(青海警官職業(yè)學院，青海 西寧 810006)

0 引言

圖像恢復是近年來數(shù)字圖像處理領域里的一大研究熱點[1]?，F(xiàn)實生活中，通過各種途徑獲得的圖像，其都存在不同程度的污染與損壞。用相機采集圖像時，當相機聚焦不夠精確、成像光源發(fā)生散射現(xiàn)象等，這都會使獲得的圖像的分辨率下降、對比度減小以至于導致圖像比較模糊[2]。對圖像進行恢復，是為了使受損或者受污的圖像趨向于恢復到無損的理想狀態(tài)。可根據(jù)實際需求，將受損圖像恢復到一定的程度。如今存在的方法如反維納濾波、R-L 迭代算法等都可以對受損圖像進行復原[3]。同時，隨著高階張量在圖像恢復及數(shù)據(jù)分析方面逐漸顯現(xiàn)出的優(yōu)越性，利用張量結構表示待恢復圖像數(shù)據(jù)，對缺失圖像元素進行恢復已引起各國學者的極大重視[4]。傳統(tǒng)的張量缺失元素恢復法有：(1)利用相鄰元素間的關系對缺失元素進行恢復，其假定缺失元素主要對其相鄰的元素有依賴關系；(2)利用元素之間的依賴程度與元素之間距離的關系，及張量的全局信息特征對缺失數(shù)據(jù)元素加以復原[5]，實踐證明，張量全局信息特征對數(shù)據(jù)元素的恢復更加有益。張量全局恢復法又可分為依賴自身結構特征和張量跡范數(shù)兩種方法對缺失數(shù)據(jù)進行恢復，前者效率低下，后者是基于壓縮感知技術，恢復精度高，效果好[6]。文中針對已有恢復算法不能充分利用已知信息，或者已知信息少時恢復誤差大等不足，利用所屬后者類別的張量算法，提出了一種基于低價Tucker分解的圖像恢復算法，從張量元素的多維數(shù)據(jù)結構出發(fā)，提取出有效的信息特征，對存在張量缺失信息的圖像進行恢復或者復原。

1 圖像恢復算法

本文以實際采集到真實的圖像為研究對象，提出了基于低階Tucker分解的圖像恢復算法。算法分為4個階段，圖像光頻模型預處理、低階張量正則化、ALM算法生成模型、Tucker分解恢復圖像4個部分。其工作過程為：把通過使用圖像采集軟件采集到的圖像樣品輸入到系統(tǒng)中，經(jīng)灰度化、平滑、濾波去噪、細化等預處理后，采用張量結構表示圖像數(shù)據(jù)，把待恢復圖像轉化為高光譜圖像，最后利用基于低階Tucker分解的圖像恢復算法進行復原，并輸出復原后的圖像。

2 圖像光頻模型預處理算法

由于現(xiàn)實環(huán)境的影響難以避免，實際獲得的圖像本身可能已經(jīng)受到嚴重的噪聲干擾，所以在進行后續(xù)工作前要先對數(shù)字圖像進行高維變換和建立模型等預處理，然后再對圖像進行復原。

2.1 高維變換算法

一般來講，普通的一個多維數(shù)組即可構成一個高階的張量，階即為張成所在空間所需的向量空間的數(shù)量叫做階[7]。對于高階的張量，其數(shù)據(jù)結構可以有效的展現(xiàn)出數(shù)據(jù)元素之間的多維約束關系，這使得以張量形式表示數(shù)據(jù)擁有一定的優(yōu)越性[8]。三階張量如圖1所示。

圖1 大小為1的三階張量

對于矩陣來說，如果矩陣下標的其中之一被固定，則此時可以獲得相對應的比原始數(shù)組少了一維的子數(shù)組[9]。一般通過只讓兩個下標自由變化而其他坐標全部固定即可得到張量二維截面，即通常所說的張量切片[10]。

2.2 訓練集模型的建立

已知可以將張量視為多索引數(shù)字陣列，其順序被定義為其模式或尺寸的數(shù)量[11]。已知可以將張量視為多索引數(shù)字陣列，其順序被定義為其模式或尺寸的數(shù)量。N階的實值張量由x∈RI1×I2×···×In表示，其輸入由xi1,i2,...,in表示。然后，可以將N×1向量x視為一階張量，N×M矩陣X作為二階張量。

兩個相同大小的張量X，Y的內積被定義為:

(1)

然后將相應的Frobenius規(guī)范定義為:

(2)

張量X的模式n矩陣表示為xn。其中張量元素i1,i2,...,in，映射矩陣(in,j)滿足：

(3)

經(jīng)高維變換、濾波去噪、細化等預處理后的訓練模型如圖2所示。

圖2 高維變換后的訓練模型

3 基于Tucker分解的張量數(shù)據(jù)恢復算法

3.1 張量正則化分析

在許多真實情況下，觀測到的光頻數(shù)據(jù)被幾種不同類型的噪音所污染。結果是，一個由三階張量χ:={χ1,χ2,...χB}，每一個矩陣χi∈Rh×w(i=1,2,...,B)，高度h和寬度w，B表示帶的數(shù)量，可以被描述為，

y=χ+E

(4)

其中:χ和E的大小，分別代表無噪聲圖像光頻值和混合的噪聲值。現(xiàn)在，圖像恢復的目標是通過利用無噪聲圖像光頻中χ的結構和噪聲條件來估計y。

根據(jù)的研究，將噪聲項分為兩個子項，如圖3所示。高斯噪聲項和稀疏噪聲項包括條紋、脈沖噪聲和死象素，其退化模型為:

y=χ+N+E

(5)

其中弗羅貝諾斯規(guī)范和L規(guī)范可以用來對這兩個噪聲子項分別建模[12]。

圖3 張量正則化分析圖

張量正則化已被廣泛應用于探索應對光頻恢復任務的空間分段平滑結構[13]。在圖3中可以找到用于示出一個光頻的空間平滑度的邊緣檢測。實際上，還存在光頻的局部平滑結構及其頻譜模式。光譜域中相鄰帶之間的大部分差異值幾乎等于0[14]。常用的張量正則化都會忽略了這種光譜平滑度，這促使設計出一種新的SSTV正則化器來充分挖掘空間和光譜域中的分段平滑結構，從而實現(xiàn)去噪任務[15]。

3.2 ALM算法生成模型

如前所述，利用現(xiàn)有知識是光頻混合噪聲去除的關鍵考慮因素。通過結合空間和頻譜模型中的低階和歸一屬性，引入了一種SSTV低階張量分解模型：

s.t.Y=χ+S+N,

(6)

w2|xi,j,k-xi,j-1,k|+w3|xi,j,k-xi-1,j,k|

(7)

圖4 ALM算法生成模型

3.3 基于低階Tucker分解恢復算法

將張量χ與遮擋張量οmega兩者疊加，即可獲得張量β=χ.*οmega，該量已經(jīng)缺失部分數(shù)據(jù)，為缺失張量。

在進行迭代時，首先把原來的缺失部分數(shù)據(jù)的張量β′=β作如式(8)所示的Tucker分解，使之能夠獲得核張量τ及奇異矩陣U1(2)，…，U1(N-1)，U1(N)。

β′=τ×1U1(1)×2U1(1)…×NU1(N)

(8)

式中,括號外上標為迭代次數(shù)。

根據(jù)Tucker分解的原理能夠得到，張量第n階矩陣的左奇異矩陣與其第n階的奇異矩陣相對應，因此，對于N階張量，其n個奇異值矩陣的計算，可以當成是對大小為(In×I1I2...In-1In+1...IN)(1≤n≤N)的矩陣的SVD分解計算N次，從而能夠計算求得U1(1)，U1(2)，...，U1(N-1)，U1(N)。至于核張量，可通過如下式(9)計算求得：

(9)

再對各奇異矩陣對應的前k1，k2，...，kn個奇異向量進行選取。即可求得β1，β1與β′看起來非相似。過程如下：

?，

核張量：τL=τ(1:k1,1:k2,...,1:kN)

則有：

(10)

*(1-οmega)

(11)

圖5 低階Tucker分解圖

一旦迭代過程達到預先設定的收斂條件，整個恢復過程也就完成了，可利用式(12)對恢復質量進行分析：

(12)

式中，分子為被遮擋數(shù)據(jù)元素的絕對值之差的和，分母為被遮擋元素數(shù)。由于對數(shù)據(jù)的恢復主要是依靠張量自身攜帶的已知數(shù)據(jù)元素，而對于已知的數(shù)據(jù)元素，其值是固定的，因而僅僅評估缺失數(shù)據(jù)信息這一部分即可。

根據(jù)低階Tucker分解算法的一系列推導過程，得出能夠對張量的缺失數(shù)據(jù)進行恢復的迭代算法。該算法通過對一個缺失張量χ進行一系列的迭代分解，最終得到一個與原始未被遮擋的張量幾乎相等的張量χ，此時遮擋部分數(shù)據(jù)的值已與真實值接近，已恢復的值與原始χ中的值越接近，則表明算法的恢復效果越好，性能更佳。算法流程如下：

輸入:χ∈RI1×I2...×IN，秩k1，k2，...，kN，οmega，Itermax

1)β′=β=χ.*οmega，對張量β′進行Tucker分解

2) Repeat

3) forn←1to N

4)β(n)←U(n)∑(n)V(n)T

5) End

6)τ←β'×1U1(1)T×2U1(1)T...×NU1(N)T

8)β1←β+β'*(1-οmega)

10) Compute error

11) Unitili≤Itermax

輸出:χ

該算法用張量結構來表示數(shù)據(jù)信息，通過低階Tucker分解以求解張量各元素之間的內在約束關系，再進一步提取出張量的主要信息成份，從而即可對缺失數(shù)據(jù)進行恢復。同時，為了減少噪聲的干擾，該算法對一些次要信息成份進行了一定程度的剔除，比如圖像邊緣部分的細節(jié)信息，或者是一些噪聲之類的，可以得到一個有效的ALM方法來解決LRTDTV近似模型，即順序更新直到滿足一定的收斂條件。

4 測試與分析

在以下實驗中，手動調整算法的參數(shù)比較方法的結果。另外，為了便于數(shù)值計算和可視化，圖像光頻的所有頻帶都歸一化為[0,1]，然后在恢復后將其擴展原來的倍數(shù)。

4.1 模擬數(shù)據(jù)

把通過圖像采集軟件采集到的圖像傳送到圖像處理系統(tǒng)中，轉換成數(shù)字信號進行處理，通過對數(shù)字圖像進行灰度化，濾波，細化等預處理后，將圖像數(shù)據(jù)以張量結構形式表示，并同時疊加上一個遮擋張量，通過對遮擋張量設置不同的遮擋率使圖像數(shù)據(jù)受到不同程度的缺失形成缺失圖像，最后利用張量Tucker分解算法對缺失圖像進行復原。如圖6為圖像經(jīng)遮擋率為40%的張量遮擋后所形成的缺失部分像素信息的圖像。

圖6 真實有噪聲圖像

4.2 真實數(shù)據(jù)實驗

實驗時，采用真實圖像進行實驗，將本文提出的算法應用到圖像信息恢復中。利用采集的50幅真實圖像作為測試樣本進行測試，其中每10幅為一組，各組之間對遮擋張量設置不同的遮擋率，且圖像像素都為80×80。介于對張量數(shù)據(jù)進行計算時，其計算量隨張量維數(shù)增大而迅速增大，所以仿真時，采用規(guī)模適中的512×512×3張量進行測試，并根據(jù)以往的經(jīng)驗，把求相似張量過程中選取的秩設置成5(即k1,k2,k3=5，k2，k3=5)，迭代次數(shù)限定250，當設置遮擋張量的遮擋率為40%時，利用Tucker分解算法(迭代張量Tucker分解恢復算法)對如圖3所示的缺失圖像進行恢復，其恢復出來的圖像效果如圖7。

圖7 不同遮擋率圖像的張量正則化

通過觀察缺失圖像圖7可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過40%的遮擋率遮擋后，圖像中的大多數(shù)像素信息已經(jīng)丟失掉，因而造成圖像模糊不堪，無法進行辨認。比如說，由于圖8中像素信息的丟失，但是一般這些關鍵的部位在識別等一些方面起著重要的作用。而采用低階算法對一些缺失的像素信息進行復原后，觀察可以發(fā)現(xiàn)，恢復后圖像各個位置的輪廓清晰可見。

圖8 不同遮擋率圖像的光頻低階模型

當設置遮擋率為90%時，其恢復出來的效果如圖10所示，圖9是系統(tǒng)采用傳統(tǒng)的基于跡范數(shù)的張量恢復算法對受90%遮擋率遮擋的圖像的恢復效果，低階Tucker分解算法在高遮擋率的條件下，仍然能夠對圖像進行有效的恢復，盡管不是很清晰，但比傳統(tǒng)方法好的太多。這表明本文在設計系統(tǒng)的過程中選用的恢復算法，其實際應用能力強、性能高、效果好。但從圖中可以看出，恢復效果雖遮擋的提高而下降。

圖9 光頻低階和張量正則化的Tucker分解值圖

圖10 恢復后的圖像

如圖7為經(jīng)遮擋率為50%的張量遮擋后所形成的缺失部分像素信息的正則化圖像，像素大小為200×200，圖10為恢復后的圖像?？梢娀謴托Ч埠芎谩?/p>

5 結論

本文提出了一種基于低階Tucker分解的圖像恢復算法，從光頻的低階和張量正則化分解出發(fā)，以迭代方法進行恢復求解，從而對丟失像素信息的圖像進行復原。該過程充分利用了矩陣分解的高維擴展性能，能充分保留張量潛在的多維信息結構，能有效提高算法恢復精度。在待恢復張量秩已設定時，利用已知數(shù)據(jù)元素信息及已恢復出的信息對缺失數(shù)據(jù)進行恢復。仿真表明本系統(tǒng)簡單、易實現(xiàn)，數(shù)據(jù)恢復精度高、效果好。

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收稿日期：2017-09-08；修回日期：2017-10-18。

作者簡介：何祝青(1991-)，男，安徽安慶人，碩士研究生，主要從事室內定位、智能控制方向的研究。

嚴 華(1971-)，男，四川渠縣人，教授，碩士研究生導師，主要從事嵌入式系統(tǒng)、模式識別與智能系統(tǒng)方向的研究。

文章編號：1671-4598(2018)05-0185-03 DOI：10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2018.05.046中圖分類號：TP302.1文獻標識碼：A