王澤華 張夢鴿 韓 林 張 研

(河海大學 力學與材料學院， 南京 210098)

0 引 言

導線舞動是一種復雜的由垂直力、水平力、扭轉(zhuǎn)力共同作用的三維運動，屬于空氣動力學及柔性懸鏈結(jié)構(gòu)的風力振動范疇[1]．覆冰導線在風激勵下會產(chǎn)生低頻(0.1～3 Hz)、大振幅(導線直徑的5～300倍)自激振動的現(xiàn)象[2-3]．導線一旦發(fā)生大面積舞動，會導致線路頻繁跳閘甚至斷線倒塔事故，會造成大面積的停電，影響電網(wǎng)安全穩(wěn)定運行．現(xiàn)今常用的控制導線舞動的方法是在線路上加防舞動裝置[4]，如防振錘、雙擺防舞器等．防振錘實質(zhì)上是一個動力減振器，能有效吸收導線的振動能量，減小線夾及導線的疲勞損傷；但防振錘線夾處很容易發(fā)生疲勞斷股事故．雙擺防舞器基于動力失穩(wěn)條件所開發(fā)，若外界環(huán)境造成的失穩(wěn)閾值大于設(shè)計條件，線路還將發(fā)生舞動現(xiàn)象，舞動振幅有時會較大．目前存在的各種防舞措施不能完全地解決導線的舞動問題，因此，關(guān)于導線防舞動措施及相應(yīng)的技術(shù)方面需要進一步的研究．

聲子晶體[5-8]，又稱彈性波帶隙材料，因其彈性常數(shù)和密度呈周期性分布而展現(xiàn)出阻斷特定頻段彈性波傳播的性質(zhì)．聲子晶體的帶隙機理可分為Bragg散射型[9]和局域共振型[10]．其中，Bragg機理強調(diào)彈性波與周期結(jié)構(gòu)的相互作用，其帶隙頻率對應(yīng)的波長與周期結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)相當，若要產(chǎn)生頻率越低的帶隙就要構(gòu)造尺寸越大的結(jié)構(gòu)，這不利于聲子晶體結(jié)構(gòu)在低頻范圍的應(yīng)用．而局域共振帶隙[11]主要考慮單個散射體的共振特性，可以用小尺寸獲得低頻帶隙．針對這一特性，考慮導線舞動的特點，局域共振型聲子晶體的低頻帶隙特性具有用于導線防舞的巨大潛力．國內(nèi)外學者針對聲子晶體的帶隙特性及機理已做了大量的研究工作，如聲子晶體在梁[12]、桿[13]、薄板[14]、格柵[15]等結(jié)構(gòu)的減振應(yīng)用研究，已從各方面的研究中驗證了其中振動帶隙的存在．然而，聲子晶體在導線結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用還未見相關(guān)報道．

本文試圖在已有的間隔棒的基礎(chǔ)上，增設(shè)多個彈簧振子，將其周期排列在導線上，形成多振子聲子晶體導線結(jié)構(gòu)，探究其帶隙特性．本文推導建立計算聲子晶體導線結(jié)構(gòu)振動頻散關(guān)系的傳遞矩陣法．基于某舞動試驗線路，計算其振動頻散關(guān)系和帶隙范圍，并對相應(yīng)的有限周期聲子晶體導線進行振動傳輸特性分析以進行對比驗證，為導線防舞技術(shù)提供理論支持．

1 基于傳遞矩陣法的聲子晶體導線彈性波帶隙計算

如圖1所示，假定導線為張緊的細弦，受恒定張力和自重力作用，導線自重沿x軸方向均勻分布，單位長度質(zhì)量為m(kg/m)，導線的水平張力為T(N)．導線振動的微分方程為

(1)

基于對式(1)的求解，可以得到導線振動的位移

y(x，t)=exp(iωt)[Acos(αx)+Bsin(αx)]

(2)

式中，α=ω/V，A和B為待定參數(shù)，可以通過邊界常數(shù)確定．

圖1 純導線理論模型

(3)

圖2 串聯(lián)多振子聲子晶體導線理論模型

(4)

x=xn+1處間隔棒的位移即為導線在該處的位移．設(shè)x=xn+1處第j個振子(n+1)j的位移為

w(n+1)j=c(n+1)jexp(iωt)

(5)

式中，c(n+1)j為振子(n+1)j的振幅．

An+1=Ancos(αa)+Bnsin(αa)

(6)

T[-Anαsin(αa)+Bnαcos(αa)]

(7)

同時考慮振子(n+1)j(j=1，2，3)的平衡，有

(8)

應(yīng)用式(6)～(8)得到

KΨn+1=KΨn

(9)

由于x方向的周期性，利用Bloch定理[16]，即

Ψn+1=exp(iqa)Ψn

(10)

式中，q為波數(shù)．

由式(9)和式(10)，可以得到標準的矩陣特征值問題

|T-exp(iqa)I|=0

(11)

式中，T=K-1H；I為單位陣．T可以表示為

(12)

基于式(11)，通過求解特征值問題，可以得到周期結(jié)構(gòu)中圓頻率ω與波數(shù)q之間的頻散關(guān)系．在某些頻率范圍內(nèi)，將無法求得與該范圍內(nèi)的頻率相對應(yīng)的實數(shù)q值，這些頻率范圍稱作帶隙．理論上在帶隙的范圍內(nèi)導線不會發(fā)生舞動，進而能在實際中減弱導線的舞動幅度．

2 數(shù)值算例分析

某舞動試驗線路長240 m，導線采用四分裂鋼芯鋁絞線，導線靜態(tài)平均張力為16 kN，導線直徑d=23.94 mm，截面積A=338.99 mm2．單位長度導線質(zhì)量mc=1.133 kg/m．次檔距為a=40 m．間隔棒質(zhì)量M，振子質(zhì)量M1、M2和M3，彈簧剛度系數(shù)k．取振子質(zhì)量M1=1 kg，M2=1.5 kg，M3=2 kg，間隔棒質(zhì)量M=2 kg，彈簧勁度系數(shù)k=10 N/m．計算研究可知，導線舞動是一種風致振動的低頻高幅振動(0.1～3 Hz)，取導線舞動頻率范圍0～0.9 Hz進行分析．

根據(jù)式(9)可以得到多振子聲子晶體導線的帶隙結(jié)構(gòu)圖，如圖3所示．圖3左圖表示實波數(shù)與頻率之間的關(guān)系，從圖中看到，在0～0.9 Hz的頻率范圍下，存在3個帶隙，帶隙頻率范圍分別為：0.17～0.18 Hz，0.53～0.54 Hz，0.80～0.82 Hz．表明理論上在多振子聲子晶體的作用下，導線在這3個頻率范圍內(nèi)不會發(fā)生舞動．可以看到，存在的3個帶隙頻率處于低頻范圍，符合局域共振型聲子晶體存在低頻帶隙的特性，并且局域型聲子晶體導線帶隙下邊界由彈簧振子的彈簧剛度及各個振子質(zhì)量決定，若改變其彈簧剛度及振子質(zhì)量，可以得到不同的帶隙頻率范圍．虛波數(shù)與頻率的關(guān)系如圖3所示．由于虛部不為零的波數(shù)對應(yīng)著無法有效傳播的衰減波，而波數(shù)虛部的模越大說明波衰減越強，因此，波數(shù)虛部模與頻率的關(guān)系可以表示帶隙內(nèi)波衰減的性質(zhì)．從圖中可以看到，聲子晶體導線存在波衰減的性質(zhì)，并且波衰減的部分與頻散關(guān)系相對應(yīng)．

圖3 聲子晶體導線頻散關(guān)系與頻率響應(yīng)函數(shù)曲線圖

基于上述算例，即在240 m長導線上，等間距設(shè)置5個間隔棒彈簧振子．在有限元軟件中建立有限周期聲子晶體導線有限元模型．為便于簡化分析，將模型簡化為平面運動，故導線兩端采用鉸接約束，保證其在二維平面內(nèi)振動．在導線一端施加簡諧激勵，另一端拾取響應(yīng)，進行諧響應(yīng)分析，輸出響應(yīng)的頻譜與初始激勵信號的頻譜相比即可得到導線的振動傳輸特性，如圖3右圖所示．根據(jù)聲子晶體的帶隙特性，有限周期結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)函數(shù)應(yīng)在帶隙頻率范圍對應(yīng)的區(qū)域有大幅度下降，該下降程度表示傳輸?shù)膹椥圆ǖ乃p程度．圖中在0～0.9 Hz內(nèi)存在3個振動衰減區(qū)，衰減頻率范圍與圖3中得到的無限周期條件下計算得到的帶隙頻率范圍一致．有限元仿真結(jié)果與理論結(jié)果吻合較好，說明多振子聲子晶體導線帶隙確實存在，帶隙的存在證實了周期在導線上排列的多個彈簧振子對導線的減振作用是有效的，能減弱導線的振動幅度．

3 結(jié) 論

本文采用傳遞矩陣法計算了無限周期一維串聯(lián)多振子聲子晶體導線的振動帶隙，并通過有限元仿真對其有限周期結(jié)構(gòu)的傳輸特性進行了研究，主要結(jié)論如下：

1)在純導線微分振動方程的基礎(chǔ)上，得到了多振子導線的振動方程；基于傳遞矩陣法，經(jīng)過一系列的推導計算，得到多振子聲子晶體導線的傳遞矩陣，進而得到多振子導線的頻散關(guān)系．

2)經(jīng)過計算分析，得到無限周期串聯(lián)多振子聲子晶體導線結(jié)構(gòu)中存在振動帶隙，并與其有限周期結(jié)構(gòu)的振動傳輸特性相互對應(yīng)，即表明在帶隙頻率范圍內(nèi)沿導線的振動傳播會受到很大的衰減，導線舞動得到有效抑制．

3)具有局域共振特性的三串聯(lián)多振子聲子晶體導線具有3個低頻帶隙，帶隙較為豐富．

總之，通過對多振子聲子晶體導線的數(shù)值與仿真研究分析，獲得并驗證了該結(jié)構(gòu)存在的帶隙特性，這種聲子晶體導線結(jié)構(gòu)為導線防舞提供了新的思路．

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