尹婷婷， 鄧子辰,2， 蔣憲宏

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710072； 2. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116023)

梁的動力學(xué)問題是一個古老的力學(xué)問題，一直備受學(xué)術(shù)界關(guān)注。在過去的一個多世紀(jì)中，歐拉-伯努利梁模型和鐵木辛柯梁模型相繼被提出，并用于描述柔性梁的動力學(xué)問題，取得了一系列的創(chuàng)新性成果。以上兩種經(jīng)典梁理論所不同的是，歐拉-伯努利梁模型在描述梁的動力學(xué)問題時基于以下假設(shè)：梁只有彎曲變形,而梁對剪切變形完全剛性,即忽略了剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量；而鐵木辛柯梁模型則考慮剪切變形與轉(zhuǎn)動慣量。從模型的完備性方面看，鐵木辛柯梁模型能夠更好地描述柔性梁的動力學(xué)問題。

空間梁動力學(xué)問題相較于傳統(tǒng)梁動力學(xué)問題[1]，具有以下特點：① 空間梁邊界條件可以設(shè)定為兩端自由邊界，而經(jīng)典梁模型通常包括簡支、固支等情形；② 空間梁需要考慮大范圍運動與姿態(tài)及結(jié)構(gòu)振動間的耦合效應(yīng)，而經(jīng)典梁模型僅僅考慮結(jié)構(gòu)振動問題；③ 空間梁由于所處工作環(huán)境復(fù)雜，因此所受載荷相對復(fù)雜。由于以上的特點，空間梁的動力學(xué)問題已經(jīng)引起了力學(xué)界的廣泛關(guān)注：Silva等[2-3]在考慮重力梯度影響的基礎(chǔ)上，給出了空間柔性梁的建模方法和數(shù)值模擬結(jié)果，首開空間梁動力學(xué)問題的研究先河；Chen等[4]開展了關(guān)于空間柔性梁的幾何非線性分析，得到了一些有意義的結(jié)果；Quadrelli等[5]基于多體動力學(xué)理論，采用混合變分方法研究了空間梁的動力學(xué)行為，其研究成果對于本文數(shù)值結(jié)果的分析具有一定的參考意義；劉錦陽等[6]基于連續(xù)介質(zhì)理論，建立了大范圍運動空間梁耦合動力學(xué)模型，并初步仿真分析了空間梁的耦合效應(yīng)；Zhang等[7-8]采用歐拉-伯努利梁模型分析了空間剛?cè)狁詈辖Y(jié)構(gòu)的動力學(xué)行為，將剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)分析思想引入空間結(jié)構(gòu)分析，具有廣泛的應(yīng)用前景；最近，Hu等考慮大跨度空間柔性阻尼梁的結(jié)構(gòu)、姿態(tài)與軌道耦合問題，建立了動力學(xué)方程模型，并采用廣義多辛分析方法[9-10]得到了空間柔性阻尼梁的阻尼效應(yīng)及其平衡態(tài)條件，為本文的建模過程提供了理論依據(jù)。

在針對大跨度空間柔性阻尼梁的保結(jié)構(gòu)分析過程中，由于構(gòu)件跨度大，因此構(gòu)件的柔性將不容忽視，也就是構(gòu)件的柔性變形及振動不可忽略。不可否認(rèn)，空間結(jié)構(gòu)中大跨度的梁結(jié)構(gòu)是比較常見的[11]，同時也應(yīng)該意識到，空間結(jié)構(gòu)中許多連接件的結(jié)構(gòu)跨度比較小且相對剛度較大，這類構(gòu)件在軌組裝之前，如果依然采用已有文獻(xiàn)[12]的建模和分析方法，雖然能使得動力學(xué)分析結(jié)果更為精確，但是將大大增加計算復(fù)雜度，無法為構(gòu)件的實時軌道和姿態(tài)主動控制預(yù)留足夠的時間，以致于無法及時完成組裝過程。因此，在實際工程中，這類構(gòu)件可以簡化為剛性梁然后開展動力學(xué)行為分析，并忽略其阻尼效應(yīng)?；诖?，本文將針對空間剛性梁的平面運動與自身姿態(tài)之間的強(qiáng)耦合問題，采用辛數(shù)學(xué)方法[13]分析空間剛性梁的耦合動力學(xué)特性，為空間結(jié)構(gòu)構(gòu)件的主動控制設(shè)計提供參考。

1 空間剛性梁的耦合動力學(xué)模型

考慮一剛性梁的軌道與姿態(tài)耦合問題，如圖1所示。假定剛性梁受地球中心引力場作用，只考慮其在平面軌道上做面內(nèi)運功，忽略太陽光壓、大氣阻力、日月引力等攝動力的影響。假定該剛性梁運行在地球同步軌道上，建立地球赤道平面的慣性極坐標(biāo)系：以地心O為坐標(biāo)系的極點，極軸OX指向春分點，空間剛性梁的質(zhì)心位置M可用極坐標(biāo)表示為(r,θ)，r為質(zhì)心M到地心O的距離，并稱為極徑，θ為極軸OX與OM之間的夾角，并稱為極角。此外，以軸線OM與空間剛性梁之間的夾角α描述空間梁的姿態(tài)變化。

圖1 空間剛性梁軌道與姿態(tài)耦合動力學(xué)模型

簡化的空間剛性梁模型長度為l，線密度為ρ，其空間位形可用極坐標(biāo)描述為

q=[q1q2q3]T=[rθα]T

三個廣義坐標(biāo)的物理意義分別為：r表示空間剛性梁模型在軌運行的軌道半徑；θ表示空間剛性梁質(zhì)心的軌道轉(zhuǎn)角(即真近角)；α表示空間剛性梁模型的姿態(tài)角。

空間剛性梁模型系統(tǒng)的動能可以表示為

(1)

系統(tǒng)勢能可以表示為[14]

(2)

式中：μ為地球引力常數(shù)，勢能表達(dá)式中的第二項為引力梯度近似項，在梁的跨度不大的情況下，可以忽略其他引力梯度高階項。

引入Lagrange函數(shù)

(3)

根據(jù)第二類Lagrange方程

(4)

可以推導(dǎo)得到空間剛性梁模型的動力學(xué)控制方程

(5)

方程式(5)是一個高度非線性的二階微分方程組，由于受到萬有引力梯度的影響，空間剛性梁模型的軌道坐標(biāo)和姿態(tài)坐標(biāo)耦合在一起，這為空間剛性梁的動力學(xué)分析帶來了極大的不便。

2 辛分析方法

上一節(jié)已提到，方程式(5)是一個強(qiáng)非線性系統(tǒng)，無法采用現(xiàn)有的理論得到其解析解，因此，空間剛性梁的軌道與姿態(tài)耦合動力學(xué)分析必須借助于合適的數(shù)值分析方法。由于空間結(jié)構(gòu)構(gòu)件的一個突出需求就是其在軌服役時間長，因此，所使用的數(shù)值分析方法需要具有長時間的數(shù)值穩(wěn)定性，而保結(jié)構(gòu)分析方法正好能夠滿足這一特殊的需求。

保結(jié)構(gòu)分析方法起源于馮康院士提出的辛幾何算法[15]，近年來已經(jīng)發(fā)展推廣至針對無限維動力學(xué)系統(tǒng)的(廣義)多辛分析方法[16]，并逐漸形成了較為完整的理論體系。馮康院士在提出辛幾何算法的初期，就已經(jīng)開始嘗試將辛幾何算法應(yīng)用于天體力學(xué)的研究，并對天體運動行為進(jìn)行了長時間的預(yù)測，這為本文的研究工作奠定了理論基礎(chǔ)。

(6)

龍格庫塔方法由于其程序模塊化程度高，穩(wěn)定性好，備受計算數(shù)學(xué)家的青睞。然而，從保結(jié)構(gòu)的觀點看，龍格庫塔方法并不能自動保辛，因此，F(xiàn)eng[17]通過添加人工約束，使得龍格庫塔方法在某些特殊情形下滿足保辛要求，從而發(fā)展成了辛龍格庫塔方法。以下就從傳統(tǒng)龍格庫塔方法出發(fā)，簡要介紹辛龍格庫塔方法。s級的經(jīng)典龍格庫塔方法的一般格式為

(7)

Sanz-Serna等[18]已經(jīng)證明式(7)是辛的，當(dāng)且僅當(dāng)其系數(shù)滿足如下的條件

bibj-aijbi-ajibj=0

(8)

式中：i,j=1,2,…,s。

在式(8)中，當(dāng)系數(shù)aij、bi取不同的值時，可以得到不同的辛龍格庫塔格式。一種常用的2級4階辛龍格庫塔格式，其系數(shù)aij、bi取值為

(9)

采用2級4階辛龍格庫塔方法離散對偶方程式(6)，即可得到剛性梁軌道與姿態(tài)耦合動力學(xué)模型的辛龍格庫塔格式。

3 數(shù)值實驗

圖2 軌道半徑擾動量的演化情況

圖3 真近角的演化情況

圖4 姿態(tài)角的演化情況

從圖2～圖4中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)初始姿態(tài)角速度為零時，剛性梁的圓周運動與自身的轉(zhuǎn)動之間沒有發(fā)現(xiàn)顯著的耦合效應(yīng)，這是因為由于梁的尺寸很小，引力梯度的影響難以在數(shù)值結(jié)果中得到體現(xiàn)；當(dāng)初始姿態(tài)角速度不為零時，剛性梁軌道與姿態(tài)之間的耦合效應(yīng)比較明顯，隨著初始姿態(tài)角速度的增大，軌道半徑擾動增大，剛性梁圓周運動周期縮短(表現(xiàn)為真近角增長速度的增大)，姿態(tài)角振動幅值略有減小(為了反映出振動幅值略有減小的趨勢，在圖4中將姿態(tài)角的模擬時間延長至2 160 h)。

以上模擬結(jié)果從一定程度上反映了剛性梁軌道與姿態(tài)之間的耦合效應(yīng)，這些耦合效應(yīng)還需要得到試驗的進(jìn)一步驗證。然而，空間剛性梁的試驗耗資巨大，因此，本文將從另一個角度對以上結(jié)果加以驗證。我們注意到，式(5)是一個嚴(yán)格的保守動力學(xué)系統(tǒng)，而辛方法的最大優(yōu)點就是能夠長時間保持系統(tǒng)的整體能量，因此，在模擬過程中記錄每一時間步的系統(tǒng)總能量

(10)

然后，得到每一時間步的總能量值與初始時刻能量值之間的相對誤差，記為

以case 3情形為例，得到的每個時間點的總能量相對誤差如圖5(a)所示。為了與辛方法做對比，展現(xiàn)辛方法的保結(jié)構(gòu)優(yōu)勢，本文同時采用傳統(tǒng)四階龍格庫塔格式模擬空間剛性梁的空間運動與姿態(tài)演化，在模擬過程中記錄總能量相對誤差，所得到的能量相對誤差如圖5(b)所示。

(a) 辛方法能量相對誤差結(jié)果

(b) 龍格庫塔方法能量相對誤差結(jié)果

從圖5中可以看出，采用辛分析方法能夠長時間保持系統(tǒng)總能量這一守恒量；而使用傳統(tǒng)四階龍格庫塔格式得到的系統(tǒng)總能量相對誤差的數(shù)量級遠(yuǎn)高于使用辛方法所得到的對應(yīng)結(jié)果，并且隨著模擬時間的延長，誤差累積明顯，當(dāng)模擬時長至700 h后，累積的能量相對誤差超過10%。以上結(jié)果間接地證明了相對于傳統(tǒng)的龍格庫塔方法，本文采用辛方法得到的剛性梁軌道與姿態(tài)耦合效應(yīng)的數(shù)值結(jié)果是可信的。

4 結(jié) 論

近年來，空間柔性梁模型及數(shù)值分析方法引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，然而，空間柔性梁的動力學(xué)模型異常復(fù)雜，相應(yīng)的數(shù)值分析方法效率不高，這難以滿足結(jié)構(gòu)主動控制的要求，為此，本文著眼于空間結(jié)構(gòu)中某些大剛度小尺寸連接件，這些連接件在軌組裝之前的動力學(xué)模型沒有必要采用柔性梁模型進(jìn)行動力學(xué)分析，本文將其簡化為空間剛性梁，建立了其軌道與姿態(tài)相互耦合的動力學(xué)模型。針對建立的動力學(xué)模型，采用辛龍格庫塔方法進(jìn)行了剛性梁的耦合動力學(xué)分析，得到了如下結(jié)論：

(1) 當(dāng)剛性梁的初始姿態(tài)角速度為零時，從數(shù)值結(jié)果中無法體現(xiàn)出姿態(tài)與軌道的耦合效應(yīng)，其原因是，相對于軌道半徑，剛性梁的尺寸極小，引力梯度的影響難以在本文數(shù)值結(jié)果中得到體現(xiàn)。這種情形下姿態(tài)與軌道耦合效應(yīng)尚需要發(fā)展更為精確的數(shù)值方法加以分析。

(2) 隨著剛性梁初始姿態(tài)角速度的增大，剛性梁的姿態(tài)與軌道耦合效應(yīng)將愈發(fā)明顯，耦合效應(yīng)體現(xiàn)在：隨著初始姿態(tài)角速度的增大，軌道半徑擾動增大，真近角增長速度的增大，姿態(tài)角振動幅值略有減小。

以上結(jié)論的正確性從文中最后關(guān)于系統(tǒng)總能量相對誤差的結(jié)果中得到間接證明，同時，數(shù)值方法的長時間穩(wěn)定性也得到了相應(yīng)的檢驗。

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