胡廣深， 陸澤琦， 陳立群,2,3

(1.上海大學 上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海 200072；2.上海大學 力學系，上海 200444；3.上海大學 力學在能源工程中的利用重點實驗室，上海 200072)

參數(shù)識別作為振動分析中一種“逆問題”分析方法，是建立在實驗基礎上，采用理論分析與實測相結合手段以處理工程中振動問題。用已知系統(tǒng)的輸入(激勵)和輸出(響應)來求系統(tǒng)參數(shù)，研究系統(tǒng)特性，為實際工程問題提供理論指導、改進理論模型[1]。李晶等[2]提出了一種將解析模態(tài)分解與希爾伯特變換相結合的模態(tài)辨識方法，并對該方法進行數(shù)值模擬，驗證了該方法對低頻、密頻結構模態(tài)辨識的正確性和優(yōu)越性。楊凱等[3]利用信號時頻分析理論，研究了溫度對參數(shù)辨識時變模態(tài)的影響，為熱環(huán)境下結構振動特性分析提供了分析方法和實驗依據(jù)。尹幫輝等[4]研究了結構阻尼衰減法，對比了衰減法阻尼測試結果與統(tǒng)計能量分析意義下的頻段阻尼之間關系，探討了頻段外模態(tài)阻尼對頻段阻尼測試結果的影響。孫偉[5]提出了一種可重復性良好的實驗測試硬涂層阻尼參數(shù)的方法，利用自由振動衰減曲線研究了硬涂層復合結構的阻尼特性。對于線性系統(tǒng)，可以通過直接求逆的方法對系統(tǒng)中的線性參數(shù)進行識別，而對于非線性系統(tǒng)，識別其中的非線性參數(shù)則比較困難。

非線性隔振系統(tǒng)中的非線性剛度，人們做了許多探索和研究。Carrella等[6]研究了含有準零剛度隔振系統(tǒng)的隔振效果，運用斜、水平線性彈簧構造非線性剛度的想法為非線性剛度、非線性阻尼隔振系統(tǒng)提供了重要參考。Carrella等[7]還研究了高靜態(tài)低動態(tài)剛度的非線性隔振系統(tǒng)力和位移傳遞率，預壓縮水平彈簧和豎直彈簧提供高靜態(tài)低動態(tài)剛度，實現(xiàn)了較好的隔振效果。Brennan等[8]研究了達芬隔振系統(tǒng)上、下跳頻率現(xiàn)象等一些具體特性。此外，非線性隔振系統(tǒng)中的非線性阻尼得到了深入研究。Brosch等[9]研究了單自由度隔振系統(tǒng)在三種不同阻尼下的自由振動特性以及不同阻尼間的對比，證明了單自由度隔振系統(tǒng)的水平線性阻尼可近似為立方非線性阻尼。此外，Tang等[10]還進一步探究了單自由度隔振系統(tǒng)在不同阻尼下的強迫振動并給出了良好的結果。

針對非線性振動系統(tǒng)，Tang等[11]研究了脈沖響應下達芬方程的解析解，為瞬態(tài)激勵參數(shù)識別方法提供了理論基礎，對于如何在瞬態(tài)激勵下識別隔振系統(tǒng)的非線性參數(shù)具有指導意義。Feldman[12-13]從自由振動角度運用希爾伯特變換分析非線性系統(tǒng)的振動，研究了希爾伯特變換在時域信號關鍵參數(shù)提取中的應用，給出了一種簡明的自由振動信號處理思路。李暉等[14]測試了非線性剛度結構系統(tǒng)參數(shù)，在修正經(jīng)典半功率帶寬法的基礎上，提出了一種適用于強、弱剛度非線性系統(tǒng)的阻尼辨識方法。但只能識別系統(tǒng)的非線性剛度參數(shù)，而忽略了非線性阻尼參數(shù)。鄧楊等[15]利用調頻小波變換，結合FREEVIB和FROCEVIB方法中的瞬時參數(shù)估計算法，通過多項式擬合識別出平均化的非線性剛度和阻尼。但是，這些研究大部分是基于系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，特別是對非線性阻尼識別的文獻較少。

本文運用非線性振動系統(tǒng)中特有的跳躍現(xiàn)象進行參數(shù)識別，對非線性特征現(xiàn)象進行測量，并由此逆推結構參數(shù)，成為非線性參數(shù)識別的新途徑。Tang等[16]運用非線性跳躍現(xiàn)象識別立方非線性剛度。Roszaidi等[17]研究了位移激勵下利用正反掃頻獲得跳躍現(xiàn)象，識別了含有非線性剛度的達芬方程參數(shù)，并得到實驗驗證。而運用跳躍現(xiàn)象對同時含有非線性阻尼和非線性剛度參數(shù)的識別沒有涉及，本文補充正反掃力幅獲得額外跳躍現(xiàn)象，識別出系統(tǒng)的非線性阻尼參數(shù)。另外本文意在通過兩種激勵方式研究同時含非線性剛度、非線性阻尼隔振系統(tǒng)的參數(shù)識別方法；在此基礎上，比較兩種識別方法和結果，以驗證識別精度。

1 參數(shù)識別

針對同時含有非線性剛度和非線性阻尼非線性系統(tǒng)的參數(shù)識別，用如下系統(tǒng)受擾運動方程為例

(1)

式中:α為線性剛度系數(shù);γ為非線性剛度系數(shù);ζ1為線性阻尼系數(shù);ζ2為非線性阻尼系數(shù);f(t)為系統(tǒng)的輸入激勵，該激勵是和時間相關的變量。參數(shù)識別就是利用激勵和響應的已知量得到系統(tǒng)的線性剛度系數(shù)、非線性剛度系數(shù)、線性阻尼系數(shù)和非線性阻尼系數(shù)四個未知量。

1.1 穩(wěn)態(tài)激勵參數(shù)識別

穩(wěn)態(tài)激勵選取余弦函數(shù)，即f(t)=Fcos(Ωt)，其中F是余弦激勵的激勵幅值，方程可寫為

(2)

利用諧波平衡法，取解的形式為x=Xcos(Ωt+φ)，略去三階諧波cos(3Ωt)和sin(3Ωt)，可以得到穩(wěn)態(tài)激勵下該系統(tǒng)的幅頻方程

(3)

振幅跳躍現(xiàn)象是非線性隔振系統(tǒng)特有的現(xiàn)象，指的是在特定激勵條件下出現(xiàn)振幅突然變化現(xiàn)象。固定激勵幅值下改變激勵頻率和固定激勵頻率下改變激勵幅值兩種方式都會發(fā)生振幅跳躍現(xiàn)象，兩種方式下振幅跳躍處相應的激勵頻率和激勵幅值，分別為上跳頻率、下跳頻率、上跳力幅和下跳力幅。通過這四個已知參數(shù)，可以得到系統(tǒng)的線性剛度系數(shù)、非線性剛度系數(shù)、線性阻尼系數(shù)和非線性阻尼系數(shù)四個未知參數(shù)。

(1)固定激勵幅值F改變激勵頻率Ω，可以得到上跳頻率和下跳頻率。

由幅頻方程給出穩(wěn)態(tài)激勵頻率解

(4)

考慮ζ1,2<<1，由Ω1=Ω2可以得到下跳頻率為

(5)

考慮ζ1,2<<1，解dΩ/dX=0得上跳頻率為

(6)

(2)固定激勵頻率Ω下改變激勵幅值F，可以得到上跳力幅和下跳力幅。

由幅頻方程給出穩(wěn)態(tài)激勵幅值解

(7)

考慮ζ1,2<<1，解dF/dX=0得下跳力幅和上跳力幅分別為

(8)

(9)

聯(lián)立式(5)、式(6)、式(8)、式(9)得到

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

1.2 瞬態(tài)激勵參數(shù)識別

瞬態(tài)激勵選取單位脈沖函數(shù)激勵，即F(t)=δ(t)，方程可寫為

(11)

由于激勵選取的是單位脈沖函數(shù)，方程可寫為

(12)

其中,初始條件為

考慮ζ1,2<<1，利用多尺度法，取一階近似解

x(t)=a(t)sin(ω0t+β(t))

(13)

結合初始條件得

(14)

(15)

式中：a(t)為系統(tǒng)在單位脈沖激勵下自由振動衰減曲線的包絡線表達式。

瞬時相角為

(16)

瞬時頻率為

(17)

由自由振動的時域衰減曲線，經(jīng)過信號處理，得到包絡線曲線、瞬時相角曲線和瞬時頻率曲線，結合由多尺度法解出的曲線相應近似表達式，可以識別系統(tǒng)的線性剛度系數(shù)、非線性剛度系數(shù)、線性阻尼系數(shù)和非線性阻尼系數(shù)四個未知參數(shù)。

(1)包絡線

包絡線曲線可以用以e為底的指數(shù)函數(shù)擬合，故包絡線曲線方程可近似為

a(t)≈ea1t

(18)

其中,a1為已知。代入式(14)中，得

(19)

考慮ζ2<<1，可得

ζ1≈-a1

(20)

(2)瞬時相角

瞬時相角曲線可以用線性函數(shù)擬合，故瞬時相角曲線方程可近似為

Φ(t)≈Φ1t+Φ0

(21)

其中,Φ1、Φ0為已知。代入式(16)中，得

(22)

考慮ζ2<<1，可得

(23)

故有

ω0≈Φ1

(24)

(25)

(3)瞬時頻率

在瞬時頻率曲線上選取初始時刻的瞬時頻率Ω0作為已知參數(shù)，代入式(17)中，得

(26)

聯(lián)立式(20)、式(24)～式(26)得

ζ1≈-a1

(27)

式中：對于ζ2并沒有顯式表達式，但可以通過等式左右兩端作曲線取交點即可得到ζ2的值。

2 應用舉例

如圖1所示為一種非線性剛度、非線性阻尼隔振系統(tǒng)，這一系統(tǒng)與經(jīng)典質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)相似，但是所不同的是除了豎直彈簧kv和阻尼cv，還有兩個水平放置剛度為kh的彈簧和阻尼為ch的阻尼，系統(tǒng)的剛度和阻尼非線性分別是由水平彈簧和水平阻尼在垂直運動方向上的作用產(chǎn)生的，即幾何非線性。

圖1 含有非線性剛度、非線性阻尼隔振系統(tǒng)模型

如圖1所示的系統(tǒng)運動方程可寫為

(28)

式中：l0為水平彈簧的初始長度；l為彈簧預壓縮后的長度。當x<0.2l時，式(28)可近似寫為無量綱方程

(29)

選取一組線性剛度系數(shù)、非線性剛度系數(shù)、線性阻尼系數(shù)和非線性阻尼系數(shù)，如表1、表2所示，利用Matlab數(shù)值模擬，可以得到這組選取參數(shù)值下的動力學特性曲線，包括穩(wěn)態(tài)動力學特性曲線和瞬態(tài)動力學特性曲線，然后通過穩(wěn)態(tài)激勵參數(shù)識別和瞬態(tài)激勵參數(shù)識別這兩種方法，分別對上述由幾何非線性構造的雙非線性隔振系統(tǒng)進行參數(shù)識別。

表1 選取無量剛參數(shù)值

表2 選取實際結構參數(shù)值

(1)穩(wěn)態(tài)激勵參數(shù)識別

通過固定激勵幅值下改變激勵頻率和固定激勵頻率下改變激勵幅值兩種方式，得到兩種方式下的響應幅值-激勵頻率和響應幅值-激勵幅值關系曲線。分別如圖2、圖3所示。

圖2 幅值-頻率響應曲線

圖3 幅值-力幅響應關系曲線

Fig.3 Relationship between amplitude and excitation amplitude

選取曲線上的四個關鍵參數(shù)上跳頻率、下跳頻率、上跳力幅和下跳力幅作為已知量，由式(10)可得到隔振系統(tǒng)的線性剛度、非線性剛度、線性阻尼和非線性阻尼系數(shù)，如表3、表4所示。

表3 識別無量系統(tǒng)參數(shù)值

表4 識別實際結構參數(shù)值

(2)瞬態(tài)激勵參數(shù)識別

選取單位脈沖函數(shù)作為激勵，可得到系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵下的動力學特性曲線，包括自由振動衰減曲線(見圖4)，以及通過希爾伯特變換得到的包絡線曲線(見圖5)、瞬時相角曲線(見圖6)和瞬時頻率曲線(見圖7)。

包絡線擬合曲線為

a(t)≈e-0.044 7t

(30)

瞬時相角擬合曲線為

Φ(t)≈0.419 7t-17.388 8

(31)

初始時刻的瞬時頻率為

Ω0≈2.044

(32)

圖4 自由振動衰減曲線

圖5 包絡線曲線

圖6 瞬時相角曲線

圖7 瞬時頻率曲線

由式(27)可得到隔振系統(tǒng)的線性剛度、非線性剛度、線性阻尼和非線性阻尼系數(shù)，如表5、表6所示。

表5 識別無量系統(tǒng)參數(shù)值

表6 識別實際結構參數(shù)值

3 兩種識別方法結果對比

兩種參數(shù)識別方法的結果，即隔振系統(tǒng)的線性剛度、非線性剛度、線性阻尼和非線性阻尼系數(shù)，如表7、表8所示。

表7 識別無量系統(tǒng)參數(shù)值

表7和表8給出，在選取參數(shù)下，兩種參數(shù)識別方法得到結果對比，特別是非線性剛度參數(shù)和非線性阻尼參數(shù)。對比穩(wěn)態(tài)激勵識別方法和瞬態(tài)激勵識別方法，發(fā)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)激勵參數(shù)識別結果要比瞬態(tài)激勵參數(shù)識別結果更為精確，尤其是非線性剛度和非線性阻尼參數(shù)，這也說明了利用跳躍現(xiàn)象對系統(tǒng)的參數(shù)尤其是非線性參數(shù)的識別具有更好的準確性。同時，由于跳躍現(xiàn)象在實驗觀測中現(xiàn)象明顯，所以，穩(wěn)態(tài)激勵參數(shù)識別更適用于對參數(shù)的精確識別。

表8 識別實際結構參數(shù)值

但是，穩(wěn)態(tài)激勵參數(shù)識別方法基于系統(tǒng)的分岔點測量，對誤差較為敏感，對實驗操作要求更為嚴格，需要多次測量取平均。瞬態(tài)激勵參數(shù)識別方法則只需要得到系統(tǒng)衰減振動的時域信號，通過希爾伯特變換等信號處理的方式即可得到識別結果，對實驗操作的敏感性較低，但是瞬態(tài)激勵法相比于穩(wěn)態(tài)激勵法存在較大誤差，原因是多尺度法求解強非線性瞬態(tài)振動存在局限性。

4 結 論

針對非線性剛度非線性阻尼系統(tǒng)，提出穩(wěn)態(tài)激勵和瞬態(tài)激勵兩種參數(shù)識別方法。第一種方法是基于非線性隔振中的振幅跳躍現(xiàn)象，對隔振系統(tǒng)中的非線性剛度、非線性阻尼參數(shù)進行識別。通過固定激勵幅值改變激勵頻率和固定激勵頻率改變激勵幅值，觀測振幅跳躍現(xiàn)象，得出振幅跳躍處相應的激勵頻率和激勵幅值，具體為上跳頻率、下跳頻率、上跳力幅和下跳力幅。通過諧波平衡法得到的幅頻方程，反演系統(tǒng)線性剛度、線性阻尼、非線性剛度、非線性阻尼四個參數(shù)關于上跳頻率、下跳頻率、上跳力幅和下跳力幅的解析表達式，識別出非線性隔振系統(tǒng)的參數(shù)。第二種方法是涉及時域響應，通過希爾伯特變換獲得非線性系統(tǒng)自由振動的響應幅值和相角，然后結合雙非線性隔振系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵下的解析解，獲得系統(tǒng)的非線性剛度和阻尼。并對兩種參數(shù)識別方法進行比較，結果相吻合。穩(wěn)態(tài)參數(shù)識別方法相比于瞬態(tài)參數(shù)識別方法較為精確、方便快捷。

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