秦東賓， 杜敬利

(西安電子科技大學 電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計教育部重點實驗室，西安 710071)

隨著當代科技的迅速發(fā)展和對宇宙探索的不斷深入，人們對星載天線系統(tǒng)的需求與日俱增，同時對于天線性能指標要求越來越高。靜電成形薄膜反射面天線是一種新型星載可展開天線，如圖1所示,主要結(jié)構(gòu)由基礎(chǔ)電極、薄膜反射面、Astromesh索網(wǎng)、薄膜支撐環(huán)和邊界拉索組成，基礎(chǔ)電極鋪設(shè)在Astromesh索網(wǎng)前索網(wǎng)并施加高電勢，鍍有金屬層的薄膜反射面為等效零勢面，由于電勢差產(chǎn)生靜電力來張拉薄膜，從而使薄膜形成具有一定焦徑比的高精度反射面[1-3]。相對于傳統(tǒng)的可展開天線，其具有口徑大、質(zhì)量輕、形面精度高、收攏體積小、易于折疊和展開、應(yīng)用頻段高等特點[4-5]，被譽為21世紀最具潛力的空間天線結(jié)構(gòu)之一[6]。

圖1 靜電成形薄膜反射面天線結(jié)構(gòu)示意圖

靜電成形薄膜反射面的概念最早于1932年由Gregorwich等[7]提出。基于此概念NASA于1979年制作了一個口徑4.88 m的薄膜反射鏡[8]，雖然受限于當時薄膜制備技術(shù)和機電綜合控制理論并沒有取得滿意的結(jié)果，但是驗證了概念的正確性。后來隨著相關(guān)技術(shù)和理論的進步，靜電成形技術(shù)成功應(yīng)用到小口徑的光學薄膜反射鏡[9-10]，形面精度在微米級別，相較于光學薄膜反射鏡，靜電成形反射面的形面精度要求略低、口徑更大、膜面更深。2004年美國SRS和Northrup Grumman Corp公司研制出首個真正意義上的5 m口徑靜電成形薄膜反射面天線樣機，薄膜反射面采用平面膜裁剪拼接而成，基礎(chǔ)電極共216塊，在13組電壓調(diào)整下膜面精度達到1.1 mm[11]。目前國內(nèi)對靜電成形技術(shù)的研究仍處于基礎(chǔ)探索階段，蘇州大學和長春光機所進行了靜電成形薄膜反射鏡的成形機理和實驗控制研究，西安電子科技大學對靜電成形薄膜反射面的兩場耦合、電極電壓優(yōu)化等理論進行了研究，并制作了0.55 m和2 m實物模型。

薄膜反射面天線的性能主要取決于其反射面形面精度，為了保證天線的工作效率，其精度至少要保證在毫米級別[12]。目前薄膜反射面有三種制作方式：① 利用氣壓作用使平面薄膜變形為近似拋物面形狀；② 利用拋物面狀的模具直接鑄模加工；③ 由平面膜片拼接成旋轉(zhuǎn)拋物面形[13]。第一種加工工藝最簡單，但僅適用于曲率較淺的薄膜反射面，而靜電成形薄膜反射面曲率大，且此工藝成形形面不易保證；第二種方式其工藝最為復雜，加工難度大，且制作費用昂貴；故目前大多使用第三種方法，工藝相對簡單，雖存在設(shè)計誤差卻能滿足精度要求，其完整設(shè)計加工流程包括應(yīng)力釋放、裁剪線布置(大多沿徑向)[14]、曲面展平和拼接成形四個部分。

雖然設(shè)計方法相對完善，然而薄膜反射面本身為柔性結(jié)構(gòu)，自身剛度較低、易褶皺、易變形，且其成形過程中不可避免會受到諸多因素的影響，如薄膜材料偏差、裁剪下料誤差、拼接誤差、粘貼誤差、邊界偏差等，都會影響成形膜面的形面精度，因此關(guān)于薄膜反射面實際成形過程中影響誤差的研究是形面精度問題的熱點之一。Greschik等[15]研究了薄膜厚度偏差、彈性模量偏差以及邊界偏差對反射面精度的影響；Coleman等[16]研究了周邊索力變化、口徑變化和膜面深度對膜面影響；傘冰冰等研究了不同邊界擾動形式以及粘貼條對反射面精度的影響；San等[17]提出了采用平面裁剪片幾何近似為折面獲得無應(yīng)力初始膜面的方法模擬設(shè)計誤差，等等。而薄膜成形過程中的膜片拼接誤差和粘貼誤差并沒有進行討論，以往的設(shè)計誤差求解方法誤差較大需要改進。

傳統(tǒng)的薄膜反射面裁剪線布局設(shè)計以設(shè)計誤差最小為準則，設(shè)計誤差與裁剪片數(shù)存在負相關(guān)關(guān)系；而在實際膜面制作過程中，拼接誤差和粘貼誤差等與裁剪片數(shù)存在正相關(guān)關(guān)系，兩者存在矛盾；文獻[18]中表明傳統(tǒng)方法不能獲得最佳裁剪線布局，因此有必要將其他誤差引入的裁剪線布局設(shè)計中。

本文首先對膜面制作中誤差源進行分類，并針對各誤差分別用數(shù)值方法表示。在此基礎(chǔ)上將各誤差引入到薄膜反射面設(shè)計中建立優(yōu)化模型，最后運用0.55 m口徑天線試驗驗證優(yōu)化模型的有效性。

1 靜電成形薄膜反射面天線模型

1.1 非線性有限元模型方程

本文中研究的靜電成形薄膜反射面天線包括基礎(chǔ)支撐結(jié)構(gòu)、薄膜反射面和邊界拉索，其結(jié)構(gòu)由梁單元、膜單元和索單元構(gòu)成，用非線性有限元模型描述其剛度方程[19]見式(1)

[KL+KNL]{δ}={FT+FE+FS}

(1)

式中：[KL]和[KNL]分別為天線結(jié)構(gòu)的線性剛度矩陣和非線性剛度矩陣；{δ}為節(jié)點位移向量；{FT}、{FE}和{FS}分別為熱載荷向量、靜電面力載荷向量和索拉力載荷向量。

其中，靜電面力載荷與基礎(chǔ)電極通道電壓{U}相關(guān)，因此靜電面力載荷由通道電壓表示并組集

(2)

式中：[Bu]為載荷系數(shù)矩陣；[U*]=diag{U}為電壓轉(zhuǎn)換矩陣。

1.2 形面誤差評價方法

薄膜反射面的形面精度通常利用膜面上各節(jié)點進行求解，依據(jù)薄膜膜面上各節(jié)點坐標的設(shè)計值與實際值的均方根作為評價標準

(3)

式中：Δδi為薄膜反射面上節(jié)點i實際坐標值與設(shè)計坐標值之間的差值;n為節(jié)點數(shù)目。

2 形面誤差分類

薄膜反射面的制作流程，如圖2所示。裁剪設(shè)備裁剪平面膜片，平面膜片放置在拼接模具標定位置，各膜片接縫處由粘貼條沿徑向粘貼，薄膜反射面懸掛在支撐結(jié)構(gòu)上同時在靜電力的作用下形面調(diào)整。在實踐中和相關(guān)文獻中發(fā)現(xiàn)實際成形膜面與仿真膜面存在較大差距，總結(jié)主要誤差源如表1所示。

圖2 薄膜反射面制作流程圖

誤差分類誤差表現(xiàn)形式材料偏差膜材誤差薄膜厚度偏差;彈性模量偏差設(shè)計誤差原理誤差可展曲面逼近不可展曲面制作誤差裁剪誤差膜片邊界形狀不準確拼接誤差拼接模具上膜片放置位置偏差粘貼誤差貼條粘貼用力不均勻造成褶皺邊界誤差膜面邊界擾動分布

膜材偏差主要與薄膜生產(chǎn)廠家的加工制作水平有關(guān)，需通過相關(guān)實驗得到彈性模量、厚度偏差的相關(guān)資料，本文暫不考慮膜材誤差。由平面膜片拼接成拋物面形的設(shè)計方法本身即存在誤差，存在于其設(shè)計流程中應(yīng)力釋放和曲面展平兩個環(huán)節(jié)，其設(shè)計誤差可通過平面裁剪片拼接成形得到成形膜面來求解。在膜面制作過程中發(fā)現(xiàn)，裁剪誤差可采用自動化裁剪裝置改善；則拼接誤差、粘貼誤差和邊界誤差是膜面制作主要的誤差來源，且通常具有一定的隨機性。因此將對設(shè)計誤差和各制作誤差進行數(shù)值分析。

3 形面誤差分析

3.1 設(shè)計誤差分析

拼接成形即是由平面裁剪片拼接還原到設(shè)計曲面過程。此過程中以每片裁剪片的平面坐標作為初始狀態(tài)，通過部分節(jié)點支座位移的方法將膜面提升到設(shè)計位置，膜面在此過程中保持平衡，最終得到的膜面為成形狀態(tài)。在此膜片位移過程中，膜單元的剛體位移、轉(zhuǎn)動并不改變膜單元的面內(nèi)應(yīng)力，只有單元形狀的變化才有改變其應(yīng)力；同時此過程中膜面由初始狀態(tài)到成形狀態(tài)膜面節(jié)點的位移較大，而薄膜本身是一種具有大變形小應(yīng)變特性的柔性結(jié)構(gòu)，具有較強的幾何非線性，因此在薄膜結(jié)構(gòu)建立平衡方程時必須考慮其幾何非線性變形的影響。

非線性有限元法是薄膜結(jié)構(gòu)找形的一種有效方法，將New-Raphson方法運用到其非線性有限元方法的求解中。通過對薄膜面內(nèi)部分節(jié)點施加位移約束并不斷迭代，使膜面發(fā)生變形，直到滿足設(shè)計要求。則薄膜結(jié)構(gòu)的有限元方程可表示為

([KL]i+[KNL]i)·{δ}i=Fi+Ri

(4)

式中：[KL]i、[KNL]i分別為第i個迭代步的薄膜線性和非線性剛度矩陣；{δ}i為位移向量；Fi、Ri分別為等效節(jié)點內(nèi)力和外載荷向量。

上述過程中外荷載為零，Ri=0。為保證計算的精度和收斂性，應(yīng)將整個過程進行分階段計算，即將裁剪片從初始狀態(tài)開始分若干次逐步提升到規(guī)定的位置。同時為了保證找形過程的收斂性，以膜面中節(jié)點的Z坐標作為提升變量，通過各節(jié)點的X,Y坐標的自由移動來保證膜面狀態(tài)的平衡。

計算采用的是U.L.格式，在有限元方程迭代過程中參考位形是不斷改變的。具體步驟如下：

步驟1將膜面各節(jié)點Z坐標固定于初始平面狀態(tài)；

步驟2計算薄膜單元剛度矩陣[K]=[KL]+[KNL]，初始時刻為裁剪片的平面位形、零初始預應(yīng)力，以后迭代步i取當時的位形；

步驟4位移與應(yīng)力迭加得到薄膜結(jié)構(gòu)新的膜面位形為{X}i+1={X}i+{δ}i；{σ}i+1={σ}i+{σ}i；

步驟5利用薄膜結(jié)構(gòu)新的面形和應(yīng)力值求解獲得等效節(jié)點力向量，并對其數(shù)值進行判斷，若其值大于控制精度，則返回步驟2繼續(xù)進行運算直到其數(shù)值滿足精度要求。

通過上述步驟可獲得拼接后的成形膜面，此實際膜面形狀與設(shè)計膜面存在偏差，記為設(shè)計誤差。

3.2 拼接誤差分析

以坐標XYZ描述旋轉(zhuǎn)拋物面形拼接模具，如圖3所示，旋轉(zhuǎn)拋物面方程為Z=(X2+Y2)/4F。

圖3 拼接模具表示

X-X0=Ucosα-Wsinα

Y=V

(5)

Z-Z0=Usinα+Wcosα

將式(5)代入拋物面方程，曲面方程可表示為

(6)

上述分析中，膜片的形狀通過局部坐標系W(U,W)表示，同時膜片中心P0已知，則膜片實際位置可通過其由設(shè)計位置中心P0處角度轉(zhuǎn)動和徑向平移來描述，假定某一膜片的偏移量為{δ,S}。

對于角度偏移量δ，在UV平面定義一圓，半徑為R，沿U方向β=0，則U=Rcosβ,V=Rsinβ，膜片可描述為：W=(R2/8F)cosα(2cosα+sin2α[1-cos 2β])。定義偏差為σ=W(β+δ)-W(β)，則膜片上各點的W方向的偏移量為

W=(R2/8F)cosα(2cosα+sin2α[1-cos 2β])

(7)

偏差定義為σ=W(β+δ)-W(β)，則曲面上各點的W方向的偏移量為

σ=(R2/8F)cosαsin2α[cos 2β-cos(2β+2δ)]

(8)

通過上述方法實現(xiàn)了膜片偏移的數(shù)值表示。各膜片的實際偏移量P={δ1,δ2,…;S1,S2,…}，而在設(shè)計過程中無法得知，且具有一定隨機性，則依據(jù)試驗數(shù)據(jù)來預測。假定膜片的實際偏移量符合均勻分布δi～U(δdown,δup),Si～U(Sdown,Sup)，上標up、down表示變量的上下限值，為試驗測量的極值。那么各膜片的偏移量利用隨機函數(shù)多次取樣來模擬。

3.3 粘貼誤差分析

拼接誤差主要由于貼條不均勻應(yīng)力導致的，同時接縫區(qū)域相對于整個膜面很小，那么可以將接縫區(qū)域等效為索單元，通過對各索段設(shè)置預應(yīng)力來模擬拼接誤差。此外接縫處由于粘貼條的作用材料厚度和剛度都發(fā)生了變化，因此有必要對接縫區(qū)域的材料參數(shù)重新計算。

接縫處由索單元等效，可通過對各個索單元設(shè)置不同預應(yīng)力來模擬實際膜面粘貼時粘貼條應(yīng)力不均勻的情況，且同樣具有隨機性，因此采用與拼接誤差相同的處理辦法。假定接縫處應(yīng)力符合均勻分布，即Tj～U(Tdown,Tup)。

3.4 邊界誤差分析

薄膜反射面的邊界擾動主要受到膜面邊界拉索的影響，每一根邊界拉索都可以通過邊界連接帶改變一段邊界。邊界拉索的索力變化使膜面邊界發(fā)生移動，增大索力會使膜面向外位移，減小則向內(nèi)。則邊界誤差與邊界拉索的索力密切相關(guān)，可通過設(shè)置索力值的形式來模擬邊界誤差。假定邊界拉索索力誤差分布符合均勻分布，即Qj～U(Qdown,Qup)。

4 數(shù)學模型

靜電成形薄膜反射面的裁剪線布局優(yōu)化主要在非線性有限元分析的基礎(chǔ)上，假定電極面布局一定，薄膜反射面劃分為一環(huán)或多環(huán)并在各環(huán)均勻布置裁剪線，如圖4所示，目前膜面一般采用單環(huán)裁剪片進行拼接，而隨著反射面大口徑的要求則其裁剪片的設(shè)計幅寬將超過目前的加工水平，針對實際應(yīng)用應(yīng)對膜面進行分環(huán)處理。通過展平分析和有限元法成形模擬得到新的成形膜面；設(shè)定各膜片偏移量、接縫處模擬索力值和邊界拉索索力誤差值以區(qū)間表示，引入拼接誤差、粘貼誤差和邊界誤差；施加靜電力和索力靜態(tài)分析后得到穩(wěn)定的空間膜面。

圖4 膜面裁剪布局形式

反射面裁剪布局優(yōu)化主要分為兩個過程。首先，在分環(huán)數(shù)目和各環(huán)裁剪片數(shù)一定的情況下，采用一定的優(yōu)化算法對拼接反射面進行電壓優(yōu)化，得到形面精度。其次，以上述過程為基礎(chǔ)，對分環(huán)數(shù)目及各環(huán)裁剪片數(shù)目進行優(yōu)化，從而獲得最優(yōu)解。

此優(yōu)化問題的設(shè)計變量有：膜面分環(huán)數(shù)目n；每環(huán)膜面的裁剪片數(shù)目{w}={w1,w2,…,wn}以及各電壓通道所對應(yīng)的電壓值{U}。裁剪布局優(yōu)化的目標是提高天線有效口徑的反射面精度，為單目標優(yōu)化問題：f={δ}T{δ}。為保證薄膜反射面正常工作防止褶皺的發(fā)生，則膜面內(nèi)部應(yīng)力需大于零，同時應(yīng)力分布應(yīng)盡量均勻。因此，約束函數(shù)設(shè)置為薄膜反射面面內(nèi)最小應(yīng)力大于零，而且面內(nèi)應(yīng)力最值之比小于某一上限值。

綜上所述，可得到如下的裁剪線布局優(yōu)化模型，如式(9)所示

findn,{w}={w1,w2,…,wn},{U}={U1,U2,…,Um}

minf={δ}T{δ}

s.t.[KL+KNL]{δ}={FT+FE+FS}

min{σ}>0 and max{σ}/min{σ}<υ

n∈{ndown,…,nup}

wi∈{wdown,…,wup}(i=1,2,…,n)

0

δi～U(δdown,δup),Si～U(Sdown,Sup)

Tj～U(Tdown,Tup),Qi～U(Qdown,Qup)

(9)

式中：σ為薄膜反射面應(yīng)力；υ為面內(nèi)應(yīng)力比值的上限值；上標up和下標down分別為變量的上下限值。

由裁剪線布局優(yōu)化模型可以看出，此為高度非線性規(guī)劃問題，傳統(tǒng)的梯度算法無法得到全局解。遺傳算法是一種非梯度優(yōu)化算法，通常用于求解非線性問題。因此使用梯度法和遺傳算法相結(jié)合的優(yōu)化方法來解決這個問題[20]。在設(shè)計變量中，通道電壓值{U}為連續(xù)變量，膜面分環(huán)數(shù)目n、每環(huán)膜片的裁剪片數(shù)目{w}為離散變量。為方便解決模型，各通道電壓值{U}可在約束中分別進行優(yōu)化。優(yōu)化模型近似改寫如式(10)所示，外部優(yōu)化只涉及離散變量，很容易地用遺傳算法處理；內(nèi)部優(yōu)化只涉及連續(xù)變量，使用梯度的方法有效地解決。

findn,{w}={w1,w2,…,wn},{U}={U1,U2,…,Um}

minf=f1

s.t. find{U}={U1,U2,…,Um}

f1={δ}T{δ}

s.t.[KL+KNL]{δ}={FT+FE+FS}

min{σ}>0 and max{σ}/min{σ}<υ

0

δi～U(δdown,δup),Si～U(Sdown,Sup)

Tj～U(Tdown,Tup),Qi～U(Qdown,Qup)

n∈{ndown,…,nup}

wi∈{wdown,…,wup}(i=1,2,…,n)

(10)

5 仿真試驗

5.1 0.55 m口徑天線模型

建立0.55 m口徑靜電成形薄膜反射面天線的有限元模型，薄膜選用聚酰亞胺材料，反射面邊界為裙邊形式，并通過邊界拉索與天線支撐結(jié)構(gòu)固定，裙邊選用聚酰亞胺材料，拉索選用芳綸材料，模型的幾何參數(shù)及材料參數(shù)如表2所示。

表2 薄膜反射面天線參數(shù)表

天線的有限元模型如圖5所示，裙邊數(shù)為24個，邊界拉索24根。為節(jié)省優(yōu)化時間，此處未考慮電極布局優(yōu)化，本算例采取固定基礎(chǔ)電極形式，基礎(chǔ)電極布局形式如圖6所示，電極分為三環(huán)式，采用9個電壓通道對13塊電極精密調(diào)控。模型口徑小，此算例僅考慮膜面為單環(huán)形式，裁剪片數(shù)目的上下限值wdown=6，wup=24，同時考慮到膜面的對稱性對裁剪片數(shù)區(qū)間限定wi∈{6,8,12,18,24}；由工程經(jīng)驗得到制作誤差區(qū)間{δ,S,T,Q}T,δdown=-0.5°，δup=0.5°,Sdown=-2 mm，Sup=2 mm,Tdown=0 N，Tup=0.05 N,Qdown=0 N，Qup=0.3 N。

圖5 薄膜反射面有限元模型Fig.5 Thefiniteelementmembranemodel 圖6 0.55m電極面模型Fig.6 Thelayoutofgroundelectrodes

5.2 設(shè)計誤差驗證

首先，驗證設(shè)計誤差分析方法的正確性?；诜蔷€性有限元思想的成形模擬方法，對不同裁剪片數(shù)目情況下的設(shè)計誤差求解，得到不同裁剪片數(shù)目對應(yīng)設(shè)計誤差的關(guān)系曲線圖，如圖7所示。從圖中可以看出隨著裁剪片數(shù)目的增加設(shè)計誤差逐漸較小，并逐漸趨于收斂，驗證了文中方法的正確性。

5.3 基于誤差考慮的優(yōu)化設(shè)計

將設(shè)計誤差和制作誤差如文中拼接誤差、粘貼誤差和邊界誤差統(tǒng)一起來，制作誤差以制作誤差區(qū)間{δ,S,T,Q}T表示，將其代入到優(yōu)化模型中，從而對反射面裁剪布局進行優(yōu)化。

應(yīng)用優(yōu)化模型對0.55 m天線模型優(yōu)化，得到不同裁剪片數(shù)與成形誤差的關(guān)系曲線，如圖8所示。隨著裁剪片數(shù)目的增加，形面精度呈先減小后增大的趨勢；在裁剪片數(shù)為12的時候，獲得最優(yōu)形面精度。針對上述結(jié)果進行分析，在優(yōu)化初始階段隨著裁剪片數(shù)目的增加，設(shè)計原理誤差逐漸較小，制作誤差逐漸增大，而且其減幅大于制作誤差的增幅，在裁剪片為12時，設(shè)計誤差的減幅變小，小于制作誤差增幅。則膜面由12塊裁剪片制作得到的薄膜反射面形面精度最優(yōu)。

圖7 裁剪片數(shù)與設(shè)計誤差的關(guān)系曲線

圖8 裁剪片數(shù)與成形誤差的關(guān)系曲線

同時為了驗證模型的正確性，分別以6片、12片和24片裁剪膜片進行模型制作，制得的薄膜反射面實物如圖9所示，采用非接觸式攝影測量系統(tǒng)V-STAR在仰天姿態(tài)下對成形膜面測量獲得膜面精度。在地面試驗不可避免受到重力影響，在優(yōu)化模型中添加重力載荷，得到的仿真膜面精度分別為0.147 mm,0.113 mm和0.185 mm，實際膜面精度為0.169 mm,0.133 mm和0.204 mm，總體趨勢符合仿真結(jié)果；試驗中仍存在其他影響因素如材料誤差和電極面誤差等，而模型中未給予考慮，從而仿真結(jié)果與實物結(jié)果存在偏差，有必要對模型進行進一步的修正。

(a)(b)(c)

圖9 6片、12片、24片膜片拼接反射面

Fig.9 The reflector with 6,12 and 24 sub-surfaces

6 結(jié) 論

本文對其實際成形過程中影響誤差進行探究，并將其分類為原理誤差和制作誤差，制作誤差主要包括拼接誤差、粘貼誤差和邊界誤差。依據(jù)有限元思想提出了一種新的薄膜反射面模擬成形的方法，從而獲得原理誤差， 并對制作過程中存在的誤差進行數(shù)值描述，從而建立反射面優(yōu)化模型，分環(huán)數(shù)目、每環(huán)裁剪數(shù)目和通道電壓作為優(yōu)化變量，反射面的形面精度作為優(yōu)化目標同時保證膜面不褶皺。最后以0.55 m反射面天線模型為算例來驗證優(yōu)化模型的有效性，同時在驗證過程中發(fā)現(xiàn)實物模型與仿真模型仍存在差距，需要對將材料偏差和電極面偏差引入到模型中。

參 考 文 獻

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