鄭 雄，劉竹生，楊 勇，雷建長，李爭學(xué)

0 引 言

火箭基組合循環(huán)（Rocket Based Combined Cycle，RBCC）推進(jìn)系統(tǒng)將火箭發(fā)動機和沖壓發(fā)動機有機結(jié)合在同一流道中，具有引射（Ejector）、亞燃沖壓（Ramjet）、超燃沖壓（Scramjet）和純火箭（Rocket）等多個工作模態(tài)，能充分發(fā)揮火箭發(fā)動機大推重比和沖壓發(fā)動機高比沖的優(yōu)勢，可執(zhí)行大空域、寬速域飛行任務(wù)，是未來高超聲速巡航飛行器（Hypersonic Cruise Vehicle，HCV）以及單級入軌（Single Stage To Orbit，SSTO）重復(fù)使用運載器的理想動力系統(tǒng)。

相比于無動力或傳統(tǒng)火箭動力高超聲速飛行器，RBCC高超聲速飛行器的軌跡優(yōu)化除了要解決飛行高度、速度變化大，飛行約束多、復(fù)雜，飛行軌跡對控制變量高度敏感等難題，還面臨RBCC發(fā)動機工作模態(tài)多，各模態(tài)性能差異大，飛行軌跡與動力相互耦合的特有困難，這些使得RBCC高超聲速飛行器的軌跡優(yōu)化極具挑戰(zhàn)性，為此必須選擇和發(fā)展一種行之有效的方法。

目前，對RBCC可重復(fù)使用運載器上升段軌跡設(shè)計與優(yōu)化進(jìn)行了較多研究[1～4]，而對RBCC高超聲速巡航飛行器的軌跡優(yōu)化研究較少。王厚慶等[5]通過求解縱向平面內(nèi)的質(zhì)點運動方程，對RBCC巡航飛行器的飛行軌跡和有效載荷能力進(jìn)行了分析，但沒有采用優(yōu)化方法，無法獲得性能最優(yōu)的飛行軌跡。呂翔等[6]考慮RBCC發(fā)動機性能與飛行狀態(tài)之間的耦合，提出基于馬赫數(shù)-動壓參考曲線的RBCC巡航飛行器爬升段軌跡設(shè)計方法，同樣沒有采用優(yōu)化方法，不能充分挖掘飛行器總體性能。李響等[7]利用遺傳算法對RBCC高超聲速導(dǎo)彈的爬升-巡航航程進(jìn)行優(yōu)化，但沒有考慮動壓、過載、熱流密度等約束，所得結(jié)果可能出現(xiàn)不可行點。

本文以RBCC高超聲速巡航飛行器為研究對象，針對其爬升-巡航全局軌跡優(yōu)化問題，提出一種“粒子群優(yōu)化算法+偽譜法”的嵌套優(yōu)化策略。基于該策略，在以全程燃料最省為優(yōu)化目標(biāo)的條件下，不僅能優(yōu)化飛行攻角和發(fā)動機節(jié)流閥開度，還能得到飛行器的最佳巡航高度和馬赫數(shù)，在模型求解過程中全面考慮RBCC發(fā)動機性能與飛行狀態(tài)的耦合及動壓、過載、熱流密度等約束，最后通過仿真算例，驗證了所提方法的有效性。本文研究旨在結(jié)合RBCC高超聲速巡航飛行器的特點提出軌跡優(yōu)化策略，建立優(yōu)化模型，通過對結(jié)果進(jìn)行分析，為此類新型飛行器的總體設(shè)計及軌跡優(yōu)化提供參考。

1 任務(wù)剖面及優(yōu)化策略

1.1 任務(wù)剖面

考慮RBCC高超聲速巡航飛行器任務(wù)剖面示意圖如圖1所示。

圖1 RBCC巡航飛行器任務(wù)剖面Fig.1 The Mission Profile of RBCC Cruise Vehicle

從圖 1可見，飛行器由機載水平發(fā)射，經(jīng)引射、亞燃沖壓、超燃沖壓 3個模態(tài)加速爬升到期望高度和馬赫數(shù)進(jìn)行巡航飛行，飛抵目標(biāo)空域后下壓攻擊，對目標(biāo)實施精確打擊。為簡化考慮，本文只對爬升-巡航軌跡進(jìn)行研究，而不考慮下壓攻擊段。鑒于RBCC發(fā)動機各模態(tài)性能差異大的特點，可將爬升段進(jìn)一步劃分為引射爬升段、亞燃沖壓爬升段和超燃沖壓爬升段。

綜上，RBCC高超聲速飛行器的爬升-巡航軌跡包括以下4個階段：

a）引射爬升段。該階段從水平發(fā)射點火加速至亞燃沖壓模態(tài)的啟動條件，RBCC發(fā)動機在引射模態(tài)比沖較小，推進(jìn)效率低，為避免長時間的低空阻力消耗，需要飛行器盡快加速和爬高。增大攻角可提高爬高速度，但同時會增大飛行阻力，減小加速度，還可能會造成法向過載超出限定值。因此，攻角的取值需要在爬高和加速之間折中考慮。

b）亞燃沖壓爬升段。該階段RBCC發(fā)動機比沖最大，推進(jìn)效率最高，為充分發(fā)揮此優(yōu)勢，應(yīng)使飛行器在該階段的速度增量和高度增量最大。本段設(shè)計難點在于發(fā)動機性能對飛行狀態(tài)非常敏感，如果爬高過快而加速太慢，則發(fā)動機進(jìn)氣量減少，性能降低，而如果爬高過慢而加速太快，由于大氣阻力太大，同樣會降低飛行器性能。

c）超燃沖壓爬升段。該階段飛行器速度大、高度高，對爬高和加速的要求不大，主要任務(wù)是使飛行器從爬升段平穩(wěn)過渡到巡航段。本段的工作時間較短，其軌跡設(shè)計難點是終端必須滿足巡航起始條件。

d）巡航段。該階段飛行器保持等高等速飛行，其飛行距離占總射程的 90%左右，不同巡航高度和馬赫數(shù)下，發(fā)動機性能以及飛行器所受阻力差異較大。因此，有必要對巡航高度和馬赫數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以使飛行全程消耗的燃料最省。

總之，在RBCC高超聲速飛行器爬升-巡航全局軌跡優(yōu)化過程中，不僅要考慮最佳巡航高度、馬赫數(shù)的確定，還要考慮發(fā)動機各模態(tài)的工作范圍限制以及動壓、過載、熱流密度、控制變量的取值范圍等約束，這些導(dǎo)致RBCC高超聲速巡航飛行器燃料最省軌跡的確定需要在諸多約束之間權(quán)衡協(xié)調(diào)。

1.2 優(yōu)化策略

RBCC高超聲速巡航飛行器的爬升-巡航全局軌跡優(yōu)化是一個多控制變量、多階段、多約束的最優(yōu)控制問題。針對最佳巡航高度和馬赫數(shù)的確定，考慮到粒子群優(yōu)化[8]（Particle Swarm Optimization，PSO）算法概念簡單、智能背景深刻、全局收斂性好的優(yōu)點，本文擬采用粒子群優(yōu)化算法。而對于爬升-巡航這一多階段多約束的軌跡優(yōu)化問題，鑒于偽譜法（Pseudospectral Method，PM）在航空航天領(lǐng)域各類飛行器軌跡優(yōu)化中的廣泛應(yīng)用[9]，本文擬采用偽譜法。據(jù)此，本文提出“粒子群優(yōu)化算法+偽譜法”的嵌套優(yōu)化策略，同時優(yōu)化巡航高度、馬赫數(shù)、飛行攻角及發(fā)動機節(jié)流閥開度。嵌套是指偽譜法嵌套在粒子群優(yōu)化算法中，被其不停調(diào)用，具體流程如圖2所示。

圖2 嵌套優(yōu)化策略流程Fig.2 The Process of Nested Optimization Strategy

該嵌套優(yōu)化策略的流程包括以下4步：

a）粒子群算法中的粒子對巡航高度和馬赫數(shù)賦值，以此作為爬升和巡航的中轉(zhuǎn)條件；

b）偽譜法進(jìn)行多階段多約束的爬升-巡航全局軌跡優(yōu)化，得到射程末端的飛行器質(zhì)量，并將其作為粒子的適應(yīng)度；

c）比較各粒子適應(yīng)度，并據(jù)此更新粒子；

d）判斷是否滿足結(jié)束條件，若否，返回a，若是，結(jié)束。

2 軌跡優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

2.1 動力學(xué)模型

將RBCC高超聲速飛行器看作鉛垂平面內(nèi)運動的可控質(zhì)點，視地球為圓球，并忽略自轉(zhuǎn)，則飛行器的動力學(xué)模型為

式中 H，V，θ，m，DL，r，α，τ分別為飛行高度、速度、速度傾角、飛行器質(zhì)量、射程、地心距、攻角和發(fā)動機節(jié)流閥開度；eR，0g，g分別為地球平均半徑、海平面重力加速度和當(dāng)?shù)刂亓铀俣?；D，L分別為阻力和升力， D =qSCD， L = q SCL，其中，q為動壓，S為參考面積， CD和 CL分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)；P， Isp分別為 RBCC發(fā)動機推力和比沖，P=P(M a,H)，Isp=Isp(Ma,H)，是關(guān)于馬赫數(shù)和高度的插值表，由RBCC發(fā)動機性能分析或試驗給出。

2.2 控制變量選擇

巡航高度 HCruise和馬赫數(shù) M aCruise的取值對RBCC巡航飛行器總體性能影響較大，因此選擇二者作為粒子群優(yōu)化算法的控制變量。此外，在用偽譜法優(yōu)化爬升-巡航軌跡時，為便于加入對攻角和發(fā)動機節(jié)流閥開度的約束，避免優(yōu)化結(jié)果中出現(xiàn)取值變化過快的情況，可將α，τ取為狀態(tài)變量，從而引入新的控制變量uα和uτ：

因此，在偽譜法優(yōu)化爬升-巡航軌跡時，狀態(tài)向量x=[H,V,θ,m,LD,α,τ]，控制向量 u = [uα, uτ]。

2.3 約束模型

2.3.1 控制變量約束

粒子群優(yōu)化算法的控制變量為[HCruise, MaCruise]，偽譜法的控制變量為[uα,uτ]，它們所受約束如下：

2.3.2 過程約束

過程約束是指飛行器在飛行過程中任何時刻都必須滿足的約束條件，否則將直接影響甚至破壞飛行器。本文過程約束除了有一般的動壓約束、法向過載約束、熱流密度約束外，還有為保證RBCC發(fā)動機正常工作的攻角、發(fā)動機節(jié)流閥開度取值約束以及飛行高度約束，具體形式如下：

式中 ρ為大氣密度；C1為與飛行器特性相關(guān)的常數(shù)；Rd為飛行器頭部曲率半徑；m，n為常數(shù)； Hmin(M a)，Hmax(M a)隨馬赫數(shù)變化，其規(guī)律由RBCC發(fā)動機性能分析或試驗給出。

2.3.3 邊界約束

邊界約束包括初始邊界和終端邊界約束。初始邊界約束即RBCC高超聲速飛行器發(fā)射時刻狀態(tài)變量的初值，是完全給定的；終端邊界約束是指飛行器在軌跡終點需滿足的條件，本文中包括高度、速度、速度傾角和射程。綜上，邊界約束表示如下：

式中 t為時間；下標(biāo)0，f分別表示開始和結(jié)束。

2.3.4 連接點約束

為使RBCC巡航飛行器的4個階段光滑銜接，需要保證相鄰兩階段連接點處的狀態(tài)量和控制量對應(yīng)相等。此外，在超燃沖壓爬升段的末端，飛行器應(yīng)達(dá)到巡航條件。因此，連接點約束條件為

式中 i為飛行器飛行的第i個階段。

2.4 性能指標(biāo)

選擇在滿足既定射程的前提下，燃料最省為優(yōu)化指標(biāo)，其等效于 ? m (tf)取極小值，故針對粒子群優(yōu)化算法和偽譜法，性能指標(biāo)均取為

3 優(yōu)化算法基本原理

此節(jié)介紹粒子群優(yōu)化算法和Radau偽譜法的基本原理，其中涉及很多變量，各變量的含義在每種方法中都進(jìn)行了說明，應(yīng)分別理解。

3.1 粒子群優(yōu)化算法基本原理

設(shè) PSO 算法中有N個粒子，每個粒子k(k = 1 ,2,… ,N )表示優(yōu)化問題解空間中的一個備選解。所有粒子都有自己的位置速度以及一個由目標(biāo)函數(shù)J = f ( x ( k))計算得到的適應(yīng)度，其中n為待優(yōu)化變量的個數(shù)，通過比較各粒子的適應(yīng)度來判斷粒子的優(yōu)劣。根據(jù)每個優(yōu)化變量的取值范圍 xi∈ [ ai, bi] , i = 1,2,… ,n ，對粒子位置和速度的限制如下：

設(shè) NIT為 PSO算法總迭代次數(shù)，在任一次迭代j(j = 1 ,2,… ,NIT)中，各粒子依據(jù)自身記憶（粒子k迄今為止搜索到的最優(yōu)位置）和粒子群的記憶（整個粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置）來更新自身的位置，以搜索設(shè)計空間內(nèi)的最優(yōu)解。標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的粒子速度與位置更新公式如下：

式中0c為慣性權(quán)重系數(shù)；1c為粒子跟蹤自身歷史最優(yōu)值的權(quán)重系數(shù)；2c為粒子跟蹤粒子群歷史最優(yōu)值的權(quán)重系數(shù)；1r，2r為（0，1）內(nèi)的隨機數(shù)。

結(jié)束條件根據(jù)具體問題選擇達(dá)到最大迭代次數(shù)或粒子群搜索到的最優(yōu)位置滿足預(yù)期精度。

綜上，PSO優(yōu)化算法的計算流程可歸納為如圖3所示。

圖3 粒子群優(yōu)化算法計算流程Fig.3 The Computation Process of PSO Algorithm

3.2 Radau偽譜法基本原理

偽譜法采用全局插值多項式的有限基在一系列離散點上近似狀態(tài)變量和控制變量，將連續(xù)時間最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃（Nonlinear Programming，NLP）問題進(jìn)行求解。本文選擇 Radau偽譜法轉(zhuǎn)換最優(yōu)控制問題，這是由于Radau偽譜法與Gauss偽譜法或Lobatto偽譜法相比，更易滿足區(qū)間切換點上狀態(tài)變量保持連續(xù)這一條件[10]。

Radau偽譜法將最優(yōu)控制問題的時間區(qū)間[t0,tf] 分成K段，并將每段的時間區(qū)間 t ∈ [ tk?1,tk]轉(zhuǎn)換到 τ ∈[? 1,1]上，于是對應(yīng)有：

使用Legendre-Gauss-Radau（LGR）離散點來離散狀態(tài)變量和控制變量，對第 k(k = 1 ,2,…, K )段，選取 Nk個配點它們是的根，其中為 Nk階Legendre多項式，表達(dá)式如下：

以為插值節(jié)點，分別用Nk， Nk?1階拉格朗日插值多項式為基函數(shù)來近似狀態(tài)變量和控制變量，即：

式中，分別為狀態(tài)變量和控制變量在插值節(jié)點處的值；(τ)，(τ)表達(dá)式如下：

將動力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程約束：

式中第k段處 N ×(N +1)階Radau偽譜微分kk矩陣。

末值型性能指標(biāo)函數(shù)近似為

過程約束為

邊界約束為

此外，為保證相鄰兩段的連續(xù)性，需滿足其中 k =1,2,…,K ?1。

基于上述離散過程，RBCC高超聲速巡航飛行器的多階段多約束軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為NLP問題，可以采用SNOPT軟件包求解。

4 仿真算例

4.1 仿真條件

根據(jù)上文的任務(wù)剖面，RBCC高超聲速巡航飛行器先通過載機掛飛到10 km高度，隨后被水平發(fā)射。初始馬赫數(shù)、速度傾角、質(zhì)量分別為0.8、0°、1500 kg；巡航高度和馬赫數(shù)的取值范圍分別為 25～30 km、Ma=6.5～7；期望射程為1500 km。飛行過程中，攻角和發(fā)動機節(jié)流閥開度的取值范圍分別為-2～6°、0.2～1；過程約束為飛行動壓小于等于90 kPa，法向過載小于等于3，熱流密度小于等于2500 kW/m2。RBCC發(fā)動機使用碳?xì)淙剂希淠B(tài)和亞燃沖壓模態(tài)的轉(zhuǎn)換馬赫數(shù)為3，亞燃沖壓模態(tài)和超燃沖壓模態(tài)的轉(zhuǎn)換馬赫數(shù)為6，各模態(tài)適宜工作范圍由RBCC發(fā)動機性能分析得出。設(shè)定粒子群優(yōu)化算法的粒子數(shù)10，迭代次數(shù)6，c0=0.729，c1= c2=2。在Radau偽譜法中，對RBCC高超聲速飛行器爬升-巡航飛行軌跡的每一階段，均選取插值節(jié)點數(shù)21。

4.2 結(jié)果分析

圖4為巡航高度、馬赫數(shù)優(yōu)化結(jié)果。由圖4可知，在第2代時全局最優(yōu)粒子出現(xiàn)，第4代時所有粒子均收斂于全局最優(yōu)粒子，從而得到飛行器最佳巡航高度和馬赫數(shù)為30 km、Ma =6.5，此時飛行器剩余質(zhì)量最大，為749.1 kg。分析認(rèn)為，RBCC高超聲速飛行器在25～30 km的巡航高度范圍內(nèi)，高度越高，大氣密度越低，所受阻力越?。淮送?，當(dāng)以Ma=6.5～7超燃沖壓巡航時，RBCC發(fā)動機的比沖隨馬赫數(shù)增大而減小，因此，30 km、Ma =6.5的巡航狀態(tài)下燃料使用效率最高。雖然具體第幾代出現(xiàn)全局最優(yōu)粒子會受到初代粒子分布的影響，但從粒子數(shù)較多及初值取值的隨機性這兩點考慮，PSO算法在對RBCC高超聲速飛行器巡航高度和馬赫數(shù)尋優(yōu)時總能快速收斂。

圖4 巡航高度、馬赫數(shù)優(yōu)化結(jié)果Fig.4 The Optimization Result of Cruise Altitude and Mach Number

巡航高度、馬赫數(shù)取最優(yōu)值時，由Radau偽譜法得到的飛行器控制變量、飛行狀態(tài)以及過程約束變化規(guī)律如圖5所示。由圖5a～5b可知，攻角和發(fā)動機節(jié)流閥開度均在限定的取值范圍內(nèi)，且變化平緩，易于實現(xiàn)；在引射爬升段和亞燃沖壓爬升段，RBCC發(fā)動機處于滿推狀態(tài)，表明此段飛行對爬高和增速需求較大，而在巡航段，飛行器高度較高，大氣較稀薄，發(fā)動機節(jié)流閥開度取較小值就能實現(xiàn)推阻平衡。由圖 5c～5g可知，飛行器能穩(wěn)定爬升、加速，并平滑過渡到巡航段，巡航高度和馬赫數(shù)達(dá)到期望值；飛行器射程為1500 km，滿足任務(wù)要求，全程飛行耗時819.4 s，可實現(xiàn)快速抵近；引射爬升段、亞燃沖壓爬升段和超燃沖壓爬升段燃料消耗量分別為255 kg、122 kg、38 kg，可見在爬升段中，引射模態(tài)消耗燃料最多，占比61.45%，而亞燃沖壓模態(tài)消耗較少燃料就實現(xiàn)了高度和速度的大幅增加，增幅分別為11.42 km、910 m/s，各自占總爬高量和加速量的57.1%、52.86%；爬升-巡航全程飛行消耗燃料 750.9 kg，占飛行器總質(zhì)量的50.06%。由圖 5h可知，飛行器馬赫數(shù)-高度曲線始終處于RBCC發(fā)動機正常工作范圍內(nèi)，滿足動力對飛行軌跡的約束，此外，還能看出，在飛行初期，飛行器處于先加速后爬高的狀態(tài)，分析認(rèn)為，盡早加速以更快進(jìn)入亞燃沖壓模態(tài)，有利于節(jié)省燃料。由圖 5i～5k可知，飛行過程中動壓、法向過載、熱流密度均滿足約束條件，動壓最大值70.5 kPa出現(xiàn)在亞燃沖壓爬升段，這是因為該階段飛行器速度大，同時大氣仍較稠密；法向過載最大值2.62出現(xiàn)在引射爬升段，對照攻角剖面可看出，這主要由攻角較大引起；熱流密度最大值2280 kW/m2同樣出現(xiàn)在引射爬升段，其在該段的變化規(guī)律是先增大后減小，表明速度增加和大氣密度減小先后起主要作用。

圖5 爬升-巡航軌跡優(yōu)化結(jié)果Fig.5 The Optimization result of Climb-cruise Trajectory

續(xù)圖5

續(xù)圖5

續(xù)圖5

5 結(jié) 論

本文以 RBCC高超聲速巡航飛行器為研究對象，對其爬升-巡航全局軌跡優(yōu)化問題進(jìn)行研究，所得結(jié)論如下：

a）“粒子群優(yōu)化算法+偽譜法”的嵌套優(yōu)化策略能很好地解決同時優(yōu)化巡航高度、馬赫數(shù)、飛行攻角以及發(fā)動機節(jié)流閥開度這一難題，所得結(jié)果合理可行；

b）對巡航高度和馬赫數(shù)的優(yōu)化結(jié)果表明，在25～30 km、Ma=6.5～7的巡航包線內(nèi)，為使RBCC高超聲速飛行器爬升-巡航全程飛行燃料最省，巡航高度應(yīng)盡可能高，而巡航馬赫數(shù)應(yīng)盡可能低；

c）優(yōu)化所得爬升-巡航軌跡符合 RBCC高超聲速飛行器各階段工作特點，滿足所有約束條件，表明偽譜法對RBCC高超聲速飛行器的軌跡優(yōu)化問題具有較好的適應(yīng)性；

d）RBCC高超聲速巡航飛行器具有全程自主飛行、無需助推、高馬赫數(shù)巡航的特點，能快速抵近目標(biāo)，是未來高超聲速飛行器的重要發(fā)展方向。