李華東，王永歷，梅志遠(yuǎn)

(海軍工程大學(xué) 艦船工程系，湖北 武漢 430033)

0 引 言

隨著航運(yùn)事業(yè)的發(fā)展和軍用需求的增加，船舶的主機(jī)功率不斷提高、噸位越來越大，從而使得船舶振動(dòng)激振力加大、抵抗振動(dòng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度變小，導(dǎo)致產(chǎn)生較大的船體振動(dòng)，使船體的振動(dòng)問題日益突出[1]。目前，對(duì)于結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)優(yōu)化問題研究的不夠充分，其原因是振動(dòng)響應(yīng)優(yōu)化問題在優(yōu)化求解方面有著龐大的計(jì)算量?；谀B(tài)貢獻(xiàn)量的動(dòng)態(tài)響應(yīng)優(yōu)化是一種相對(duì)便捷的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。通過找出結(jié)構(gòu)的振動(dòng)優(yōu)勢模態(tài)，根據(jù)優(yōu)勢模態(tài)的振型，設(shè)計(jì)出能夠抑制這些振型振動(dòng)的方案，有針對(duì)性地增加相應(yīng)優(yōu)勢模態(tài)的阻尼比，從而達(dá)到更有效的減振效果[2–4]。

經(jīng)過幾十年發(fā)展，模態(tài)貢獻(xiàn)量可以通過多種模態(tài)識(shí)別方法得到[5]。自20世紀(jì)70年代出現(xiàn)的最小二乘復(fù)指數(shù)法[6]，能夠獲取與模態(tài)貢獻(xiàn)量相對(duì)應(yīng)的左特征向量[7]。HarvardVold[8]在1982年率先提出了多參考點(diǎn)復(fù)指數(shù)法，建立了脈沖響應(yīng)、特征值及模態(tài)貢獻(xiàn)量之間的復(fù)指數(shù)矩陣關(guān)系方程。在國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀里，對(duì)模態(tài)貢獻(xiàn)量的研究分析也變得越來越多。Leuridan J和Van H der Auweraer[9]論述了使用正交多項(xiàng)式法，估算結(jié)構(gòu)的振型與模態(tài)貢獻(xiàn)量。宋文等[2]明確給出了模態(tài)貢獻(xiàn)量的計(jì)算公式，并計(jì)算了一種支撐結(jié)構(gòu)各階的模態(tài)貢獻(xiàn)，通過優(yōu)勢模態(tài)進(jìn)行了振動(dòng)響應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

本文基于Abaqus/Standard模態(tài)貢獻(xiàn)量插件，提出2種優(yōu)勢模態(tài)的選取方法，并分別根據(jù)以上2種方法選取了結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的優(yōu)勢模態(tài)，其對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制效果進(jìn)行對(duì)比，并通過算例論證了2種優(yōu)勢模態(tài)在結(jié)構(gòu)整體振動(dòng)響應(yīng)影響程度，為后續(xù)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)優(yōu)化打下良好的基礎(chǔ)。

1 基于Abaqus/Standard的優(yōu)勢模態(tài)選取方法研究

1.1 模態(tài)貢獻(xiàn)量在Abaqus/Standard中的應(yīng)用

在Abaqus/Standard有限元軟件中有1套比較成熟的模態(tài)貢獻(xiàn)量計(jì)算插件MCF（Modal Contribution Factors），模態(tài)貢獻(xiàn)量（MCF）插件是一個(gè)分析噪聲、振動(dòng)和聲振粗糙度（NVH）的應(yīng)用程序，可以輸出模態(tài)頻響分析，也可以分析每一個(gè)模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)或聲學(xué)響應(yīng)的貢獻(xiàn)度。

當(dāng)在Abaqus/Standard里分析一個(gè)模態(tài)頻響，其響應(yīng)是通過振型和相應(yīng)的模態(tài)振幅的線性疊加計(jì)算而來。對(duì)于一個(gè)典型的結(jié)構(gòu)噪聲或結(jié)構(gòu)分析，模態(tài)的數(shù)量可以數(shù)以百計(jì)。使用者需要仔細(xì)檢查這些個(gè)體模式模態(tài)，然后找到或排列優(yōu)勢模式（對(duì)總響應(yīng)做出主要貢獻(xiàn)的模態(tài)）。每個(gè)模態(tài)對(duì)總結(jié)構(gòu)或聲學(xué)響應(yīng)的貢獻(xiàn)率可稱為模態(tài)貢獻(xiàn)系數(shù)。典型的Abaqus/Standard模態(tài)頻響分析，對(duì)每一個(gè)基本態(tài)都進(jìn)行固有頻率分析，然后進(jìn)行多重穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)分析步（多重載荷下）。插件讀取數(shù)據(jù)庫輸出的以下變量生成分析：

1）場輸出的每一個(gè)固有頻率分析步里必須包括節(jié)點(diǎn)位移。此外，如果進(jìn)行的是聲固耦合分析，場輸出的每個(gè)固有頻率分析步必須包括節(jié)點(diǎn)孔隙或聲壓。

2）每個(gè)固有頻率分析步后，必須至少有一個(gè)模態(tài)疊加的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)分析步（不可以使用直接法或子空間法）。

3）在每個(gè)模態(tài)疊加穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)分析步里，歷史輸出里必須包括廣義位移和廣義位移的相位角。

1.2 優(yōu)勢模態(tài)的選取方法研究

運(yùn)用模態(tài)坐標(biāo)法，其基向量為系統(tǒng)的模態(tài)振型，模態(tài)振型是結(jié)構(gòu)做無阻尼振動(dòng)時(shí)其變形能的固有平衡狀態(tài)，此狀態(tài)下各階模態(tài)之間互不耦合，振動(dòng)響應(yīng)可以表示為各階模態(tài)貢獻(xiàn)之和[2]，即

式中：為結(jié)構(gòu)各階的振型位移；為各階的模態(tài)坐標(biāo)，即各階對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的貢獻(xiàn)。所求得的為結(jié)構(gòu)模態(tài)的總響應(yīng)。

現(xiàn)以已求得的某結(jié)構(gòu)單個(gè)響應(yīng)點(diǎn)的模態(tài)貢獻(xiàn)量頻域響應(yīng)圖（見圖1）為例，由圖可知，在此響應(yīng)點(diǎn)的各階模態(tài)固有頻率點(diǎn)上，均有明顯的模態(tài)貢獻(xiàn)量峰值，而每一階響應(yīng)頻段范圍大小并不相同，因此，可以考慮分別用以下2種方式對(duì)各階的模態(tài)貢獻(xiàn)量進(jìn)行評(píng)價(jià)：

1）峰值法

選取所有響應(yīng)節(jié)點(diǎn)m在各階模態(tài)α固有頻率點(diǎn)A上的模態(tài)貢獻(xiàn)量峰值，并做線性平均，得到各階模態(tài)貢獻(xiàn)量，最后進(jìn)行歸一化處理，得到各階模態(tài)貢獻(xiàn)量所占整體的比重：

2）全頻段法

把每個(gè)模態(tài)的響應(yīng)范圍考慮進(jìn)去，將各階模態(tài)α上所有節(jié)點(diǎn)m在全頻段的模態(tài)貢獻(xiàn)量做線性平均得到各階模態(tài)貢獻(xiàn)量，最后進(jìn)行歸一化處理，得到各階模態(tài)貢獻(xiàn)量所占整體的比重：

2 兩種優(yōu)勢模態(tài)對(duì)整體動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響分析

下面以1個(gè)算例分析研究2種模態(tài)貢獻(xiàn)量評(píng)價(jià)方法所選取的優(yōu)勢模態(tài)，哪一種對(duì)結(jié)構(gòu)整體的振動(dòng)響應(yīng)影響較大。

2.1 算例模型

建立尺寸為200 mm（長）×20 mm（寬）×2 mm（高）的懸臂梁，材料為鋼，采用殼單元建模，單元?jiǎng)澐譃镾4R四節(jié)點(diǎn)單元，如圖2所示，模型右側(cè)單邊固支，頻響輸出點(diǎn)為除固支邊外的板中間的8個(gè)節(jié)點(diǎn)，激勵(lì)點(diǎn)位于中線靠左側(cè)，如圖2所示。

計(jì)算前800 Hz內(nèi)所有模態(tài)的固有頻率，穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)計(jì)算選擇模態(tài)疊加法，計(jì)算10～800 Hz頻段內(nèi)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，模態(tài)阻尼全部選取1%。

2.2 基于模態(tài)貢獻(xiàn)量的優(yōu)化設(shè)計(jì)及結(jié)果分析

2.2.1 模型的前800 Hz頻段內(nèi)固有頻率及振型

模型前800 Hz頻段內(nèi)共有5個(gè)振型，如表1所示。

表1 仿真模型1至5階振型Tab. 1 1st to 5th vibration mode of simulation

2.2.2 模型模態(tài)貢獻(xiàn)量的計(jì)算

計(jì)算的各輸出節(jié)點(diǎn)的模態(tài)貢獻(xiàn)量曲線結(jié)果如圖3所示。接下來分別用2種方法對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)貢獻(xiàn)量進(jìn)行評(píng)價(jià)。

1）峰值法

從輸出文件中找出各模態(tài)所有節(jié)點(diǎn)的模態(tài)貢獻(xiàn)量峰值，得到表2。

分析8個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的，可以看出1階為其優(yōu)勢模態(tài)，且能夠得出以下結(jié)論：

①由于第3階是X-Y水平面的彎曲振型，第5振型是沿模型Y軸中線的扭轉(zhuǎn)振型，模型Y軸中線的模態(tài)幅值為0，全部為此模態(tài)振動(dòng)的駐點(diǎn)，而激勵(lì)點(diǎn)也在模型的Y軸中線，根據(jù)式（2），激勵(lì)在這2階的模態(tài)力為0，無法激起此振型，因此，第3階、第5階的模態(tài)貢獻(xiàn)量為0；

②在1階模態(tài)中，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振型位移隨著節(jié)點(diǎn)編號(hào)的增加而減小，而其模態(tài)貢獻(xiàn)量的峰值同樣隨之減小。同樣，2階、4階的各個(gè)節(jié)點(diǎn)模態(tài)貢獻(xiàn)量峰值的變化趨勢與節(jié)點(diǎn)所在的模態(tài)振幅變化趨勢相同。

表2 各模態(tài)所有節(jié)點(diǎn)的模態(tài)貢獻(xiàn)量峰值Tab. 2 Peak value of MCF of output node

2）全頻段法

把每個(gè)模態(tài)所有節(jié)點(diǎn)的模態(tài)貢獻(xiàn)量幅值在全頻段內(nèi)進(jìn)行線性平均，結(jié)果如表3所示。由表3可知，4階模態(tài)為此激勵(lì)下前800 Hz的優(yōu)勢模態(tài)。

表3 全頻段內(nèi)各模態(tài)所有節(jié)點(diǎn)的模態(tài)貢獻(xiàn)量Tab. 3 MCF of output node in full-band

由表3可看出：

雖然1階模態(tài)的在所有模態(tài)中最大，然而由于1階模態(tài)響應(yīng)頻段太小，其反而不如其他2個(gè)模態(tài)；相反，由于響應(yīng)頻段較大，4階模態(tài)的占到了前800 Hz響應(yīng)的近50%。

每個(gè)響應(yīng)節(jié)點(diǎn)在全頻段內(nèi)的模態(tài)貢獻(xiàn)量變化趨勢與節(jié)點(diǎn)在模態(tài)振幅上的變化趨勢相同，說明由表2所得出的結(jié)論②不僅適用于而且同樣適用于

2.2.3 兩種優(yōu)勢模態(tài)對(duì)整體振動(dòng)響應(yīng)影響分析

為了驗(yàn)證哪一種方式得出的優(yōu)勢模態(tài)對(duì)整體振動(dòng)響應(yīng)影響最大，分別將1階、4階的模態(tài)阻尼比由1%調(diào)整到2%，且為了論證增加優(yōu)勢模態(tài)的阻尼比對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)優(yōu)化的高效性，分別做另外3組將其模態(tài)的阻尼比由1%調(diào)整到2%的對(duì)比試驗(yàn)，結(jié)果見表4。

由表4可以得出結(jié)論：在同等條件下改變模態(tài)阻尼比，增加由所得出優(yōu)勢模態(tài)的模態(tài)阻尼比，其結(jié)構(gòu)整體振動(dòng)響應(yīng)減小最多，優(yōu)化更有效率，振動(dòng)響應(yīng)變化量的相對(duì)大小與相同。如果某一階的模態(tài)貢獻(xiàn)量所占比重為0，則改變其模態(tài)阻尼比不會(huì)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)有影響。

得出分別增加1階、2階、4階模態(tài)阻尼后節(jié)點(diǎn)1的模態(tài)貢獻(xiàn)量曲線圖，如圖4所示。

由圖4可以看出，增加各階的模態(tài)阻尼比只會(huì)降低相應(yīng)階數(shù)的模態(tài)貢獻(xiàn)量峰值，對(duì)其響應(yīng)范圍影響不大。因此，不可否認(rèn)的是，利用所選取出的優(yōu)勢模態(tài)，增加其模態(tài)阻尼比，對(duì)降低振動(dòng)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)峰會(huì)更有效果。

表4 改變模態(tài)阻尼比后的總加速度級(jí)Tab. 4 Acceleration level after changing modal damping ratio

4階模態(tài)為Z向2個(gè)周期的彎曲振動(dòng)，因此可以考慮在結(jié)構(gòu)合理的位置增加抑制Z向彎曲振動(dòng)的阻尼材料，同時(shí)1階和2階分別是Z向1個(gè)周期的彎曲振動(dòng)和Z向1.5個(gè)周期的彎曲振動(dòng)，Z向彎曲振動(dòng)的阻尼材料同樣可以抑制1階模態(tài)和2階模態(tài)。

3 結(jié) 語

本文基于Abaqus/Standard中模態(tài)貢獻(xiàn)量插件的應(yīng)用，提出了2種優(yōu)勢模態(tài)的選取方法，并通過算例論證了2種優(yōu)勢模態(tài)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響，可以得出以下結(jié)論：

1）增加由所得出優(yōu)勢模態(tài)的模態(tài)阻尼比，其結(jié)構(gòu)整體振動(dòng)響應(yīng)降低最多，優(yōu)化效率更高，振動(dòng)響應(yīng)變化量的相對(duì)大小與相同；

2）增加由所得出優(yōu)勢模態(tài)的模態(tài)阻尼比，可以有效地降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)的響應(yīng)峰；

3）如果某一階的模態(tài)貢獻(xiàn)量所占比重為0，則改變其模態(tài)阻尼比不會(huì)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)有影響；

4）不管是峰值法或是全頻段法，各個(gè)節(jié)點(diǎn)模態(tài)貢獻(xiàn)量的變化趨勢與節(jié)點(diǎn)所在的模態(tài)振幅變化趨勢相同。

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