孫 燕，胡美娣

（上海財(cái)經(jīng)大學(xué)a.經(jīng)濟(jì)學(xué)院；b.數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200434）

0 引言

許多個(gè)體和企業(yè)的決策需要基于相關(guān)經(jīng)濟(jì)理論揭示其經(jīng)濟(jì)關(guān)系與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的數(shù)量規(guī)律，而經(jīng)濟(jì)理論涉及的很多變量往往是無(wú)法直接觀測(cè)到的，如永久收入、效用、能力和預(yù)期等。在永久收入假說(shuō)中，可假定記錄的某個(gè)個(gè)體收入是從某個(gè)潛在的、期望為“永久性收入”的收入總體中取出的一個(gè)樣本，因此用記錄的收入來(lái)測(cè)度永久性收入存在著測(cè)量誤差。微觀調(diào)查數(shù)據(jù)也往往存在著上面提到的“誤差”[1]，故隨著基于微觀調(diào)查數(shù)據(jù)的研究的急劇增加，能處理測(cè)量誤差的計(jì)量方法變得越來(lái)越重要。這是因?yàn)楹雎詼y(cè)量誤差很可能會(huì)產(chǎn)生內(nèi)生性問(wèn)題，導(dǎo)致模型參數(shù)估計(jì)的非一致性[2]，從而很可能會(huì)掩蓋變量之間的真實(shí)關(guān)系，由此得到的推斷也是不正確的。如在多數(shù)商品消費(fèi)研究中發(fā)現(xiàn)的“increasing dispersion”現(xiàn)象[3]，即隨著總消費(fèi)X的增加，某商品消費(fèi)Y的波動(dòng)幅度增大（Var(Y|X)隨X的增大而增大），并基于這樣的行為特征導(dǎo)出了商品需求規(guī)律。但Nadai和Lewbel[4]的最新研究發(fā)現(xiàn)“increasing dispersion”現(xiàn)象事實(shí)上部分是由測(cè)量誤差引起的，并不能完全用個(gè)人消費(fèi)行為特征進(jìn)行解釋，這對(duì)政策制定有重要的含義。又如陳琳[5]在我國(guó)城鎮(zhèn)代際收入彈性的估計(jì)中糾正了測(cè)量誤差，由此識(shí)別出了純粹由收入因素導(dǎo)致的變動(dòng)關(guān)系。

另一方面，實(shí)際應(yīng)用中許多經(jīng)濟(jì)變量之間很可能存在著非線性的關(guān)系，有很多學(xué)者研究了解釋變量帶測(cè)量誤差的非線性模型的估計(jì)[6,7]，但實(shí)際問(wèn)題研究中非線性模型設(shè)定的依據(jù)往往并不充分，因此很可能存在模型設(shè)定偏誤問(wèn)題。于是很多學(xué)者開(kāi)始考慮非參數(shù)測(cè)量誤差模型的估計(jì)問(wèn)題，如Fan和Truong[8]在測(cè)量誤差分布已知的條件下，利用核卷積方法建立了非參數(shù)函數(shù)的估計(jì)；Schennach[9]及Hu和Sasaki[10]則在能夠得到解釋變量的另一個(gè)不精確觀測(cè)條件下，驗(yàn)證了非參數(shù)函數(shù)的可識(shí)別性，并基于此建立了非參數(shù)估計(jì)；Nadai和Lewbe[4]基于工具變量驗(yàn)證了非參數(shù)函數(shù)的可識(shí)別性，并基于廣義矩（GMM）方法建立了非參數(shù)部分的估計(jì)。雖然非參數(shù)函數(shù)的設(shè)定具有很好的靈活性，但當(dāng)解釋變量個(gè)數(shù)較多時(shí)會(huì)遭遇“維數(shù)詛咒”問(wèn)題，因此難以在實(shí)際應(yīng)用中得到廣泛應(yīng)用。

半?yún)?shù)模型既能充分利用現(xiàn)有信息，把與被解釋變量有明確關(guān)系的這部分解釋變量或控制變量設(shè)為參數(shù)形式，又能把與被解釋變量關(guān)系不夠明確的或者是研究感興趣的這部分解釋變量設(shè)為非參數(shù)形式，這種非參數(shù)的設(shè)定也為實(shí)際應(yīng)用中參數(shù)設(shè)定是否合理提供了數(shù)據(jù)證據(jù)和檢驗(yàn)的框架。關(guān)于半?yún)?shù)測(cè)量誤差模型的研究，Liang[11]在測(cè)量誤差分布已知的條件下，給出了非參部分帶測(cè)量誤差的部分線性模型的估計(jì)；李小莉[12]則基于帶測(cè)量誤差的解釋變量的輔助信息，研究了幾種半?yún)?shù)模型的估計(jì)問(wèn)題，但她們僅考慮了線性解釋變量部分帶測(cè)量誤差但非參數(shù)部分不帶測(cè)量誤差的情形的估計(jì)，且其提出的輔助信息在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中難以獲得。

綜上，為了得到解釋變量存在測(cè)量誤差時(shí)模型未知部分的一致估計(jì)，需要新增假定條件，該條件往往被稱為識(shí)別條件，如測(cè)量誤差分布已知、存在解釋變量的另一個(gè)不精確度量或者工具變量等。統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量中關(guān)于測(cè)量誤差模型的研究，較大的差異是模型的識(shí)別條件，由此建立了不同的估計(jì)?，F(xiàn)有統(tǒng)計(jì)學(xué)中的識(shí)別條件概括而言有誤差分布已知、誤差方差已知或存在大量重復(fù)不精確觀測(cè)，這些條件在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題的研究中往往不成立。不同于現(xiàn)有文獻(xiàn)，本文將探討基于微觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的非參數(shù)部分帶測(cè)量誤差的部分線性模型，借鑒Schennach[9]的識(shí)別方法，基于核估計(jì)、Fourier變換和特征函數(shù)建立了模型中未知部分的估計(jì)，并將其運(yùn)用于我國(guó)城鎮(zhèn)居民食品消費(fèi)與收入關(guān)系的研究中，試圖識(shí)別出純粹由于永久收入變動(dòng)導(dǎo)致的商品消費(fèi)變動(dòng)的影響效應(yīng)。

1 非參數(shù)部分帶測(cè)量誤差的部分線性模型

1.1 模型

本文考慮如下非參部分帶測(cè)量誤差的部分線性模型：

其中y為解釋變量；z∈R是本文感興趣的解釋變量，但z的觀測(cè)帶有測(cè)量誤差，即觀測(cè)到的是w1，u1為不可觀測(cè)的測(cè)量誤差；g(·)為未知光滑函數(shù)；x∈Rp為其他p個(gè)解釋變量或控制變量（不含常數(shù)項(xiàng)），β∈Rp為未知回歸系數(shù)；ε為隨機(jī)誤差項(xiàng)。模型（1）既充分利用了先驗(yàn)信息，又具有一定的靈活性，也為實(shí)證應(yīng)用中常見(jiàn)的g(·)的線性設(shè)定是否準(zhǔn)確提供了一個(gè)檢驗(yàn)的框架，本文感興趣的正是g(·)的估計(jì)。

雖然本文假定x不存在測(cè)量誤差，但事實(shí)上若x中也存在測(cè)量誤差，只要x中的測(cè)量誤差與z獨(dú)立，則x中的測(cè)量誤差并不會(huì)影響g(·)的估計(jì)。同樣地，若解釋變量y中的測(cè)量誤差與x，z獨(dú)立，則y中的測(cè)量誤差也不會(huì)影響g(·)的估計(jì)。為簡(jiǎn)單計(jì)，本文假定y中也不存在測(cè)量誤差。

1.2 未知光滑函數(shù)的識(shí)別與估計(jì)

由于模型（1）中的解釋變量z存在測(cè)量誤差，故僅基于(y，w1，x)的觀測(cè)樣本和現(xiàn)有條件是無(wú)法唯一確定未知函數(shù)g(·)的。同文獻(xiàn)[9]，本文假定可以得到z的另一個(gè)不精確測(cè)量w2：w2=z+u2，其中u2的期望可以為非零，如微觀調(diào)查中上一年度的收入數(shù)據(jù)。若進(jìn)一步假定E(ε|x，z，u2)=0，E(u1|z，u2)=0，z與u2相互獨(dú)立，則由文獻(xiàn)[9]定理 1及文獻(xiàn)[10]定理1可得，基于樣本 (y，w1，w2，x)，模型（1）中的未知函數(shù)g(z)是唯一確定的（即是可識(shí)別的）。

為了得到非參部分g(z)的估計(jì)，本文采用二步估計(jì)方法，即先假定回歸系數(shù)β已知，利用非參數(shù)測(cè)量誤差模型的估計(jì)方法得到g(·)的初始估計(jì)，然后將其代入模型（1）并利用非線性最小二乘法得到β的估計(jì)，最后將代入得到g(·)的最終估計(jì)。具體地：

步驟1：假定參數(shù)β已知，(w，w，xj)為樣本數(shù)據(jù)，則可得g(·)的初始估計(jì)為（其估計(jì)過(guò)程見(jiàn)下文）：

κ(·)表示核函數(shù)K(·)的Fourier變換。

步驟2：將估計(jì)式（2）代入模型（1），并利用非線性最小二乘法可得β的估計(jì)為:

求解該最小化問(wèn)題可得：

其中：

步驟3：將式（3）代入式（2）即可得g(·)的最終估計(jì)。

1.3 回歸系數(shù)已知時(shí)非參數(shù)估計(jì)式（2）的導(dǎo)出

回歸系數(shù)β已知時(shí)，上文給出的非參數(shù)函數(shù)估計(jì)式（2）并不是顯而易見(jiàn)的，本文將給出式（2）的估計(jì)過(guò)程。若模型（1）中的z可觀測(cè)，則在回歸系數(shù)β已知時(shí)，模型（1）中非參數(shù)函數(shù)g(·)在點(diǎn)τ處的常見(jiàn)核估計(jì)為式（4）的矩估計(jì)：

其中Y=y-xTβ，Kh(·)=K(·/h)/h，K(·)為核函數(shù)，h為窗寬。

這里的問(wèn)題是z是無(wú)法觀測(cè)的，能觀測(cè)到的是存在測(cè)量誤差的w1和另一個(gè)不精確度量w2。綜合借鑒文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[9]定理1的方法，本文將基于式（4）給出式（2）中g(shù)(·)的初始估計(jì)。具體地：

其中fz(·)為z的密度函數(shù)。記i=，則K(·)的Fourier變換為

故

將其代入式（5），通過(guò)變量代換及積分順序交換可得：

同理可得式（6）可化為:

其中?z(t)=E(eitz)為隨機(jī)變量z的特征函數(shù)。

下面結(jié)合文獻(xiàn)[9]定理1和文獻(xiàn)[10]定理1的方法給出式（7）、式（8）中 未 知 部 分E(Yeiωz)和?z(t)的 基 于(y，w1，w2，x)的表達(dá)式。

因?yàn)閣2=z+u2，z與u2相互獨(dú)立，故基于特征函數(shù)性質(zhì)可得：

又經(jīng)計(jì)算可得二維隨機(jī)變量(w1，w2)的特征函數(shù)為?w1w2(t2)=E(eit1w1+it2w2)，于是由E(u1|z，u2)=0 ，z與u2相互獨(dú)立可得：

同理由 (Y，w2)的特征函數(shù)?Yw2(t，t2)=E(eitY+it2w2)，式（9）及條件E(ε|z，u2)=0，z與u2相互獨(dú)立，可導(dǎo)出：

將式（11）、（12）分別代入式（7）、（8），并用樣本矩替換總體矩即可得估計(jì)式（2）。

2 Monte Carlo模擬

下面將采用Monte Carlo模擬研究驗(yàn)證估計(jì)量在實(shí)際運(yùn)行中的表現(xiàn)。數(shù)據(jù)真實(shí)生成過(guò)程為：y=xTβ+g(z)+ε,β=0.75，w1=z+u1，w2=z+u2，本文能觀測(cè)到的就是(y，w1，w2，x)的數(shù)據(jù)?？紤]如下三個(gè)不同非參數(shù)函數(shù)設(shè)定的數(shù)值模擬例子：

例1：

例2：

例3：

在這三個(gè)例子中，考察了不同的非參數(shù)函數(shù)設(shè)定形式，且在第二個(gè)例子中，允許第二個(gè)觀測(cè)的測(cè)量誤差u2均值不為0。另外，在上述三個(gè)模擬例子中，帶測(cè)量誤差部分的解釋變量其信號(hào)噪音比為4:1，觀測(cè)到的數(shù)據(jù)中測(cè)量誤差占比20%，應(yīng)該不算太大。分別從相應(yīng)的模型中獨(dú)立抽取樣本容量n=200，500的樣本，重復(fù)抽取500次，生成樣本容量相同的500個(gè)仿真數(shù)據(jù)集。基于文中的估計(jì)方法，使用Silverman[13]提出的經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)則選擇帶寬h，即h=1.06*σ^*n-1/5，其中σ^是w1的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

為了比較本文估計(jì)的效果，在模擬計(jì)算中本文還分別給出了無(wú)測(cè)量誤差的核估計(jì)（即將z的數(shù)據(jù)代入）作為基準(zhǔn)，并與帶測(cè)量誤差的核估計(jì)（即將z替換為w1）進(jìn)行對(duì)比。這里同樣使用兩步法給出這兩個(gè)核估計(jì)，即：

步驟1：假定參數(shù)β已知，利用NW核估計(jì)方法，得到g(·)的初始估計(jì)：

步驟2：將非參數(shù)初始估計(jì)式（13）代入模型（1），并利用非線性最小二乘法可得β的估計(jì)為：

步驟3：將式（3）代入式（2）即可得g(·)的最終估計(jì)。

無(wú)測(cè)量誤差下g(·)的核估計(jì)為用各zj替換上述步驟中相應(yīng)的vj（記為NW noerror）；而帶測(cè)量誤差的g(·)核估計(jì)為用各w替換上述步驟中相應(yīng)的vj（記為NW error）。本文NW估計(jì)均采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)核，估計(jì)結(jié)果如圖1至圖6所示，其中從左至右分別是本文的估計(jì)、NW error的估計(jì)和NW noerror估計(jì)。圖中實(shí)線表示函數(shù)真實(shí)值，五條虛線從上至下分別表示非參數(shù)估計(jì)的90th、70th、50th、30th、10th分位數(shù)。由圖可見(jiàn)，本文非參估計(jì)的中位線幾乎與真值重合，且比不考慮測(cè)量誤差的NW error估計(jì)偏差小，尤其在曲線的曲率比較大的地方表現(xiàn)得更為明顯。而且在本文的例子中，可觀測(cè)數(shù)據(jù)中的測(cè)量誤差占比較小為20%，可見(jiàn)測(cè)量誤差的存在導(dǎo)致NW error的核估計(jì)偏差較大，尤其在非線性部分偏差更大。顯然，隨著樣本容量的增大，本文提出的非參數(shù)部分估計(jì)越來(lái)越靠近真實(shí)曲線。

圖1 g(z)=sin(z)時(shí)非線性部分估計(jì)結(jié)果（N=200）

圖2 g(z)=sin(z)時(shí)非線性部分估計(jì)結(jié)果（N=500）

圖3 g(z)=exp(z)/(1+exp(z))時(shí)非線性部分估計(jì)結(jié)果（N=200）

圖4 g(z)=exp(z)/(1+exp(z))時(shí)非線性部分估計(jì)結(jié)果（N=500）

圖5 g(z)=-z2/4時(shí)非線性部分估計(jì)結(jié)果（N=200）

圖6 g(z)=-z2/4時(shí)非線性部分估計(jì)結(jié)果（N=500）

3 實(shí)例應(yīng)用

根據(jù)Friedman[14]的永久收入假說(shuō)，消費(fèi)僅依賴于家庭的永久收入。然而，由于永久收入是不可觀測(cè)的，研究者們往往使用家庭的歷史或者當(dāng)前收入作為其觀測(cè)值，顯然數(shù)據(jù)中存在著測(cè)量誤差。本文將基于中國(guó)居民收入調(diào)查數(shù)據(jù)庫(kù)（縮寫CHIP）2002年城鎮(zhèn)居民的數(shù)據(jù)，利用模型（1）研究食品消費(fèi)與收入的關(guān)系。本文假定收入消費(fèi)的函數(shù)形式g(·)未知，這種非參數(shù)的設(shè)定方法能給實(shí)證應(yīng)用中參數(shù)形式的設(shè)定是否準(zhǔn)確提供數(shù)據(jù)證據(jù)。除了收入之外，還有其他因素會(huì)影響消費(fèi)，如袁志剛和宋錚[15]認(rèn)為人口年齡結(jié)構(gòu)的變化改變了城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)行為。因此本文在模型中加入了人口結(jié)構(gòu)的控制變量。由于我國(guó)國(guó)土遼闊，各地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、消費(fèi)習(xí)慣和客觀環(huán)境不同，因此，將分東、中、西三組分別探討城鎮(zhèn)居民家庭食品消費(fèi)與收入的關(guān)系。

3.1 數(shù)據(jù)說(shuō)明

家庭人口結(jié)構(gòu)變量包含家庭人口年齡結(jié)構(gòu)變化和人口總數(shù)變化兩個(gè)概念，根據(jù)邵鋼[16]對(duì)不同的年齡組食品消費(fèi)水平的系數(shù)假設(shè)，本文將家庭成員按年齡分成兒童組：0～14歲、成人組：15～60歲以及老人組：60+歲，并將兒童組和老年組都按0.8折算成標(biāo)準(zhǔn)人，對(duì)家庭內(nèi)所有成員按標(biāo)準(zhǔn)人進(jìn)行加總得到家庭總標(biāo)準(zhǔn)人量，并取對(duì)數(shù)作為本文家庭人口結(jié)構(gòu)變量。收入是家庭總年收入（元/年），消費(fèi)是家庭總年消費(fèi)（元/年）。本文刪掉了其中有缺失數(shù)據(jù)的樣本。數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1。

表1 數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計(jì)

3.2 估計(jì)結(jié)果

基于模型（1），其中g(shù)(·)表示控制人口結(jié)構(gòu)后，東中西三地區(qū)的永久收入與食品消費(fèi)的關(guān)系，其斜率表示食品消費(fèi)的收入彈性；利用上文的估計(jì)方法得東中西三地區(qū)的永久收入對(duì)數(shù)與食品支出對(duì)數(shù)關(guān)系g(·)估計(jì)如圖7所示。由此可見(jiàn)，各個(gè)地區(qū)食品支出對(duì)數(shù)與家庭收入對(duì)數(shù)關(guān)系大體呈線性關(guān)系，這也驗(yàn)證了在食品消費(fèi)與收入關(guān)系研究中的對(duì)數(shù)線性模型設(shè)定是合理的。且在相同收入水平下，中部地區(qū)食品支出最少；而在低收入和高收入水平下，東部地區(qū)食品支出最多。程蘭芳[17]將東部地區(qū)2002年食品支出比重大的原因歸于東部地區(qū)在肉禽品、奶制品以及外用餐等項(xiàng)上消費(fèi)支出遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于中西部地區(qū)。而中部地區(qū)收入水平較低，因而物價(jià)水平更低，從而導(dǎo)致相同收入水平下，中部地區(qū)家庭食品支出最小。

圖7 家庭食品支出對(duì)數(shù)與家庭收入對(duì)數(shù)關(guān)系

4 結(jié)論

測(cè)量誤差的存在往往導(dǎo)致模型存在內(nèi)生性問(wèn)題，忽略它將使得線性和非線性模型的估計(jì)非一致，因此，本文研究了非參部分帶測(cè)量誤差的部分線性模型的估計(jì)，該模型的設(shè)定具有很大的靈活性，能防止模型設(shè)定偏誤導(dǎo)致感興趣變量估計(jì)的非一致性，也為實(shí)證應(yīng)用中參數(shù)形式的設(shè)定是否合理提供了數(shù)據(jù)檢驗(yàn)的方法。本文在帶測(cè)量誤差的解釋變量存在另一不精確度量的前提下，結(jié)合核估計(jì)、Fourier變換和特征函數(shù)方法建立了非參數(shù)部分的兩步估計(jì)。蒙特卡洛模擬結(jié)果表明本文的估計(jì)量在估計(jì)非線性部分時(shí)更好，偏差較小。最后本文將該模型及方法運(yùn)用于我國(guó)城鎮(zhèn)家庭食品消費(fèi)與收入關(guān)系的估計(jì)上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)支持對(duì)數(shù)線性模型的設(shè)定，更嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)有待進(jìn)一步的研究。

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