安志云,李志堅(jiān)

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

近些年,在量子行走研究領(lǐng)域,無(wú)論是理論研究[1-4]還是實(shí)驗(yàn)研究[5-8]都取得了很大的進(jìn)展。作為經(jīng)典隨機(jī)行走的量子力學(xué)推廣,量子行走是一個(gè)簡(jiǎn)單卻應(yīng)用廣泛的模型[9]。例如利用量子行走可以執(zhí)行量子搜索算法[10],可以模擬諸如光合作用中的能量傳輸?shù)纫恍?fù)雜的生物過(guò)程[11],可以探索拓?fù)湎嗖?shí)現(xiàn)人造拓?fù)浣^緣體材料[12]等等。量子行走與經(jīng)典隨機(jī)行走的不同之處在于量子態(tài)的相干性,這會(huì)使得量子行走呈現(xiàn)出傳播速度更快,位置方差隨時(shí)間平方變化的特點(diǎn),而經(jīng)典情況下位置方差則隨時(shí)間線性變化[1]。如果經(jīng)典系統(tǒng)存在相干性,量子行走的特性也可以通過(guò)經(jīng)典系統(tǒng)來(lái)模擬,比如在光學(xué)平臺(tái)上,就是用相干光而不是單光子態(tài)來(lái)實(shí)現(xiàn)量子行走的[13-14]。然而,一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)一般不是完全孤立的,也不是完美無(wú)缺的,其無(wú)可避免地會(huì)和外界環(huán)境相互作用,或者或多或少地存在一些缺陷。這些因素會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)退相干,改變量子行走的傳輸行為。鑒于此,研究量子行走受噪聲或無(wú)序環(huán)境的影響是一個(gè)非常重要的課題[15-17]。安德森在研究無(wú)序介質(zhì)的電導(dǎo)特性時(shí)已經(jīng)發(fā)現(xiàn),處于靜態(tài)無(wú)序介質(zhì)中的一個(gè)量子粒子,在其演化過(guò)程中不能任意遠(yuǎn)地離開(kāi)其初始位置[18]。這一被稱為安德森局域化的現(xiàn)象在一個(gè)粒子進(jìn)行量子行走時(shí)也被觀察到[19]。在分離時(shí)間量子行走中,這種無(wú)序效應(yīng)可以通過(guò)隨機(jī)改變硬幣算符來(lái)等效[20-21],也可以通過(guò)分立位置空間中不同格點(diǎn)間的連接邊漏連所產(chǎn)生[22-23]。前一種情況人們研究的較多,而后一種情況的研究相對(duì)較少。目前人們所研究的系統(tǒng)一般為位置空間無(wú)限大的開(kāi)放系統(tǒng),研究的焦點(diǎn)主要集中在退相干、傳輸特性以及漸進(jìn)行為等不同方面[15-16,24-26]。本文中,我們研究具有反射邊界的一維有限長(zhǎng)格點(diǎn)線上的分離時(shí)間量子行走,討論連接邊無(wú)序斷開(kāi)對(duì)量子行走位置自由度和硬幣自由度的糾纏特性的影響。

1 一維有限長(zhǎng)格點(diǎn)線上的分離時(shí)間量子行走

分離時(shí)間量子行走是經(jīng)典分離時(shí)間隨機(jī)行走的量子力學(xué)推廣,除了位置空間外,還需要一個(gè)硬幣空間,由硬幣空間中的硬幣態(tài)來(lái)決定在位置空間行走的方向。在經(jīng)典隨機(jī)行走中,一個(gè)硬幣只有正面朝上或反面朝上兩種狀態(tài),根據(jù)硬幣的這兩種狀態(tài),來(lái)決定粒子在一維位置空間中是向左走一步還是向右走一步。與此不同的是,量子行走中的硬幣在硬幣空間中除了處于上述兩種正交態(tài)外,還可以處于這兩種態(tài)的任意相干疊加態(tài)。分離時(shí)間量子行走的位置由格點(diǎn)位置態(tài){|x〉:x∈Ζ}描述,張開(kāi)位置空間ΘP,正交的硬幣態(tài){|c〉:c=↑,↓}張開(kāi)二維的硬幣空間Θc,整個(gè)希爾伯特空間是由ΘP和Θc構(gòu)成的直積空間。這樣,量子行走的基矢為|x,c〉=|x〉P?|c〉C,其任意時(shí)刻的量子態(tài)可表示為

(1)

其中Ac(x,t)為t時(shí)刻量子行走硬幣態(tài)為c且位于x處的概率幅。量子行走每一步演化

|ψ(t+1)〉=U|ψ(t)〉,

(2)

(3)

〈x|?|↑〉〈↑|+|x-1〉〈x|?|↓〉〈↓|).

(4)

(5)

對(duì)于空間和時(shí)間都均勻的量子行走,Hadamard算符和不同的初態(tài)選擇可以給出量子行走的所有可能結(jié)果[27],其t步演化后的狀態(tài)|ψ(t)〉可以由方程(3)的t次冪作用于初態(tài)|ψ(0)〉得到。

如果量子行走不是在一維無(wú)限長(zhǎng)格點(diǎn)線上,而是在具有邊界的有限長(zhǎng)格點(diǎn)線上行走,則量子行走在邊界處需要特別定義。其中一種定義是,在右邊界處,硬幣態(tài)為|↑〉的粒子停在邊界上不動(dòng),硬幣態(tài)翻轉(zhuǎn)變?yōu)閨↓〉;在左邊界處,硬幣態(tài)為|↓〉的粒子停在邊界上不動(dòng),硬幣態(tài)翻轉(zhuǎn)變?yōu)閨↑〉,我們把這種定義稱為反射邊界。相應(yīng)的條件平移算符變?yōu)?/p>

|n〉〈n|?|↓〉〈↑|+|-n〉〈-n|?|↑〉〈↓|,

(6)

(7)

Px=Tr[|x〉〈x|?ICUt|ψ(0)〉〈ψ(0)|(U+)t].

(8)

?(|↑〉+i|↓〉)],

(9)

Fig.1 Probability distributions of quantum walk on a lattice segmentwith reflecting boundary are plotted for different time steps圖1 反射邊界下，一維量子行走在有限長(zhǎng)格點(diǎn)線上演化不同步數(shù)時(shí)的概率分布圖

2 一維無(wú)序反射分離時(shí)間量子行走

在上一節(jié)的基礎(chǔ)上,我們進(jìn)一步考慮相鄰格點(diǎn)間的連接邊隨機(jī)斷開(kāi),從而引入無(wú)序的情況。我們賦予相鄰兩格點(diǎn)x和x+1的連接邊一個(gè)從0到1取值的隨機(jī)數(shù)p(x),如果p(x)小于等于某一臨界值p0,則表示格點(diǎn)x和x+1之間的連接邊是相連的,否則,如果p(x)大于臨界值p0,則表示兩格點(diǎn)之間是斷開(kāi)的。p0稱為逾滲概率,其大小決定著整條格點(diǎn)線中連接邊斷開(kāi)的多少。p0越小,表示斷開(kāi)的邊越多。p0=1意味著每條邊都是連通的,而p0=0則表示每條邊都是斷開(kāi)的。每斷開(kāi)一條連接邊,相當(dāng)于在格點(diǎn)線中多增加了一對(duì)邊界,此時(shí)的條件平移算符可相應(yīng)地表示為

〈x|?|↑〉〈↑|+δf(x),0|x〉〈x|?|↓〉〈↑|]+

|n〉〈n|?|↓〉〈↑|+|-n〉〈-n|?|↑〉〈↓|.

(10)

引入隨機(jī)無(wú)序后,有限長(zhǎng)格點(diǎn)線上的連接邊所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)數(shù)在位置空間形成一種分布。因?yàn)槊總€(gè)隨機(jī)數(shù)的大小決定著粒子能不能傳輸,因此可稱這一分布為逾滲分布。對(duì)于分離時(shí)間量子行走,按照逾滲分布在位置和時(shí)間上的變化不同,可以把無(wú)序分為兩種類型。一種是量子行走演化的每一步在位置空間的逾滲分布是相同的,也就是說(shuō)每一步演化的條件平移算符都是相同的,這樣的無(wú)序稱之為靜態(tài)無(wú)序;另一種是量子行走在演化的每一步都重新選取逾滲分布,每一步演化的條件平移算符不同,則稱這樣的無(wú)序?yàn)閯?dòng)態(tài)無(wú)序。由于靜態(tài)無(wú)序下量子行走的演化算符與時(shí)間步無(wú)關(guān),演化t步后,其量子態(tài)|ψ(t)〉仍可由演化算符U的t次冪作用于初態(tài)|ψ(0)〉得到,即|ψ(t)〉=Ut|ψ(0)〉,但對(duì)于動(dòng)態(tài)無(wú)序下的量子行走,其每一步的演化算符不同,t步后的量子態(tài)只能通過(guò)|ψ(t)〉=U(t)U(t-1)…U(1)|ψ(0)〉一步一步作用而來(lái)。

3 無(wú)序反射下分離時(shí)間量子行走的糾纏動(dòng)力學(xué)

通過(guò)有限長(zhǎng)格點(diǎn)線上相鄰格點(diǎn)間的連接邊隨機(jī)斷開(kāi)引入無(wú)序后,接下來(lái)我們主要研究量子行走分別從局域化初態(tài)和非局域化初態(tài)開(kāi)始演化,在靜態(tài)無(wú)序和動(dòng)態(tài)無(wú)序的影響下,量子行走位置自由度和硬幣自由度之間的糾纏隨時(shí)間的變化。量子糾纏是用來(lái)進(jìn)行量子信息處理和量子計(jì)算的重要物理資源,它可以是不同子系統(tǒng)之間的糾纏,也可以是不同自由度之間的糾纏。由于量子糾纏是量子系統(tǒng)特有的性質(zhì),在經(jīng)典系統(tǒng)中沒(méi)有與之對(duì)應(yīng)的物理量。一般情況下,由于周圍環(huán)境、噪聲以及無(wú)序等一些因素的影響,會(huì)使量子系統(tǒng)退相干,從而導(dǎo)致糾纏的減小或完全消失。然而,在量子行走中,文獻(xiàn)[3]指出通過(guò)隨機(jī)的改變硬幣算符引入無(wú)序反而會(huì)在長(zhǎng)時(shí)間極限下產(chǎn)生最大糾纏。受此啟發(fā),本文中我們通過(guò)與之不同的方式引入無(wú)序效應(yīng),結(jié)果也表現(xiàn)出無(wú)序增強(qiáng)糾纏的現(xiàn)象。

E=-Tr(ρPlog2ρP)=-Tr(ρClog2ρC).

(11)

(12)

糾纏熵的取值范圍為E(t)∈[0,1],對(duì)于最大糾纏態(tài)E(t)=1,而對(duì)于可分離態(tài)E(t)=0。

3.1 局域化初態(tài)的糾纏動(dòng)力學(xué)

Fig.2 Variations of entanglement with time steps are plotted for different values of percolation probability p0when the quantum walk starting from a local initial state is on the lattice segment with (a) static percolation and (b) dynamical percolation; (c) the entanglement evolution with longer time steps in the case without percolation p0=1圖2 選取不同的逾滲概率p0，量子行走從局域初態(tài)開(kāi)始演化時(shí)，硬幣自由度和位置自由度之間的糾纏隨演化步數(shù)的變化(a)靜態(tài)逾滲;(b)動(dòng)態(tài)逾滲；(c)沒(méi)有逾滲即p0=1時(shí)，糾纏演化更長(zhǎng)時(shí)間的變化圖

3.2 非局域初態(tài)的糾纏動(dòng)力學(xué)

為了研究量子行走的傳輸性質(zhì),一般選取局域初態(tài),由此可以清楚地討論它在位置空間的擴(kuò)展性質(zhì)。然而,在許多量子信息處理中,初態(tài)往往是非局域的,如量子搜索的初態(tài)就是在位置空間等概率分布的非局域態(tài)。下面我們?cè)谟邢揲L(zhǎng)格點(diǎn)線上選取這種等概率分布的初態(tài),來(lái)研究無(wú)序及初態(tài)對(duì)量子行走糾纏動(dòng)力學(xué)的影響。

(13)

選取不同的逾滲概率,圖3(a)和(b)分別給出靜態(tài)無(wú)序和動(dòng)態(tài)無(wú)序下,平均糾纏〈E(t)〉隨時(shí)間的變化曲線。與圖2相比,量子行走的統(tǒng)計(jì)平均糾纏動(dòng)力學(xué)發(fā)生了很大變化。首先,在沒(méi)有無(wú)序的情況下,量子糾纏大幅變小,而且由于演化一開(kāi)始邊界就對(duì)量子行走有反射作用,使得干涉效應(yīng)在糾纏動(dòng)力學(xué)變化過(guò)程中表現(xiàn)得不再明顯;其次,在靜態(tài)無(wú)序下,量子行走的糾纏在某一常數(shù)值附近的振蕩幅度更大,雖然和圖2(a)一樣,隨著逾滲概率的增加,這一常數(shù)值也增大,但不同的是這一常數(shù)值可以大于沒(méi)有無(wú)序時(shí)的糾纏值,表現(xiàn)出靜態(tài)無(wú)序也能增強(qiáng)糾纏的特性;最后,對(duì)于動(dòng)態(tài)無(wú)序量子行走,兩種初態(tài)導(dǎo)致的糾纏動(dòng)力學(xué)變化的趨勢(shì)基本相同,都能在長(zhǎng)時(shí)間極限下趨向于最大糾纏,只是非局域初態(tài)使得糾纏增加的更快。

Fig.3 Variations of entanglement with time steps are plotted for different values ofpercolation probability p0 when the quantum walk starting from a non-localinitial state is on the lattice segment with (a) static percolation and (b) dynamical percolation圖3 選取不同的逾滲概率p0，量子行走從非局域初態(tài)開(kāi)始演化時(shí)，硬幣自由度和位置自由度之間的糾纏隨演化步數(shù)的變化 (a)靜態(tài)逾滲 (b)動(dòng)態(tài)逾滲

4 結(jié)論

本文首先引入具有反射邊界的一維有限長(zhǎng)格點(diǎn)線上的分離時(shí)間量子行走,在邊界處粒子(行走者)不能繼續(xù)行走,但其硬幣態(tài)卻要發(fā)生反轉(zhuǎn),這樣定義的條件平移算符仍具有幺正性;接著通過(guò)兩種方式隨機(jī)地?cái)嚅_(kāi)相鄰格點(diǎn)間的連接邊引入無(wú)序效應(yīng),一種方式是靜態(tài)的,量子行走的每一步所斷開(kāi)的連接邊分布是相同的,另一種方式是動(dòng)態(tài)的,量子行走的每一步都重新隨機(jī)斷開(kāi)連接邊;最后選取局域和非局域的兩種不同初態(tài),研究了靜態(tài)無(wú)序和動(dòng)態(tài)無(wú)序?qū)α孔有凶哂矌抛杂啥群臀恢米杂啥戎g的動(dòng)力學(xué)糾纏的影響。多次計(jì)算后的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果表明,局域初態(tài)下,邊界反射導(dǎo)致的干涉效應(yīng)能夠在沒(méi)有無(wú)序的動(dòng)力學(xué)糾纏中清楚地顯現(xiàn)。引入無(wú)序后,每斷開(kāi)一條連接邊,相當(dāng)于增加了一對(duì)邊界,使得波函數(shù)干涉圖樣越來(lái)越無(wú)規(guī)律,從而反射邊界產(chǎn)生的效應(yīng)被覆蓋。這種情況下,只有動(dòng)態(tài)無(wú)序能夠使得糾纏在某時(shí)刻大于沒(méi)有無(wú)序時(shí)的糾纏值,表現(xiàn)出糾纏增強(qiáng),而對(duì)于靜態(tài)無(wú)序則不會(huì)出現(xiàn)糾纏增強(qiáng)的結(jié)果。當(dāng)初態(tài)為非局域態(tài)時(shí),沒(méi)有無(wú)序時(shí)的糾纏值大幅減小,致使靜態(tài)無(wú)序和動(dòng)態(tài)無(wú)序都能夠增強(qiáng)糾纏。特別是,無(wú)論哪種初態(tài),動(dòng)態(tài)無(wú)序都能夠在無(wú)窮長(zhǎng)時(shí)間極限下產(chǎn)生最大糾纏,而且這一特性與無(wú)序強(qiáng)度沒(méi)有關(guān)系。

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