☉山東萊蕪市雪野旅游區(qū)雪野中心中學(xué) 錢(qián)加坤

我們知道，南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授對(duì)數(shù)學(xué)教育，特別是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育用力很深，推介了很多國(guó)外最新的教育理論，并進(jìn)行比對(duì)、思辨，告誡我們廣大中小學(xué)數(shù)學(xué)教師在研習(xí)這些國(guó)外理論或觀點(diǎn)時(shí)，要深入思考.這些理論究竟有什么值得學(xué)習(xí)的地方，怎樣運(yùn)用到自己的教育教學(xué)研究中，讓這些理論能更加接地氣，使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)能走向“教活，教深”的境界？受鄭教授的影響，我們認(rèn)真研習(xí)了“多元表征理論”，簡(jiǎn)要來(lái)說(shuō)，該理論是指人們關(guān)于數(shù)學(xué)概念（或數(shù)學(xué)問(wèn)題）的心理表征往往包含多個(gè)不同的方面或成分，而且這些成分對(duì)于概念的正確理解都具有重要的作用，我們應(yīng)高度重視這些成分之間的聯(lián)系.本文將結(jié)合新近教學(xué)過(guò)程中對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題（數(shù)學(xué)概念或經(jīng)典習(xí)題）的教學(xué)，從“多元表征”的角度進(jìn)行解讀，并給出一些教學(xué)建議，供研討.

一、從“多元表征”的角度看數(shù)學(xué)問(wèn)題

話(huà)題1：相反數(shù)的深刻理解.

學(xué)生進(jìn)入初中后，數(shù)系擴(kuò)充為有理數(shù)，一個(gè)新的數(shù)系出來(lái)之后，通常需要研究這種數(shù)系的運(yùn)算，而為了研究運(yùn)算，需要定義一些相關(guān)的概念（比如相反數(shù)、倒數(shù)、數(shù)軸、絕對(duì)值等），其中相反數(shù)就是一類(lèi)十分重要的數(shù)學(xué)概念.新授課教學(xué)時(shí)，教材上的描述性定義是“像2與-2，a與-a這樣只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱(chēng)為相反數(shù)”.接下來(lái)就安排求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，訓(xùn)練的目的是鞏固相反數(shù)的概念，然后是化簡(jiǎn)符號(hào)的一些練習(xí)：

題組1：化簡(jiǎn)下列各數(shù)：

應(yīng)該說(shuō)，新授課時(shí)這樣教學(xué)也是可行的，對(duì)于鞏固相反數(shù)概念，初步理解相反數(shù)是有好處的.然而，從深刻理解相反數(shù)的高要求出發(fā)，我們?cè)谟欣頂?shù)單元復(fù)習(xí)或期末復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)該以相反數(shù)為專(zhuān)題，開(kāi)發(fā)一節(jié)與相反數(shù)相關(guān)的習(xí)題課進(jìn)行主題復(fù)習(xí).這里略提及一些相反數(shù)復(fù)習(xí)的要點(diǎn)：

（1）相反數(shù)的概念，a與-a.

（2）會(huì)化簡(jiǎn)符號(hào)（如上“題組1”）.

（3）理解在數(shù)軸上，一對(duì)相反數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離相等.

（4）若數(shù)a、b互為相反數(shù)，則a+b＝0；反之，若a+b＝0，則a、b互為相反數(shù).

（5）若a+b＝0，則對(duì)應(yīng)到數(shù)軸上，數(shù)a、b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等.

（6）將原點(diǎn)作為“基準(zhǔn)”進(jìn)行拓展，比如，數(shù)軸上從左往右依次有A、M、B三點(diǎn)，它們所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、m、b.當(dāng)M恰為AB的中點(diǎn)時(shí)，有b-m＝m-a，整理為a+b＝2m.

解讀：第（5）點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)形結(jié)合理解相反數(shù)，事實(shí)上，“相反數(shù)和為0”的性質(zhì)，也是有理數(shù)加法的基礎(chǔ)；第（6）點(diǎn)，則是將“基準(zhǔn)為原點(diǎn)”拓展為任意一點(diǎn)作為基準(zhǔn)，利用兩點(diǎn)間距離公式，分析出一個(gè)重要的關(guān)系式“a+b＝2m”，在以后學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系時(shí)，縱軸上三個(gè)點(diǎn)如果具備中點(diǎn)性質(zhì)，也有類(lèi)似的性質(zhì)；而在二次函數(shù)的圖像（拋物線）的研究中，從拋物線的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)出發(fā)，也容易發(fā)現(xiàn)類(lèi)似的性質(zhì)，所以在初一對(duì)學(xué)生進(jìn)行適度的拓展和小結(jié)a+b＝2m，對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)十分有益，值得重視.順便提及，當(dāng)前初一教學(xué)過(guò)程中，對(duì)數(shù)軸的考查與訓(xùn)練，偏重以數(shù)軸為背景，引入多動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)背景，反復(fù)在相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題上增加解題層次，用來(lái)實(shí)現(xiàn)所謂的區(qū)分功能，筆者認(rèn)為，這種命題導(dǎo)向是值得商榷的.

話(huà)題2：經(jīng)典幾何問(wèn)題在不同章節(jié)中的關(guān)聯(lián)與互動(dòng).

在初一、初二學(xué)習(xí)幾何時(shí)，學(xué)生練習(xí)了大量的幾何題，但往往碰到稍加變式的幾何題仍然不適應(yīng)，究其原因，與較難幾何題中往往需要添加輔助線，或者是繁雜線條中分離出基本圖形、凸顯圖形的能力不強(qiáng)有關(guān).另外，當(dāng)前幾何教學(xué)分成的各章之間缺少必要的聯(lián)系（或關(guān)聯(lián)）也是值得我們注意的.比如，三角形、全等三角形、平行四邊形、圓這些幾何的章節(jié)內(nèi)部，還能基本保持一種研究的路徑（如從一般到特殊，按不同圖形的一些元素有序展開(kāi)探究和歸納），但各章之間缺少更為廣泛或密切的關(guān)聯(lián)和呼應(yīng).以下列舉幾例：

經(jīng)典問(wèn)題1：如圖1，在△ABC中，CD為中線.當(dāng)AB＝2CD時(shí)，求證：△ABC是直角三角形.

圖2

圖1

解讀：這道習(xí)題在三角形內(nèi)角和性質(zhì)及等腰三角形（等邊對(duì)等角）之后就可練習(xí).然而從互為逆命題的觀點(diǎn)看，特殊平行四邊形（矩形）學(xué)習(xí)之后，證明了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這里就可以將上述問(wèn)題“放到”一起，讓學(xué)生從互逆命題的角度理解，幫助他們想深、想透.更重要的是，到了圓的學(xué)習(xí)，我們還應(yīng)該將上述兩個(gè)互逆命題，從“圓”的高觀點(diǎn)來(lái)理解（如圖2），就能把不同的習(xí)題在不同的學(xué)段都統(tǒng)一到圓的學(xué)習(xí)，“圓來(lái)如此”是不少學(xué)生常常發(fā)出的解題感慨.

經(jīng)典問(wèn)題2：（初二教材習(xí)題）如圖3，E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE交正方形外角的平分線CF于F.求證：AE＝EF.

圖3

圖4

解讀：初二階段處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)可在AB上截取MB＝BE，構(gòu)造出等腰直角三角形BEM，再證△AEM≌△EFC，從而獲得解決.這種方法也具有推廣性，比如等邊三角形、正方形都可提出類(lèi)似的證明題.更進(jìn)一步，在初三學(xué)過(guò)圓之后，如果能從圓的高觀點(diǎn)（如圖4，點(diǎn)A、E、C、F共圓）統(tǒng)領(lǐng)這類(lèi)問(wèn)題，就會(huì)給學(xué)生提供一種“居高臨下”的視角.

二、進(jìn)一步的思考

1.基于多元表征理論，深刻理解數(shù)學(xué)概念.

結(jié)合鄭毓信教授的相關(guān)文獻(xiàn)，深刻理解數(shù)學(xué)概念至少有如下一些特征，比如,能將此概念放入不同的表征系統(tǒng)之中；在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)，必須能有彈性地處理這個(gè)概念；必須很精確地將此概念從一個(gè)表征轉(zhuǎn)換到另一個(gè)表征系統(tǒng).以上文提及的相反數(shù)為例，不但將其放在有理數(shù)的幾個(gè)概念中來(lái)理解，還要能跳出狹小的范圍，從更廣的知識(shí)塊或不同知識(shí)塊之間理解思考相反數(shù)在有理數(shù)運(yùn)算，與數(shù)軸對(duì)應(yīng)之后的線段中點(diǎn)關(guān)系，以及與二次函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)性之間的聯(lián)系，等等.可見(jiàn)深刻理解數(shù)學(xué)概念是十分不易的，而且對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，能否深刻理解，決定了能否為學(xué)生打開(kāi)深刻理解的一扇窗.我們常常聽(tīng)到有人說(shuō)要所求所謂的深度教學(xué)，其中促進(jìn)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念應(yīng)該也算深度教學(xué)的一種追求.

2.基于多元表征理論，跨年級(jí)甚至學(xué)段預(yù)設(shè)經(jīng)典問(wèn)題不同解法.

我們注意到，臺(tái)灣地區(qū)自2000年開(kāi)始推行的“九年一貫課程”，其核心是：“在九年一貫課程數(shù)學(xué)領(lǐng)域中‘聯(lián)系’凸顯.‘聯(lián)系’這一主題包括：內(nèi)部聯(lián)系和外部聯(lián)系……兩者均包含察覺(jué)、轉(zhuǎn)化、解題、溝通、評(píng)估等能力.”對(duì)應(yīng)到我們一線教師的狹義理解，筆者認(rèn)為重視跨年度甚至跨學(xué)段的研究經(jīng)典問(wèn)題的解法就是值得關(guān)注的一個(gè)好課題，比如，上文中我們提到的從圓的視角看一些之前學(xué)生已練習(xí)過(guò)的幾何題，就可以讓學(xué)生洞察問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，感受到不同解法的和諧之美.事實(shí)上，這類(lèi)問(wèn)題還可列出很多，比如，在不同年級(jí)，方程的一般式與函數(shù)的一般式的對(duì)比理解；三角形中位線性質(zhì)與三角形重心定理；特殊直角三角形與平行四邊形的關(guān)系；從數(shù)的乘方到數(shù)的開(kāi)方；一元二次方程的不同解法之間的關(guān)系；定長(zhǎng)線段圍成矩形的面積最大問(wèn)題；等等，都是跨年級(jí)的好問(wèn)題，值得大家關(guān)注.

三、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)教師的專(zhuān)業(yè)基本功有很多，不同的學(xué)者有不同的論述（比如鄭毓信教授在《人民教育》上曾連載文章提到三項(xiàng)專(zhuān)業(yè)基本功：善于提問(wèn)，善于舉例，善于優(yōu)化），本文只是從深刻理解教學(xué)內(nèi)容的角度，基于多元表征理論，結(jié)合平時(shí)收集和關(guān)注到的一些案例進(jìn)行了個(gè)性化的闡釋?zhuān)炔灰欢?zhǔn)確，更不一定正確，歡迎專(zhuān)家同行批評(píng)指正.

參考文獻(xiàn)：

1.鄭毓信.教師專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)的主要目標(biāo)與重要內(nèi)容（下）［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2013（12）.

2.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

3.馬立平，著.李士锜，吳穎康，等，譯.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

4.曹一鳴.為改進(jìn)數(shù)學(xué)教育而共同努力——第12屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)綜述［J］.人民教育，2012（17）.