厚度d的比值。

圖3 實驗?zāi)M的有限元模型

1.5 不同牙周膜模型力學(xué)響應(yīng)的對比

為探究牙周膜超-黏彈性模型在正畸治應(yīng)用的力學(xué)響應(yīng)，以牙周膜線彈性模型為對比，對不同牙周膜模型對正畸力的傳遞、緩沖效果進(jìn)行有限元分析。為方便有限元分析計算，簡化牙齒、牙周膜為二維平面模型(牙槽骨省略)，如圖4所示。牙周膜

表2 實驗?zāi)M中試樣A1～A5的有限元參數(shù)

與牙齒為黏結(jié)約束，牙周膜的一側(cè)固定約束，牙根的一側(cè)施加位移載荷，總位移量為0.1 mm，加載時長1 s，為獲得較高的計算精度，牙齒與牙周膜網(wǎng)格單元均采用八結(jié)點雙向二次平面應(yīng)力四邊形單元CPS8R，其中牙根網(wǎng)格單元數(shù)為400，牙周膜網(wǎng)格單元數(shù)為120。牙周膜厚度取0.25 mm，牙周膜線彈性模型的彈性模量取0.68 MPa，泊松比取0.49[18]；牙周膜超-黏彈性模型取自上述研究結(jié)果，材料參數(shù)參照A1組試樣。

圖4 用于牙周膜力學(xué)響應(yīng)對比的有限元模型

2 結(jié)果

2.1 牙周膜實驗數(shù)據(jù)擬合及模型參數(shù)

以人體牙周膜平面剪切數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，選擇縮減多項式模型對牙周膜超彈性特性進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，其中試樣A1不同階數(shù)縮減多項式模型的擬合結(jié)果如圖5所示；以牙周膜平面剪切數(shù)據(jù)和應(yīng)力松弛實驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，以歸一化的應(yīng)力松弛函數(shù)對牙周膜的黏彈性特性進(jìn)行擬合，試樣A1的黏彈性模型擬合結(jié)果如圖6所示(其他試樣A2～A5擬合曲線與A1基本相同，不再列出)。

從牙周膜超彈性模型的擬合結(jié)果來看，縮減多項式的階數(shù)越高，擬合曲線越是貼近于實驗曲線，其中六階縮減多項式數(shù)據(jù)擬合獲得的模型參數(shù)列于表3；牙周膜黏彈性模型的擬合曲線與實驗曲線完全吻合，擬合獲得的參數(shù)如表3所示。

圖5 超彈性模型擬合曲線

圖6 黏彈性模型擬合曲線

2.2 牙周膜剪切實驗?zāi)M結(jié)果

通過不同牙周膜試樣(包括試樣A1～A5)平面剪切實驗過程的有限元模擬，經(jīng)后處理獲得了牙周膜剪切實驗的應(yīng)力應(yīng)變曲線，如圖7所示。其中，實驗曲線是指Toms等在牙周膜平面剪切實驗中獲得的剪切應(yīng)力應(yīng)變曲線，模擬曲線是指利用本文第2.1節(jié)中構(gòu)建的牙周膜本構(gòu)模型及參數(shù)，通過有限元對Toms等的實驗過程進(jìn)行模擬，獲得的牙周膜剪切應(yīng)力應(yīng)變曲線。

2.3 不同牙周膜模型的力學(xué)響應(yīng)

在相同位移載荷作用下，牙周膜線彈性模型與超-黏彈性模型所產(chǎn)生的力學(xué)響應(yīng)云圖(mises應(yīng)力)如圖8所示；利用后處理手段提取牙周膜底側(cè)

表3 牙周膜本構(gòu)模型曲線擬合參數(shù)

圖7 5組試樣實驗曲線與模擬曲線對比結(jié)果。(a)試樣A1；(b)試樣A2；(c)試樣A3；(d)試樣A4；(e)試樣A5

圖8 不同牙周膜模型的有限元模擬結(jié)果。(a)線彈性模型；(b)超-黏彈性模型

的反作用力，繪制牙周膜反作用力-牙根位移曲線如圖9所示。

圖9 不同牙周膜模型的力學(xué)響應(yīng)

4 討論

從牙周膜試樣A1平面剪切和應(yīng)力松弛實驗數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果圖5可以看出，對于縮減多項式模型，模型的階數(shù)越高，擬合曲線越是貼近于實驗曲線。在擬合的初始階段，牙周膜應(yīng)變角較小，基本所有階數(shù)的縮減多項式模型均能很好地吻合實驗曲線，但是當(dāng)應(yīng)變角持續(xù)增大到0.3 rad時，一階和二階縮減多項式模型的擬合效果不夠理想，隨著應(yīng)變角的持續(xù)增加，一階和二階模型不再適用于牙周膜剪切實驗的數(shù)據(jù)擬合。可以看出，低階縮減多項式模型適用于應(yīng)變角較小時的數(shù)據(jù)擬合，而當(dāng)應(yīng)變角較大時擬合精度較差。相比低階縮減多項式模型，高階模型與實驗曲線具有更高的吻合度，當(dāng)應(yīng)變角增大到0.6 rad時，四階、五階和六階縮減多項式模型仍能夠保持與實驗曲線的吻合。但是，在正畸有限元研究工作中，牙周膜的最大應(yīng)變角不可能只有0.6 rad，選擇更高階數(shù)的縮減多項式模型更加有利于準(zhǔn)確描述牙周膜的力學(xué)行為，為此選擇六階縮減多項式模型描述牙周膜的超彈性特性。

對于牙周膜應(yīng)力松弛實驗的數(shù)據(jù)擬合，從結(jié)果圖6來看，歸一化的應(yīng)力松弛函數(shù)能夠與松弛實驗曲線吻合，從而準(zhǔn)確描述牙周膜的黏彈性力學(xué)行為。從應(yīng)力松弛的實驗曲線以及模擬曲線可以看出，在整個應(yīng)力松弛過程中，當(dāng)應(yīng)變保持不變時，牙周膜的應(yīng)力是隨著時間逐漸減小的。在初始階段，應(yīng)力下降的速度較快，隨著時間推移，應(yīng)力的下降趨勢逐漸平緩，并逐步趨向于一個穩(wěn)定值，這完全符合牙周膜的黏彈性特性[18]。

為了驗證牙周膜本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性，針對牙周膜平面剪切的實驗過程進(jìn)行了有限元模擬，從結(jié)果圖7來看，5組試樣的模擬結(jié)果與實驗結(jié)果基本一致，從而驗證了本研究所構(gòu)建的牙周膜是否黏彈性本構(gòu)模型的正確性。另外，從模擬結(jié)果可以看出， A1、A2、A3、A5試樣具有更高的吻合度，A4組試樣的擬合度效果不夠理想，但模擬結(jié)果和實驗結(jié)果均在同一個數(shù)量級，且整體趨勢一致。實驗曲線與擬合曲線之間存在誤差的原因可能是

1)真實的牙根組織切片有一定的錐度，而在有限元建模時將其簡化為軸對稱的圓盤結(jié)構(gòu)，這種簡化可能會對分析結(jié)果產(chǎn)生不同程度的影響。

2)實驗數(shù)據(jù)取自一位78歲的男性捐獻(xiàn)者，其牙周組織狀況相比于年輕人較差，牙周膜的韌性和抗剪切能力較弱。對于A4組試樣，其牙周膜厚度為(0.14±0.03)mm，而正常人體牙周膜的組織厚度在0.2～0.3 mm附近[1, 5]，由于其牙周膜薄弱，易受環(huán)境因素的干擾，導(dǎo)致實驗結(jié)果與模擬結(jié)果偏差相對較大。

3)為簡化有限元分析，假設(shè)牙根組織切片近似為圓盤結(jié)構(gòu)，為此只構(gòu)建了實驗試樣的二維模型，實際上牙根切片更近似于橢圓柱形，構(gòu)建牙根切片的三維橢圓模型可能更加貼近于實際情況。

以上情況都可能對模擬結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，但總體來說，構(gòu)建的牙周膜超一黏彈性本構(gòu)模型仍具有較高的準(zhǔn)確性。

如圖9所示，針對不同牙周膜本構(gòu)模型對載荷力學(xué)響應(yīng)的模擬結(jié)果可知，線彈性模型與超-黏彈性模型存在明顯的差異性，線彈性模型的力學(xué)響應(yīng)近似為線性曲線，超-黏彈性模型的響應(yīng)曲線近似為指數(shù)形式。在位移量為0～0.06 mm時，兩種模型的力學(xué)響應(yīng)差異較小，超-黏彈性模型曲線略低于線彈性模型曲線，但在位移量超過0.06 mm時，超-黏彈性曲線上升趨勢明顯，線彈性曲線基本保持原來的曲線斜率上升，兩種模型差異越來越大；當(dāng)位移量為0.1 mm時，線彈性模型的牙周膜作用力大小為2.98 N，超-黏彈性模型的為29.92 N，數(shù)量級差異達(dá)到10倍。由此可知，在牙周膜變形量較小、計算結(jié)果要求不精確時，采用線彈性模型可近似替代牙周膜超-黏彈性模型；但在牙周膜變形量稍大時，線彈性模型力學(xué)響應(yīng)與超-黏彈性模型差異較大，需要構(gòu)建更符合牙周膜特性的超-黏彈性模型[16]。符合牙周膜材料屬性的超-黏彈性本構(gòu)模型，對于臨床正畸的有限元研究則更為準(zhǔn)確可靠。

此外，牙周膜作為人體生物組織，其材料來源較少，另一方面牙周膜組織極其薄弱，易受外界因素干擾，這導(dǎo)致人體牙周膜的實驗數(shù)據(jù)較為匱乏。由于只依靠牙周膜的平面剪切數(shù)據(jù)和應(yīng)力松弛數(shù)據(jù)進(jìn)行牙周膜本構(gòu)模型的重建，而缺少牙周膜單/雙向拉壓和體積實驗數(shù)據(jù)，更多類型實驗數(shù)據(jù)的結(jié)合更加有利于構(gòu)建準(zhǔn)確度高的牙周膜本構(gòu)模型[2]，因此對人體牙周膜的實驗以及仿真研究仍有許多工作要做。

5 結(jié)論

1)由六階縮減多項式模型和歸一化應(yīng)力松弛函數(shù)模型組合成的牙周膜超-黏彈性模型，能夠準(zhǔn)確擬合牙周膜的平面剪切和應(yīng)力松弛實驗數(shù)據(jù)。

2)通過對牙周膜平面剪切實驗過程的有限元模擬，可以看出所構(gòu)建的牙周膜本構(gòu)模型具有很高的準(zhǔn)確性。

3)從不同牙周膜本構(gòu)模型的力學(xué)響應(yīng)，可以看出牙周膜應(yīng)變較小時可假設(shè)為線彈性材料，但應(yīng)變較大時必須采用更加符合其特性的超-黏彈性模型。

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