白鶴松，曲振濤

（哈爾濱商業(yè)大學 經(jīng)濟學院，哈爾濱150028）

0 引言

傳統(tǒng)Granger檢驗方法的適用要求所有檢驗的變量必須是平穩(wěn)的或者是趨勢平穩(wěn)的，如果出現(xiàn)不平穩(wěn)現(xiàn)象則無法對高階單整變量的因果相關(guān)性做出準確判斷。但是現(xiàn)實生活中往往出現(xiàn)變量的單整現(xiàn)象，此時傳統(tǒng)檢驗方法失效。為此，本文推介一種用于檢驗高階單整變量因果關(guān)系的研究方法，試圖從同階變量和不同階變量兩個方面進行拓展研究。

1 均方誤差最小化的傳統(tǒng)Granger檢驗及其適用條件

目前學界使用的Granger因果檢驗主要是基于均方誤差的最小化而進行，假設變量在第t期的數(shù)據(jù)集為Jt，要想檢驗變量X預測值的準確性，只需滿足改變量的均方誤差最小，均方誤差（MSE）的公式表達方式為：

此時可以通過求解X的條件均值來確定MSE的最小值，數(shù)據(jù)集Jt條件下的條件均值可以表述為：

當下述公式成立時認為Granger因果關(guān)系不成立，因為變量Y的消除不會改變X的均值；反之，當下述公式不成立時即變量Y的消除會改變X的均值，則可以認為存在Granger因果關(guān)系：

如果變量X為線性函數(shù)形式,可以使用變量X的投影來檢驗，檢驗公式為：

其中為變量X的線性投影，當變量X的預測值與投影值之差和Zh不存在相關(guān)關(guān)系時，則Y和X之間具有Granger因果關(guān)系，即滿足：

如果用VAR模型檢驗變量之間的因果關(guān)系，則可以表述為如下聯(lián)合方程式：

其中μ表示隨機擾動項，其均值為1，方差為常數(shù)，協(xié)方差為零，用公式表示為：

首先確定變量Y是X的因果關(guān)系，對于HY→X，如果滿足β=0，則變量Y是X的因果關(guān)系不成立，如果滿足β≠0，則變量Y是X的因果關(guān)系成立。此時一般使用F檢驗，統(tǒng)計量的表達方式為：

該公式服從F(p，n-2p-1)分布，通過查F分布表把其值與樣本值比較確定顯著性來判斷因果關(guān)系是否成立。

然后確定變量X是Y的因果關(guān)系，對于HX→Y，如果滿足β=0，則變量X是Y的因果關(guān)系不成立，如果滿足β≠0，則變量X是Y的因果關(guān)系成立。此時一般使用F檢驗，統(tǒng)計量的表達方式為：

該公式服從F(p，n-2p-1)分布，通過查F分布表把其值與樣本值比較確定顯著性來判斷因果關(guān)系是否成立。

使用這種方法進行Granger因果關(guān)系檢驗要求所有檢驗的變量必須是平穩(wěn)的或者是趨勢平穩(wěn)，如果出現(xiàn)不平穩(wěn)現(xiàn)象則無法檢驗。

2 同階協(xié)整與不同階協(xié)整檢驗及其建模

2.1 同階協(xié)整變量因果關(guān)系檢驗

傳統(tǒng)的Granger因果檢驗要求變量的平穩(wěn)性，但是現(xiàn)實生活中往往出現(xiàn)變量的單整現(xiàn)象，此時傳統(tǒng)檢驗方法失效，在出現(xiàn)高階單整時可以對傳統(tǒng)檢驗模型進行拓展，從而更好地進行因果關(guān)系檢驗：

當X和Y具有2階單整關(guān)系時，即滿足如下公式：

此時，上述檢驗模型可以等價轉(zhuǎn)化為：

因上述公式為2階單整模型，所以滿足以下公式：

把上述條件帶入模型，可得如下公式：

又因ΔX和ΔY兩變量具有協(xié)整關(guān)系，可以推導出：

可以進一步把模型轉(zhuǎn)化為如下形式：

該模型是傳統(tǒng)Granger檢驗模型的修正表達方式，主要通過誤差修正項保證變量的平穩(wěn)性，誤差修正項的表達式為：Yt-i-λXt-i和Xt-i-1/λYt-i

如果誤差修正項中的修正系數(shù)λ已知，可以通過F檢驗對變量之間的因果關(guān)系進行檢驗，當修正系數(shù)λ未知時可以使用以下公式計算修正系數(shù)，然后再通過F檢驗對變量之間的因果關(guān)系進行檢驗：

如果要檢驗的變量屬于（d,d）型的高階單證變量均可使用此方法進行因果關(guān)系檢驗。但是對于兩變量不同階的情況則不能使用此方法，下面對不同階的協(xié)整模型因果關(guān)系的檢驗進行拓展研究。

2.2 不同階協(xié)整變量模型檢驗

如果變量X和變量Y屬于不同階的協(xié)整關(guān)系，假設變量屬于如下類型：

此時模型的形式可以轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

當上述模型中Yt-1-λXt-1和ΔXt-1或ΔYt-1屬于協(xié)整關(guān)系時，可以構(gòu)建如下誤差修正模型進行因果關(guān)系檢驗：

在Yt-1-λXt-1和 ΔXt-1或 ΔYt-1屬于協(xié)整關(guān)系時，即滿足以下公式：

把這種協(xié)整關(guān)系公式帶入上述模型可得：

上述模型求解后可得：

當λ和δ已知時可以把數(shù)值帶入計算，并通過查F分布表以確定協(xié)整關(guān)系，如果λ和δ未知，則可以根據(jù)以下公式計算然后再檢驗協(xié)整關(guān)系：

3 不存在協(xié)整關(guān)系的變量差分檢驗與建模

上文對具有協(xié)整關(guān)系的變量之間的Granger因果關(guān)系檢驗方法進行闡釋，如果變量之間不存在協(xié)整關(guān)系則無法使用上述模型進行檢驗，接下來對這種情況進一步研究。假設X和Y都屬于單整變量但不均有協(xié)整關(guān)系，當單整階數(shù)相同時本文通過構(gòu)建差分模型進行檢驗：

需要對以下差分形式進行因果關(guān)系檢驗：

當上述差分檢驗公式成立時，變量X和Y不存在Granger因果關(guān)系，反之如果上述差分公式不成立則變量X和Y之間存在Granger因果關(guān)系。即可以通過檢驗差分形式ΔX和ΔY來確定變量X和Y的因果關(guān)系。

如果變量X和Y的單整階數(shù)不同時，本文構(gòu)建的檢驗模型如下：

當上述模型滿足如下條件時可以進行因果關(guān)系檢驗：

把上述條件帶入檢驗模型可得：

通過這種方法可以解決高階單整變量且變量之間階數(shù)不同時的協(xié)整關(guān)系，因此本文推介的Granger因果檢驗方法對高階（同階和不同階）的單整變量有很強的普適性。

上述模型等價于以下d1-d2差分模型：

至此，本文把變量之間不存在協(xié)整關(guān)系的兩種情況同階單整變量和不同階單證變量的Granger因果關(guān)系檢驗方法進行闡釋。模型階數(shù)的確定是因果關(guān)系進行檢驗的前提，所以要想對變量之間的因果關(guān)系進行檢驗需要首先選擇變量的階數(shù)。本文可以使用滯后參數(shù)值來確定模型階數(shù)，當參數(shù)值最大時就是我們所要尋找的合理階數(shù)，最大滯后值的求解方法是似然比，其公式表達形式為：

其中m表示需要估計的參數(shù)的個數(shù)，| Ω |表示待估計因果關(guān)系的矩陣行列式。在檢驗的過程中要保證模型中的誤差項為隨機擾動項，即變量不能存在自相關(guān)現(xiàn)象。這里使用多元LM自相關(guān)檢驗來確定是否存在自相關(guān)，對于n階變量在顯著性水平α下，當LM＞χ2(k2)時表示變量存在自相關(guān)性，如果LM＜χ2(k2)則表示變量不存在自相關(guān)，可以使用本文推介的方法進行檢驗。

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)Granger因果檢驗方法無法對互為因果的關(guān)系做出準確判斷這一局限性，為了對高階單整變量之間的Granger因果關(guān)系進行科學準確地判斷，本文推介一種用于檢驗高階單整變量因果關(guān)系的研究方法。文章首先對基于均方誤差的最小化的傳統(tǒng)Granger因果檢驗的基本思路進行數(shù)理推導，并指出該方法存在的檢驗劣勢，即使用這種方法進行Granger因果關(guān)系檢驗要求所有檢驗的變量必須是平穩(wěn)的或者是趨勢平穩(wěn)，如果出現(xiàn)不平穩(wěn)現(xiàn)象則無法檢驗。但是現(xiàn)實生活中往往出現(xiàn)變量的單整現(xiàn)象，此時傳統(tǒng)檢驗方法失效，在出現(xiàn)高階單整時可以對傳統(tǒng)檢驗模型進行拓展，從而更好地進行因果關(guān)系檢驗，從同階變量和不同階變量兩個方面進行拓展研究。拓展研究對具有協(xié)整關(guān)系的變量之間的Granger因果關(guān)系檢驗方法進行闡釋，但是如果變量之間不存在協(xié)整關(guān)系則無法使用上述拓展模型進行檢驗，接下來本文對不存在協(xié)整關(guān)系的變量之間的因果關(guān)系檢驗進行進一步研究。本文推介的高階單整變量因果關(guān)系的檢驗方法具有普適應，可以推廣到相關(guān)產(chǎn)業(yè)領域的實證檢驗。

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