李國成

(皖西學院 金融與數學學院，安徽 六安 237012)

在完全金融市場里，一個未定權益如期權所產生的風險可以通過構造標的資產和債券的投資組合來完全對沖[1]。但實際市場中由于隨機波動率、跳躍以及交易的不連續(xù)性等因素的存在而使得市場是不完全的，未定權益的風險是不能被完全對沖掉的，而是部分對沖，通常采用平方對沖(Quadratic Hedging)。平方對沖方法雖然方法簡單，但是具有顯著的不足，即對”超額收益“加以懲罰[2]，這與實際投資者的需求是不一致。F?llmer和Leukert提出分位數對沖[3]，即在給定較小初始成本情形下通過最大化成功對沖概率來實現最優(yōu)對沖。文獻[4]的研究將該方法應用到一般的損失函數如期望損失最小化等。黃金波等研究采用最小化風險價值(Value-at-Risk, VaR)來獲得最優(yōu)對沖策略[5]。

但VaR作為風險的度量方法不具有次可加性和凸性，不是一致性的風險度量[6]。為此，Rockafellar和Uryasev提出一種改進的VaR[7]，即條件風險價值(Conditional Value-at-Risk, CVaR)。CVaR本身所具有的優(yōu)點使得越來越多的學者和金融機構采用CVaR作為風險度量方式。近年來，CVaR在對沖問題中的應用研究也日益增多，如Topaloglou等構建了帶有選擇性對沖的CVaR模型用于國際資產配置研究[8]，Li和Xu基于CVaR風險度量建立帶有收益上下界約束的動態(tài)對沖模型[9]，遲國泰等基于CVaR建立套期比優(yōu)化模型并與最小方差套期比以及VaR套期比模型進行對比研究[10]，費廣平和孫燕紅基于CVaR最小建立最優(yōu)股指期貨套期比決策模型[11]，黃金波和李仲飛研究分布不確定下的風險對沖策略及其效用[12]。本文研究在考慮交易費用情形下和在給定初始成本約束條件下采用CVaR來刻畫由期權到期時的支付和投資組合價值之間的不對等所產生的損失風險，建立動態(tài)隨機優(yōu)化模型，并探尋用隨機分形搜索算法來求解該模型。

1 最小化CVaR對沖問題

1.1 問題描述

考慮金融市場上有風險資產(股票)和無風險資產(債券)來構造投資組合，進而形成對沖策略。設t時刻風險資產(股票)價格為St，服從跳-擴散模型，即滿足以下方程：

(1)

設債券(無風險資產)價格為Bt，滿足以下方程：

(2)

假設投資期內具有T個離散決策點，投資者通過構造股票和債券的投資組合形成對沖策略，即投資者在t時刻持有θt的股票和δt的債券構成投資決策φt=(θt,δt)，該投資組合價值為Vt=θtSt+δtBt，其中t=0,1,…,T-1。則可知投資組合在期末價值為：

(3)

(4)

其中，V0為初始成本，H=max{ST-K,0}，K為期權的執(zhí)行價格。若初始成本給定，則L(V0,Φ)簡化為L(Φ)。且采用自融資策略，即?t=1,2,…,T-1對沖策略Φ滿足：

(5)

設Π為滿足自融資條件的允許決策集，根據文獻[7]可得期權賣出者期末的損失風險的條件風險價值為：

(6)

其中Fα(Φ,ξ)=ξ+(1-α)-1E[(L(Φ)-ξ)+]，這里(·)+定義為(x)+=max{x,0}。文獻[7]進一步給出在模擬出離散價格數據yj,j=1,2,…,J的概率分布p(yj)的前提下，Fα(x,ξ)的近似計算為：

(7)

1.2 數學模型

設為交易費率f，則執(zhí)行一個對沖策略Φ產生交易成本為：

(8)

由此可得到在給定初始成本V0和采用自融資策略的條件下帶有交易費用的最小化CVaR的最優(yōu)對沖策略的優(yōu)化模型為：

(9)

如上式(9)所描述的最小化CVaR最優(yōu)對沖模型是一個動態(tài)隨機優(yōu)化模型，其目標函數為非線性的且是不光滑的。為此，很多研究者借助于光滑方法來實現近似求解，取得了不錯的效果[13，14]。本文探尋文獻[15]所提出的隨機分形搜索算法來實現最小化CVaR最優(yōu)對沖模型的求解，進行模擬算例和實證研究，并和GA、PSO兩種算法進行對比研究。

2 隨機分形搜索算法

文獻[15]基于分形的擴散性質提出新的元啟發(fā)式搜索算法即隨機分形搜索算法(Stochastic Fractal Search, SFS)，主要借助擴散和更新過程(包括兩次更新)來實現求解全局優(yōu)化問題。其算法步驟簡述如下[15]：

Step 1 初始化算法的基本參數：粒子的數目N和相關參數等，設定迭代終止條件。

Step 2 隨機生成每個粒子的初始位置Pi，并賦予相等的初始適應度。

Step 3 根據擴散過程，從式(10)和(11)所描述的兩種高斯游走方式中隨機選取一種執(zhí)行，其中隨機數ε～U(0,1)，BP為最好個體位置，μBP和μP分別代表相應的均值，標準差σ=|(Pi-BP)×log(g)/g|，其中g為迭代次數。

Step 4 計算每個粒子的概率值Pai=rank(Pi)/N，生成隨機數ε，若Pai<ε，則按下式更新每個Pi，即實現首次更新，其中Pr和Pt是從種群中隨機抽取的。

(12)

由此構建的啟發(fā)式搜索算法SFS在“勘探”和“開采”兩種能力上獲得很好的平衡，具有較好的全局優(yōu)化能力，對經典測試函數的測試結果表明其具有很好的優(yōu)化性能[15]。因此，本文探尋用該算法來求解最小化CVaR對沖問題。

3 交叉熵蝙蝠算法求解最小化CVaR對沖問題的算法架構

3.1 個體構成

對沖策略是一個決策序列，每個決策點都有兩個控制變量，因而隨機分形搜索算法中種群的每個個體代表一個滿足自融資條件的可行對沖策略Xi=(xi1,…,xi,T,xi,T+1,…,xi,2T,ξ)，本文考慮不允許賣空情形，因而每個分量都滿足非負條件。其中ξ為閾值控制變量，前T個分量為投資者在t=0,1,…,T-1時刻所持有的股票的比重，后T個分量為其持有債券的比重。

3.2 適應度函數的表示

按照前文式(6)和式(9)所描述的最小化CVaR對沖問題的目標函數，隨機分形搜索算法在具體求解該問題時用于評價個體優(yōu)劣的適應度函數可定義如下：

(15)

3.3 約束的處理

本文基于自融資策略研究在非賣空條件下實現對歐式看漲期權的套期保值，約束條件如前文式(5)所描述及決策變量的非負性，考慮到無風險利率時相對穩(wěn)定性的，因而可采用折現價格可將式(5)簡化為：

(16)

其中t=0,1,…,T-2。本文采用拉格朗日乘子法引入懲罰因子Mi將約束優(yōu)化轉化為無約束優(yōu)化，即在式(16)所表示的適應度函數中加入如下懲罰項：

(17)

其中，懲罰因子Mi為非常大的正數。

4 數值實驗和結果分析

4.1 模擬算例

設賣出的歐式看漲期權的期限分別為3，6，9和12月，通過構造標的資產和債券的組合資產來進行套期保值，采用CVaR度量期權風險，以對沖成本與CVaR之和最小化為優(yōu)化目標來尋求最優(yōu)動態(tài)對沖策略。每周決策1次，一年以52周計；如前所述的跳-擴散參數μ、σ、μJ、σJ和λ分別設為0.01、0.2、0.1、0.2和10，設初始價格S0=100元，敲定價格K=85元，模擬生成100條價格路徑進行測試。同時，假設同期的活期存款年利率為r=0.4%。

圖1 100條模擬股票價格路徑

為了便于對比分析，本文分別用GA、PSO和SFS三種算法求解基于100條模擬股票價格路徑數據的自融資條件下帶有交易費用的最小化CVaR最優(yōu)動態(tài)對沖模型，初始成本V0=10元，交易費率按0.2%收取，三種算法的求解結果如表1所示。其中，期權風險采用CVaR度量，因初始成本V0固定，故對沖費用僅為執(zhí)行對沖策略所支付的交易費，總和即為風險和對沖費用之和；這三個指標均為劣指標，即其值越小越好，三種算法求解結果對比勝出者以粗體標識。

表1 模擬算例的動態(tài)對沖結果

從表1可以看出對四種歐式看漲期權執(zhí)行SFS所獲得的對沖策略的對沖效果都是最好，其對應的條件風險價值都是最小的，對沖總費用也是最低的，其次是GA，PSO所求得的策略對沖風險能力最差，對沖成本和風險之和也最大。模擬算例結果表明SFS算法求解最小化條件在險價值最優(yōu)對沖問題是可行的，且取得了不錯的對沖效果。

4.2 實證研究

本節(jié)借助實證分析研究來進一步驗證SFS算法在求解最小CVaR最優(yōu)動態(tài)對沖問題時的可行性和有效性，選用2014年1月2日至2016年6月31日的上證綜合指數的日收盤價數據共計642個樣本數據，具體變化趨勢如圖2所示。指數初始價格為S0=1 209.4，無風險利率為r=0.35%。期權期限T為四個不同的到期時間，其敲定價格K也設置為四種不同價格，具體見表2，分別采用GA、PSO和SFS求解，其結果如表2所示。其中勝出者以粗體標識。

圖2 2014—2016年上證綜合指數的日收盤價數據

T/周K 風險(CVaR) 對沖費用 總和 GAPSOSFSGAPSOSFSGAPSOSFS1311001424.291470.991342.897.0816.401.101431.371487.391343.8912001243.371252.041214.637.0617.241.061250.431269.281215.6913001163.821141.651077.989.1115.991.171172.931157.641079.1514001000.41089.45998.228.0216.160.901008.421105.61999.122615001005.081018.061018.0210.5431.341.381015.621049.401019.401600996.071061.08915.8510.5333.321.291006.601094.40917.131700935.81969.01853.4910.5231.581.16946.331000.59854.651800747.84723.28691.9711.2129.461.53759.05752.74693.51391900820.44885.04794.9415.6951.931.87836.13936.97796.812000666.41748.47654.2916.5045.311.80682.91793.78656.082100667.7681.69585.9214.7649.691.73682.46731.38587.652200546.38574.87533.7714.9047.931.85561.28622.80535.63522300612.15678.72604.8222.3278.422.60634.47757.14607.422400586.92644.93585.5921.9563.882.52608.88708.81588.112500521.59542.00517.3919.8860.892.08541.47602.89519.472600504.83540.11468.2720.0654.732.28524.89594.84470.55

從表2的對沖結果可以看出SFS對沖的效果最好，風險、對沖費用和總和三個指標值都是最小的，其次是GA，PSO的表現最差。同時，表2也再次表明本文SFS算法求解CVaR最優(yōu)動態(tài)對沖問題是可行和有效的，可以使得投資者以較少的對沖成本完成現套期保值，進而較小風險，具有重要的實際意義。

為了進一步研究初始成本對期權風險或對沖總費用的影響，本文以數據集S1(即J=100時的模擬數據)為例，并設定敲定價格K=2000元，利用SFS算法分別求出初始成本從100元以100元等距遞增到3000元共計30種不同初始成本對應的風險(CVaR)和總和(風險和對沖費用之和)，并繪制出風險和總和隨初始成本變化而變化的趨勢圖，如圖3所示。

從圖3可以發(fā)現，期權風險即CVaR隨著初始成本的增加而減少，并且當初始成本足夠大時(大于3000元時)，風險幾乎為零；風險和對沖總費用的總和也隨著初始成本的增加而減少，并且當初始成本足夠大時(大于1800元時)，總和基本保持平穩(wěn)，這表但對于期權的出售者而言，若從風險(CVaR)和對沖總費用(包括初始成本V0)兩方面綜合考慮，則并不是初始成本越大越好，而是可以選取恰當的初始成本可以使得總和最小，即所承擔的風險和對沖總費用之和最小。

圖3 初始成本-風險(CVaR)/總和的變化曲線

5 結論

本文在給定初始成本的條件下考慮帶有交易費用和不允許賣空的情形，基于自融資策略，以CVaR來度量期權的風險，最小化CVaR和對沖成本之和為優(yōu)化目標，建立動態(tài)對沖優(yōu)化模型，該模型目標函數不可微，因而經典的基于梯度的優(yōu)化算法已不再適用該模型的求解，同時，由于情景數和約束條件個數均較多，線性規(guī)劃方法求解成本很高，因而本文通過個體構成、適應度函數的表示的實現和自融資約束條件的處理，用隨機分形搜索算法來實現該模型的求解，借助模擬算例和實證分析兩個測試實驗來檢驗SFS算法求解這個隨機優(yōu)化問題的可行性和有效性，并與GA和PSO兩種算法進行對比，結果表明SFS算法所獲得的動態(tài)對沖策略的實際對沖效果是最好的，不僅是可行的，還取得了很好的實際應用效果。

參考文獻：

[1]Merton R C. Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J]. Journal of Financial Economics, 1976(3): 125-144.

[2]Schweizer M. A Guided Tour Through Quadratic Hedging Approaches[C]//Jouini E et al. Option Pricing Interest Rates and Risk Management. Cambridge: Cambridge University Press, 2010: 538-574.

[3]F?llmer H, Leukert P. Quantilehedging[J].Finance and Stochastics, 1999, 3(3): 251-273.

[4]F?llmer H, Leukert P. Efficient Hedging: Cost Versus Shortfall Risk[J]. Finance and Stochastics, 2000, 4(2): 117-146.

[5]黃金波，鄭軍，丁杰，等.VaR測度下的風險對沖策略研究[J].運籌與管理，2017，26(3)：138-147.

[6]Morgan J P. RiskMetrics Technical Document [M].4thed. New York: Morgan Guaranty Trust Company, 1996.

[7]Rockafellar R T, Uryasev S. Optimization of Conditional Value-At-Risk[J].Journal of Risk, 1999, 29(1):1071-1074.

[8]Topaloglou N, Vladimirou H, Zenios S A. CVaR Models with Selective Hedging for International Asset Allocation[J].Journal of Banking & Finance, 2002, 26(7):1535-1561.

[9]Li J, Xu M. Risk Minimizing Portfolio Optimization and Hedging with Conditional Value-at-risk[J].Review of Futures Markets 2008(16):471-506.

[10]遲國泰，趙光軍，楊中原.基于CVaR的期貨最優(yōu)套期保值比率模型及應用[J].系統(tǒng)管理學報，2009，18(1)：27-33.

[11]費廣平，孫燕紅.最小CVaR股指期貨套期保值比率的實證研究[J].統(tǒng)計與決策，2013(8)：156-159.

[12]黃金波，李仲飛.分布不確定下的風險對沖策略及其效用[J].中國管理科學，2017，25(1)：1-10.

[13]Tarnopolskaya T, Zhu Z. CVaR-minimising Hedging by a Smoothing Method[J]. Anziam Journal, 2010, 52(C):237-256.

[14]張清葉，高巖.基于CVaR投資組合優(yōu)化問題的非光滑優(yōu)化方法[J].中國管理科學，2017(10)：11-19.

[15]Salimi H. Stochastic Fractal Search: A Powerful Metaheuristic Algorithm[J]. Knowledge-Based Systems, 2015(75):1-18.

Abstract: In this paper, based on the jump diffusion model, we consider the problem of hedging conditional value at risk of contingent claims on a stock under transaction costs and given initial cost. A dynamic stochastic optimization model is established, and Stochastic Fractal Search is used to solve the nonlinear optimization problem to obtain the optimal hedging strategy. The results of numerical simulation and empirical research show that Stochastic Fractal Search is feasible and effective for solving the hedging problem by minimum CVaR.

Keywords: hedging; conditional value at risk; jump diffusion model; stochastic fractal search