孫小素

（山東工商學院 統(tǒng)計系，山東 煙臺 264005）

0 引言

統(tǒng)計過程控制技術（SPC）對于監(jiān)控過程的穩(wěn)定性，提升產品品質發(fā)揮了巨大的作用。傳統(tǒng)的SPC控制圖假設觀測值相互獨立，但在實際應用中，制造過程往往具有自相關性，若將此類型資料以傳統(tǒng)的常規(guī)控制圖進行監(jiān)控，容易產生誤判，從而導致不必要的成本浪費。因此，有部分學者[1]，提出配適原始資料的時間序列模型，由于假設模型的殘差彼此獨立，若模式配適正確，即可利用傳統(tǒng)的SPC控制圖監(jiān)控殘差值，達到監(jiān)控品質的目的。目前已有4種控制圖適合偵測自相關過程均值的變動，分別是殘差EWMA控制圖、殘差CUSUM控制圖、Autoregressive T2控制圖以及ARMA控制圖。Lu和Reynolds（2001）[2]指出在監(jiān)控自相關制造過程上，殘差EWMA控制圖與殘差CUSUM控制圖的表現(xiàn)十分相似。Apley和Tsung（2002）[3]認為Autoregressive T2控制圖的偵測效果較殘差CUSUM控制圖佳。Jiang（2000）[4]等認為ARMA控制圖較EWMAST控制圖佳。張志雷（2012）[5]對ARMA和殘差控制圖進行了比較研究，認為ARMA更為靈敏。從這些學者的研究內容看，目前尚無對4種自相關控制圖的整體性評估。正是由于4者缺乏整體性評估，質量管理人員在面對自相關制造過程時，對于應該采用何種控制圖進行監(jiān)控更為合理常感困惑。本文將針對這4種控制圖在監(jiān)控自相關過程上的表現(xiàn)做詳盡的比較分析，并針對這4種控制圖的使用時機進行評估并提出建議，為質量管理人員的正確選擇提供理論依據(jù)。

1 四種自相關模式控制圖述評

傳統(tǒng)的SPC控制圖假設所有觀測值相互獨立，但如果將具有顯著自相關性的過程視為獨立時，很容易因低估過程變異使控制界限比實際來得狹窄，而造成過高的誤警率與頻繁的調整。因此，探討自相關過程的監(jiān)控方法非常必要和重要。近年來，在眾多學者[6,7]的努力下，已開發(fā)出兩類適用于監(jiān)控自相關過程的控制圖：其一是先擬合自相關過程的時間序列模型，再利用時間序列模型殘差相互獨立且服從正態(tài)分布的特性，以傳統(tǒng)控制圖直接監(jiān)控殘差值，即可達到及時偵測異常模式的目的。其二是使用傳統(tǒng)的常規(guī)控制圖，但必須重新調整常規(guī)控制圖的上下控制界限，因為具有自相關性的過程其變異通常會增大。

1.1 EWMA殘差控制圖

Montgomery和Mastrangelo（1991）指出過去的學者針對自相關過程的監(jiān)控準則均先將原始資料擬合時間序列模型，再利用常規(guī)控制圖對殘差進行監(jiān)控，但若過程均值變動量較小，傳統(tǒng)的常規(guī)控制圖不易偵測其異常點，故他使用EWMA控制圖代替常規(guī)控制圖。

Wardell等（1994）則利用模擬的方式分別比較當過程為ARMA(1,1)模式時，傳統(tǒng)的常規(guī)控制圖、EWMA控制圖、有額外控制界限預測值常規(guī)控制圖與殘差值常規(guī)控制圖的偵測效果。

Harris和Ross（1991）[8]深入探討數(shù)個不同相關性結構的過程，如AR(1)模式、含非相關誤差的AR(1)模式（AR（1））、有自相關誤差的固定量測等對傳統(tǒng)EWMA控制圖與CUSUM控制圖多造成的影響，結果發(fā)現(xiàn)當自相關程度很高時，無論是使用哪一種控制圖對于監(jiān)控過程均值微小偏移的效果均非常不理想，容易產生誤判。

Zhang（1998）考慮不使用殘差值進行監(jiān)控，而將原始的EWMA控制圖中偵測統(tǒng)計量的標準差估計式，轉換成以自相關函數(shù)（Autocorrelation Function，簡稱ACF）的函數(shù)形式表示，重新修正原始EWMA控制圖的控制界限，使修正后的EWMA控制圖較穩(wěn)健而不容易受過程的自相關性所影響，他將其稱為EWMAST控制圖。

Lu和Reynolds（1999）[9]構造了過程為ARMA(1，1)模式的殘差EWMA控制圖。他們分別評估以原始觀測值為基礎以及以殘差為基礎的EWMA控制圖在面對不同自相關程度過程上的表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)在監(jiān)控低度或中度的自相關過程時，兩者的表現(xiàn)非常接近；但針對高相關過程時，殘差值EWMA控制圖在偵測過程均值偏移時的速度較快。

1.2 CUSUM殘差控制圖

Runger等（1995）利用馬爾科夫鏈方法推導出AR(1)模型殘差值的CUSUM控制圖的平均鏈長計算公式。他們認為，若過程為AR(1)模式，當過程均值發(fā)生偏移時，殘差值的期望值將不再是一個固定的常數(shù)，因此建議將參考值設定為(1-?)σ2。

Lu和Reynolds（2001）[2]構造出以殘差值為基礎的雙側CUSUM控制圖，他們對該控制圖在監(jiān)控自相關過程的偵測效果進行了評估，得到了與他們在1999年關于殘差EWMA控制圖相類似的結果，即原始觀測值與殘差值的CUSUM控制圖在低中度相關程度上的偵測效果十分相近，在高度自相關時殘差值CUSUM控制圖的表現(xiàn)為佳。

1.3 AutoregressiveT2控制圖

Apley和Tsung（2002）[3]采取一種不同于前面所述的方法監(jiān)控自相關過程，他們延續(xù)了Krieger（1992）[10]等及AlwanA.J和AlwanL.C（1994）[6]的想法，將原始過程的單變量觀測值以視窗方式分割成多變量，并仿照HotellingT2控制圖的監(jiān)控方法，提出AutoregressiveT2控制圖。他們令xt為自相關過程在t時刻的觀測值，假設過程服從正態(tài)分布，其均值為μ，自協(xié)方差為γk=E[(xt-μ)(xt+k-μ)]。記μ0是已知的目標值。以視窗大小p切割原始觀測值得到一個p維向量Xt={xt-p+1，xt-p+2，…，，則Xt服從p維正態(tài)分布。若xt為一穩(wěn)定的ARMA模式，記Xt的協(xié)方差矩陣為∑，當過程受控是均值向量為μ0={μ0，μ0，…，，若 ∑已知，則控制統(tǒng)計量就服從自由度為p的卡方分布，在固定的α下，其控制的上限為(p)。

1.4 ARMA控制圖

特殊原因控制圖SCC（Special-Cause Chart）與EWMAST控制圖設計的初衷是，以原始觀測值為控制統(tǒng)計量，通過調整常規(guī)控制圖的控制界限，來消除自相關的影響。但如果仔細比較這兩種控制圖的偵測效果，不難發(fā)現(xiàn)若實際過程表現(xiàn)為ARMA(3，2)，EWMAST偵測過程微小變動的速度較SCC快；當過程為ARMA(2，1)時，SCC的表現(xiàn)又優(yōu)于EWMAST?？梢姡@兩種控制圖的表現(xiàn)會因過程的不同自相關模式而不同。因此，質量管理人員面對不同的過程自相關模式時就存在控制圖的選擇問題。否則一旦使用錯誤，會延緩偵測出偏移的最佳時機或產生較高的誤警率。故Jiang等（2000）[4]建議使用一種新的控制圖——ARMA控制圖來取代SCC與EWMAST控制圖。

假設過程為一穩(wěn)定狀態(tài)的ARMA模式，依據(jù)Zhang（1998）構造EWMAST控制圖的方法，則ARMA控制圖統(tǒng)計量Zt可通過下式計算：

而穩(wěn)定狀態(tài)Zt的方差為：

當u=1-λ，v=0時，ARMA控制圖即為EWMAST控制圖，而當u=θ，v v0=?時，ARMA控制圖即為SCC控制圖，故EWMAST控制圖與SCC控制圖可視為ARMA控制圖的特例?？梢?，ARMA控制圖適用面更廣，偵測均值變動的范圍較大，且偵測效果也好于前兩種控制圖。

2 四種自相關過程控制圖的比較

2.1 控制圖偵測效果評價標準的設定

衡量控制圖偵測效果的指標有很多，如漂移敏感性、誤警率、平均鏈長等，本文選擇控制圖最常用的評估指標——平均鏈長（簡稱ARL），以衡量控制圖的控制效果。平均鏈長依據(jù)過程是否處于受控狀態(tài)，可分為受控狀態(tài)的平均鏈長（記為ARL0）以及失控狀態(tài)下的平均鏈長（out-of-control ARL，記為ARL1），前者是指當過程處于穩(wěn)定狀態(tài)時，從開始到控制圖發(fā)出異常警報所需的樣本數(shù)；后者是指當過程失控時，從開始到偵測出失控所需的樣本數(shù)。一般而言，若過程失控，平均鏈長越小，說明失控狀態(tài)被偵測出來的速度越快。因此，本文在對各控制圖進行比較研究時，假設所有控制圖在受控狀態(tài)時的平均鏈長為370，同時設定不同的漂移量（δ=(μ1-μ0)σ），觀察其脫離受控狀態(tài)時的平均鏈長ARL1。

2.2 不同自相關程度及不同時間序列模型對控制圖偵測能力的影響

本文設定5種漂移量——δ=0.25，0.5，1，2，3，每次只有一個觀測值（即n=1），在低度、中低度、中度及高度相關程度下，以失控狀態(tài)下的平均鏈長并參考Lu和Reynolds（1999）[9]所提及的AR(1)及隨機誤差模式的作法，來評估殘差EWMA、殘差CUSUM、Autoregressive T2、ARMA這4種控制圖監(jiān)控過程均值變動的能力。

2.2.1 AR(1)及隨機誤差模式

若將自相關過程的觀測值Xk記為：Xk=μk+εk，式中，μk為時刻k過程的均值；εk為一獨立且服從正態(tài)分布，均值為0，方差為的隨機變量。假設，μk為一AR(1)模式的過程，其均值為?，則：

其中，vk為AR(1)模式的隨機誤差；?為自回歸參數(shù)，滿足 |?|≤1。

若vk~N(0，為一獨立的正態(tài)隨機變量，且vk與εk不 相 關 ，則=(1-?2)。 因 此 ，E(Xk)=?，Var(Xk)==+。定義ψ==(+，表示AR(1)模式變異占整個過程變異的比例，亦即AR(1)模式影響整體過程的程度。同時，由前面的關系式不難求出，觀測值Xk-1與Xk之間的自相關系數(shù)為ρ=?ψ。

2.2.2 ARMA(1，1)模式

若原始過程為ARMA(1，1)模式，則觀測值Xk可由下面的關系式表示：

表1 不同自相關程度下，4種控制圖的ARL1

其中，γk為獨立的正態(tài)隨機變量，其均值為0，方差為。θ為移動平均參數(shù)，?為自回歸參數(shù)。

Reynolds等（1996）曾推導出一參數(shù)轉換公式，可將ARMA(1，1)模式的參數(shù)?、θ、以AR(1)加隨機誤差模式的參數(shù)?、σv2、來表示。

若?＞0，即觀測值為正自相關，則：

反之，亦可將AR(1)加隨機誤差模式以ARMA(1，1)模式的參數(shù)表示。若?＞0，即觀測值為正自相關，則相應的表達式為：

2.2.3 不同自相關程度對控制圖偵測能力的影響

假設?=0，=1.0，=0.5，并考慮自回歸參數(shù)為正數(shù)（這一假定比較合理，因為很多過程自相關的原因均為慣性的作用），在不同的自相關程度下，用前面介紹的4種控制圖模擬10000次，計算其失控狀態(tài)下的平均鏈長ARL1，整理列入表1中。模擬過程需要說明的是：（1）EWMA殘差控制圖采用的是Lu和Reynolds（1999）[9]所提及的AR(1)及隨機誤差模式的作法，該圖的控制上下界線為（因為假定?=0），其中λ為平滑系數(shù)，c為與第一類錯誤α相關的概率度，如α=0.27%時，c=3；（2）CUSUM殘差控制圖使用的統(tǒng)計量由Lu和Reynolds（2001）[2]定義為：

其中，rσ為參考值，若或超出控制界限±c'σ，則控制圖將發(fā)出警報；（3）Alwan A.J和 Alwan L.C（1994）[6]指出，質量管理人員要使用Autoregressive T2控制圖，必須先設定視窗大小p及第一類錯誤的概率α；（4）關于u，v，則采用Zhang（1998）利用自相關函數(shù)（ACF）重新修訂原始EWMA控制圖，構建ARMA控制圖中的參數(shù)；（5）4種控制圖中的參數(shù)的確定方法是，不斷試算以確保ARL0約為370。

表1列出的模擬結果表明，在低度自相關(ρ=0.2)，過程均值漂移量較小時(0.25σ,0.5σ)，控制效果最好的控制圖為ARMA控制圖；在相同的相關程度下，當漂移量達到1.0σ時，則以CUSUM殘差控制圖為最佳；當漂移量進一步增大，超過1.0σ時，則以Autoregressive T2控制圖偵測效果最佳。增加自相關程度，達到低中度相關的0.32，在過程均值較小的漂移量(0.25σ,0.5σ)，仍以ARMA控制圖效果最佳；漂移量達到1.0σ時，則以EWMA殘差控制圖為最佳；當漂移量超過1.0σ時，則以Autoregressive T2控制圖偵測變動的速度最快。在中度自相關(ρ=0.45)時，過程偏移量為0.25σ，0.5σ及1.0σ時，偵測效果最好的控制圖均為ARMA控制圖；超過1.0σ時，則以Autoregressive T2表現(xiàn)最佳。在高度自相關(ρ=0.72)時，在任何漂移量下均以ARMA控制圖的偵測效果最佳。

綜合上面的分析，不難得到如下的結論：

其一，隨著過程的自相關程度增加，資料彼此干擾的現(xiàn)象將變得嚴重。因此，不論是應用何種控制圖，在過程均值發(fā)生同等漂移時，都需要更長時間才能偵測到（見各種控制圖同一列的ARL1）；

其二，總體來看，以殘差為基礎設計出的兩種控制圖——CUSUM與EWMA，其偵測效果十分接近，但在偵測較小偏移量(低于1.0σ)時，以CUSUM殘差控制圖略佳；而對于大的偏移量(超過2.0σ)，又以EWMA殘差控制圖略佳；

其三，如同Apley和Tsung（2002）[3]模擬結果顯示的那樣，Autoregressive T2控制圖在偵測大型偏移時(不低于2.0σ)較殘差的兩種控制圖來得迅速，在偵測小的偏移量(低于2.0σ)時，又不如殘差的兩種控制圖。本文認為其中的原因是Autoregressive T2控制圖將單變量觀測值以視窗方式轉換成多變量，在轉換的過程中容易丟失過程均值微小偏移的信息。此外，Apley和Tsung兩位學者仿照Hotelling T2控制圖建立控制圖，Hotelling T2控制圖本身就對偵測過程的微小變動不靈敏；

其四，在過程低度或中度自相關時，EWMA殘差控制圖在偵測較大的偏移時(不低于1.0σ)勝于ARMA控制圖，但差距并不明顯?？傮w來看，ARMA控制圖的監(jiān)測效果較不易受過程自相關程度的大小所干擾，因此，最適合用于高度自相關過程的異常模式偵測。

綜上所述，對具有自相關過程的統(tǒng)計控制，可首選ARMA控制圖來偵測其異常模式。

2.2.4 不同時間序列模型對控制圖偵測能力的影響

表1比較了不同自相關程度下，4種控制圖偵測異常模式的效果，并未區(qū)分自相關的時間序列模型。事實上，時間序列可以構建不同的模型，模型不同又會對4種控制圖的偵測效果造成什么影響？

這里假設?=0，=1.0，亦僅考慮正自相關的情形。同樣使用模擬的方法，計算4種控制圖的ARL1，聯(lián)同設定的相關參數(shù)一并列入表2。

表2 不同時間序列模型下，4種控制圖的ARL1

觀察表2可知，在過程為AR(1)模式下，當?=0.9時，無論均值偏移大小，ARMA控制圖遠好于其他3種。當?=0.5時，均值偏移量較小時(不超過1.0σ)，依然是ARMA控制圖遠好于其他3種；均值偏移量較大時(超過1.0σ)，Autoregressive T2控制圖偵測異動最快，但不比ARMA快太多。在過程為ARMA(1,1)模式下，當?=0.9，θ=-0.9或?=0.9，θ=-0.5時，同樣無論均值偏移大小，ARMA控制圖遠好于其他3種。在?=0.9，θ=0.5下，均值小的偏移(0.25σ)，還是ARMA控制圖最好；但均值偏移量大(超過1.0σ)后，最靈敏的控制圖就變?yōu)锳utoregressive T2控制圖。在?=0.5，θ=-0.9或?=0.5，θ=-0.5時，同樣無論均值偏移大小，4種控制圖的監(jiān)測效果以ARMA控制圖為最佳。

3 結論

本文通過上面分析和比較，可以得到下述結論：

其一，若過程為AR(1)模式，則自回歸系數(shù)?越大，任何自相關控制圖偵測出異常所需的時間越久，相比較而言，ARMA控制圖好于其他3種控制圖。

其二，若過程為ARMA(1,1)模式，給定自回歸系數(shù)?，當移動平均系數(shù)θ越小時，則ARMA控制圖的ARL1越小，但其他3種控制圖卻越大。若給定移動平均系數(shù)θ，自回歸系數(shù)?越小時，4種控制圖的ARL1均越小。

其三，整體而言，除了在低、中度自相關下，ARMA控制圖偵測過程均值大偏移的速度較EWMA殘差控制圖稍慢外，4種控制圖以ARMA控制圖的偵測效果為最佳。

綜合前文的分析，對具有自相關過程（不管自相關程度如何）的統(tǒng)計控制，無論自相關的過程是AR(1)模式，還是ARMA(1,1)模式，可首選ARMA控制圖來偵測其異常模式，但做控制圖之前應先確立時間序列模型，因為模型不同ARMA控制圖的偵測效果差異很大。

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