摘 要：本文分析全國1卷2015-2017年關(guān)于圓錐曲線的考試試題，探討高考考查的重點、難點和共同點，了解高考圓錐曲線的考查方向以及考查內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，領(lǐng)會數(shù)形相結(jié)合思想在解題中應(yīng)用，對廣大考生把握考查的難點、有效地掌握考查的關(guān)鍵點具有一定的借鑒意義。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；橢圓；拋物線；韋達(dá)定理

作者簡介：吳紫云，安徽省祁門縣第一中學(xué)教師。（安徽 祁門 100013）

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2018）06-0083-04

一、題目的提出

1. 2015年全國1卷第20題。

在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=與直線y=kx+a（a>0）交于M、N兩點。

（Ⅰ）當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。

2. 2016年全國1卷第20題。

設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E。

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（II）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

3. 2017年全國1卷第20題。

已知橢圓C：+=1（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上。

（I）求C的方程；

（II）設(shè)直線l不經(jīng)過點P2且與C相交于A，B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點。

二、題目的欣賞

1. 選材。這三題都來源于近三年全國1卷理科數(shù)學(xué)試卷的第20題，這些題涉及中學(xué)數(shù)學(xué)的多個主干知識。例如，橢圓的方程及性質(zhì)、拋物線、直線、斜率、導(dǎo)數(shù)、切線方程、圓、直線與圓、直線與橢圓、直線與拋物線等內(nèi)容，這些都是《考試說明》中的B、C等級要求的內(nèi)容，體現(xiàn)了重點內(nèi)容重點考查的命題理念，同時，這些知識點內(nèi)容巧妙組合，自然交匯。

2. 題目源自課本。第二題（2016年高考題）來源于“人教版”A版選修教材2-1的第二章第二節(jié)的課后習(xí)題，在課本2-1的第49頁的第7題；第三題（2017年高考題）來源于“人教版”A版必修2的第四章的第一節(jié)的課后習(xí)題，在課本的第124頁的第6題。這些高考題，有些是題型、有些是方法來源于課本，都是課本中的重要內(nèi)容，體現(xiàn)命題源自課本，而課本是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

3. 設(shè)問。這些題目都設(shè)兩個問題，對于第一個問題大部分學(xué)生都是很熟悉的，自然比較容易得分。例如第一題的第一問，給出了參數(shù)k=0時，求切線方程。給出了參數(shù)的具體數(shù)值，問題便簡單了，但還有一個參數(shù)a，又要求學(xué)生有一定的代數(shù)推理和規(guī)范表達(dá)的能力，所以說第一題即使送分也不是完全送分的。對于第二題，給出兩個角相等，要求學(xué)生有轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把兩角相等轉(zhuǎn)化成斜率之和等于0，能考慮到這一點的學(xué)生就不多了。然后利用直線與拋物線的關(guān)系及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系找到相等關(guān)系，從而求出定點P的坐標(biāo)。要算出最后答案，且其中有兩個參數(shù)k和a，這里的代數(shù)推理運(yùn)算要求很高，對于不少學(xué)生來說是一道有難度的題，也恰恰是一道壓軸題。

4. 解法。

（1）2015年全國1卷第20題。

【解析】（Ⅰ）由題設(shè)可得M（2，a），N（-2，a），或M（-2，a），N（2，a）

∴ y'=x，故y=在x=2a處的導(dǎo)數(shù)值為，C在（2，a）處的切線方程為y-a=（x-2），即x-y-a=0

故y=在x=-2a處的導(dǎo)數(shù)數(shù)值為-，C在（-2，a）處的切線方程為y-a=-（x+2），即x+y=a=0.

故所求切線方程為x-y-a=0或x+y=a=0

（Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點，M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為k1，k2

將y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0

∴ x1+x2=4k，x1x2=-4a

∴ k1+k2=+==

由∠OPM=∠OPN，得直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，則有k1+k2=0所以b=-a，故P（0，-a）。

（2）2016年全國1卷第20題。

解析：（Ⅰ）因為|AD|=|AC|，EB|| AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+

|EB|=|EA|+|ED|=|AD|

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2=16，從而|AD|=4所以|EA|+|EB|=4

由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：+=1（y≠0）

（Ⅱ）當(dāng)l與軸x不垂直時，設(shè)l的方程為y =k（x-1）（k≠0），M（x1+y1），N（x2+y2）

由y=k（x-1）+=1得（4k2+3）-8k2x+4k2-12=0

則x1+x2=，x1x2=

所以|MN|=|x1-x2|

=·

=

過點B（1，0）且與l垂直的直線m：y=-（x-1），A到m的距離為，所以|PQ|=2=4

故四邊形MPNQ的面積S=|MN||PQ|=12

可得當(dāng)l與x軸不垂直時，由k2>0得四邊形MPNQ面積的取值范圍為（12，8）。

當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四邊形MPNQ的面積為12。綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12，8）。

（3）2017年全國1卷第20題。

解析：（I）由于P3，P4兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過P3，P4兩點。

又由+>+知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上。

因此=1+=1，解得a2=4b2=1

故C的方程為+y2=1

（Ⅱ）設(shè)直線P2 A與直線P2 B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，-）。

則k1+k2=-=-1，得t=2，不符合題設(shè)。從而可設(shè)l：y=kx+m（m≠1），將y=kx+m代入+y2=1得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0

由題設(shè)可知△=16（4k2-m2+1）>0 （1）

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-，x1x2=

而k1+k2=+=+=

由題設(shè)k1+k2=-1，故（2k+1）x1x2 + （m-1）（x1+x2） =0

即（2k+1）·+（m-1）·=0

解得k=-

當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時，△>0，欲使l：y-=-x+m，即y+1=-（x-2），所以l過定點（2，-1）。

5. 抓住共同處，分析共同點。這三道題中，有不少共同之處，值得與大家分享。其一，都有直線方程、直線的斜率。其二，都有直線與圓錐曲線的聯(lián)立，都有韋達(dá)定理的使用。其三，三道題就有兩題跟橢圓有關(guān)，只有一題跟拋物線有關(guān)，說明橢圓還是考查的重點。其四，第一問主要是以求曲線方程為主，第二問主要是求范圍問題和定點問題。從這些共同處，不難看出以后教學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容和重要題型。

三、教學(xué)啟示

1. 重視基礎(chǔ)知識的生成，公式的靈活運(yùn)用。圓錐曲線的問題，是高考的必考點，主要考查橢圓、拋物線、直線方程、以及圓等內(nèi)容，這一部分基礎(chǔ)知識點多，且之間又有緊密的聯(lián)系。學(xué)好這一部分內(nèi)容，必須領(lǐng)會橢圓、圓、拋物線等概念，掌握各個性質(zhì)形成過程，不要死記硬背，死記硬背肯定是不行的。在平時的教學(xué)中，教師要重視知識的產(chǎn)生發(fā)展過程，幫助學(xué)生建立和領(lǐng)會知識體系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，能讓學(xué)生領(lǐng)會和掌握主干知識的交匯處。同時，這一章節(jié)有特別多的公式，比如“兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率公式、弦長公式”等內(nèi)容，學(xué)生不僅要知道這些公式是如何產(chǎn)生的，也要掌握這些公式、會運(yùn)用這些公式，它們就是我們手上的“工具”或“武器”，沒有了它們，我們很難解決數(shù)學(xué)里的曲線問題。靈活運(yùn)用它們是教師要思考的，也是學(xué)生學(xué)好圓錐曲線的保障。

2. 重視方法的總結(jié)和升華。在日常的教學(xué)中，對問題的總結(jié)，對方法的歸納都是有必要的。直線與橢圓或拋物線的聯(lián)系，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求弦長問題；中點弦問題、直線的斜率問題也可以轉(zhuǎn)化到兩根的關(guān)系上來。比如，第一題的第二問，由∠OPM=∠OPN到k1+k2=0，再由k1+k2=+===0得出b=-a。第三題的第二問，由k1+k2=-1和k1+k2=+==0，可得到（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0，再把根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理帶入即可等到（2k+1）·+（m-1）·=0，化簡就能得到k=-，最后問題得以解決。從這些都可以看出，直線與圓錐曲線問題，常?？梢詫⒅本€與圓錐曲線聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理以及判別式，把題目中的幾何問題或直線的斜率、弦長公式帶入得以展開。

對于數(shù)學(xué)思想方法，需要教師在日常的教學(xué)和訓(xùn)練中，不斷地概括、提煉、比較、歸納、總結(jié)、反思、體會。相對于基礎(chǔ)題來說，解答時，不能靠記憶或背來解決問題，不然，學(xué)生就失去了理解、領(lǐng)會題目的機(jī)會，也沒有得到總結(jié)和歸納，升華成自己的東西。所以，在日常教學(xué)中，教師一定要注重方法的歸納和總結(jié)，最好讓學(xué)生自己領(lǐng)會，這樣得到的方法、思想才是自己的。

3. 重視運(yùn)算能力和分析能力的訓(xùn)練。近三年全國I卷理科數(shù)學(xué)試卷的第20題，也是必做題的倒數(shù)第2題，是有一定難度的，特別是第二個問，涉及的運(yùn)算很多，再加上還需要分析它們內(nèi)在的聯(lián)系，以及圖像和代數(shù)的關(guān)系，需要很強(qiáng)的分析能力和思維能力。解析幾何的核心是利用代數(shù)方法解決幾何問題，所以代數(shù)運(yùn)算是重要的一環(huán)。從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展來說，小學(xué)只要求在有理數(shù)范圍內(nèi)會加減乘除，初中要求會在實數(shù)范圍的加減乘除，還有冪的一些簡單運(yùn)算，到了高中，不僅要會具體數(shù)字的運(yùn)算，還有冪、對數(shù)、帶字母的運(yùn)算，這里還有許多公式的靈活運(yùn)用，要求高了不少。教師在教學(xué)中，重視加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力的培養(yǎng)，創(chuàng)造機(jī)會讓他們自己去運(yùn)算，提高運(yùn)算能力。

分析能力就是對回答問題的一種反應(yīng)，遇到某些條件，能有及時有效的反應(yīng)，這里面還要利用圖形分析問題，因為圖像比較直觀，便于觀察。一般的，在理解題目后，把問題畫在圖形上，利用圖形分析問題，思考如何解決。例如第二題的第一個問，證明

|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程，經(jīng)過畫圖分析，可知點E的軌跡是一個橢圓，同時要留意題中的點“直線l過點B（1，0）且與x軸不重合”，即要去掉橢圓上與x軸相交的點。對其他有關(guān)直線問題，也都要留意斜率存在和不存在的兩種不同情形，這些都需要教師在日常教學(xué)中，創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)會、掌握和總結(jié)歸納。

學(xué)生解題能力是在學(xué)習(xí)過程中通過不斷地分析問題，轉(zhuǎn)化分解問題，通過不斷的聽懂、反思、感悟、領(lǐng)會、內(nèi)化、遷移等過程中提高的，所以教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生尋找問題的切入點，轉(zhuǎn)化的有效點，運(yùn)算方法的優(yōu)劣，讓學(xué)生體會到困惑、反思、理解、內(nèi)化等過程。

參考文獻(xiàn)

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責(zé)任編輯 黃 晶