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        用運(yùn)動(dòng)分解解決帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題

        2018-05-18 06:42:45王曉寧
        物理通報(bào) 2018年5期
        關(guān)鍵詞:方向

        王曉寧

        (南宮中學(xué) 河北 邢臺(tái) 055750)

        帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)常見類型:電場(chǎng)力、洛倫茲力、重力三者平衡,做勻速直線運(yùn)動(dòng);或是電場(chǎng)力、重力平衡,在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng).但如果不是這樣完美、熟悉的規(guī)律,我們?cè)诟咧须A段又如何將復(fù)雜的運(yùn)動(dòng),化解為熟悉的運(yùn)動(dòng)規(guī)律呢?我們可以用運(yùn)動(dòng)的分解解決一類帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題.

        我們以一道例題為例.

        【例1】如圖1所示,空間存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B,勻強(qiáng)電場(chǎng)E沿y軸正方向,勻強(qiáng)磁場(chǎng)B沿z軸正方向.質(zhì)量為m,電荷量為+q的帶電粒子,t=0時(shí)刻在原點(diǎn)O,以沿x軸正方向的速度v0射入.粒子所受重力忽略不計(jì).關(guān)于粒子在任意時(shí)刻t的速度沿x軸和y軸方向的分量vx和vy,請(qǐng)通過合理的分析,判斷下列選項(xiàng)中可能正確的是

        圖1 例1題圖

        解法一:本題中粒子所受的電場(chǎng)力與洛倫茲力不一定平衡,問題描述的情景非常復(fù)雜,速度的表達(dá)形式也非常復(fù)雜,作為一個(gè)選擇題,當(dāng)然可以用選擇題的解法——特殊值法.

        初始時(shí)刻,粒子速度為v0,即

        vx=v0vy=0

        由數(shù)學(xué)知識(shí)

        sinθ=0 cosθ=1

        將t=0代入選項(xiàng)立即可得選擇B對(duì)學(xué)生而言,沒任何問題,可以認(rèn)為是特殊值方法的一個(gè)絕佳運(yùn)用.

        對(duì)教師而言,能否得出題目的詳細(xì)的解答過程呢?

        解法二:我們?cè)趯W(xué)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)有一個(gè)基本的方法——運(yùn)動(dòng)的分解:我們可以將初速度v0分解,將其看成水平向右的兩個(gè)速度的合成:其中一個(gè)速度v1滿足洛倫茲力和電場(chǎng)力平衡

        圖2 速度分解

        這樣粒子的復(fù)雜的圓周運(yùn)動(dòng)就可以等效為沿x方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)而言,經(jīng)過時(shí)間t,轉(zhuǎn)過的角度滿足

        這樣我們通過速度的分解,完美解決了這個(gè)復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)問題.

        任意時(shí)刻的速度為

        知道了粒子的速度情況,我們也可以得出粒子運(yùn)動(dòng)方程.

        設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,有

        則粒子的運(yùn)動(dòng)方程為

        上述以時(shí)間t為參數(shù)的方程表明,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為擺線.

        另外,我們對(duì)運(yùn)動(dòng)過程用動(dòng)能定理

        將上述y的表達(dá)式代入

        與利用速度的分解得出的結(jié)果是一致的,用運(yùn)動(dòng)分解的思路沒問題.

        由此我們想到如果粒子由靜止釋放,是不是也能這樣處理呢?

        我們可以“無中生有”,給帶電粒子配上一對(duì)等大反向的速度.

        如圖2所示,若電荷量為+q的粒子從復(fù)合場(chǎng)中的O點(diǎn)有靜止釋放(重力不計(jì)),我們可以認(rèn)為此時(shí)粒子是水平向右的速度v0和水平向左的速度v0的合成,其中向右的速度v0恰好滿足qv0B=qE,這樣電場(chǎng)力被抵消,粒子的運(yùn)動(dòng)可以看成以-v0為初速度的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和以v0向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成粒子在任意時(shí)刻的位移

        粒子在任意時(shí)刻的分速度

        其合速度大小

        從上式可以得到,當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)

        速度最大為

        這個(gè)結(jié)果也可以由速度的合成得到,當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向與直線運(yùn)動(dòng)的速度方向一致,兩個(gè)分速度等大同向.

        有了這個(gè)知識(shí),再看2008年江蘇高考物理14題.

        【例2】在場(chǎng)強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,一質(zhì)量為m,帶正電q的小球在O靜止釋放,小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖3所示.已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍,重力加速度為g.求:

        (1)小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P(x,y)的速率v;

        (2)小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離ym;

        圖3 例2題圖

        第(2)、(3)問中,題目所給條件“曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍”就是多余的.

        (3)設(shè)想小球具有-v1和v1的初速度,其中v1對(duì)應(yīng)的洛倫茲力沿+y方向,滿足

        mg+qv1B=qB

        小球以-v1沿-x方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),同時(shí)以v1為初速度做逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng),最大速率時(shí),圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向與直線運(yùn)動(dòng)的速度方向一致.

        這類復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng),我們等效為沿某一方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成,借助等效原理和運(yùn)動(dòng)的分解原理,在全新的數(shù)理模型基礎(chǔ)上,簡(jiǎn)化了問題,使之得到了較好的解決.

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