王鴻東，易 宏，余 平

(上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240)

0 引 言

三體船是近年來發(fā)展迅猛的船型，它是一種高性能船，由1個中體和2個片體組成，相比于普通船型，擁有優(yōu)良的阻力性能和耐波性能，優(yōu)秀的穩(wěn)性，較大的甲板面積，以及可以大型化的特點。因此，三體船的應(yīng)用廣泛，性能優(yōu)異，在軍民兩用上都具有良好的發(fā)展前景[1]。

而對于三體船舶操縱性能的研究，在國內(nèi)外都甚少。而操縱性能對于三體船舶又十分重要，尤其對三體船在軍事方面的運用十分重要。對于三體船舶操縱性能的研究，其關(guān)鍵在于水動力系數(shù)的確定，而想要得到精確的水動力系數(shù)，就需要精確計算三體船舶在斜航、旋臂等不同運動狀態(tài)下的受力情況。在國內(nèi)外對于水動力導(dǎo)數(shù)的求解方法，主要有經(jīng)驗公式、船模試驗以及CFD軟件以及勢流理論求解的方法。

早在1936年Bollay[2]已將二維的渦格法運用于較少展弦比機翼升力的計算，有著良好的效果。近年來，一些學(xué)者將渦格法運用于飛行器、船舶、海洋平臺等流體力學(xué)相關(guān)領(lǐng)域的操縱性分析。Minu Jeona和Seungmin Lee[3]采用渦格法分析了海上浮動式風(fēng)力渦輪機在傾斜試驗中的操縱性問題。J Gardiner和NA Razak等[4]利用渦格法對鳥類飛行過程中環(huán)翼流場進行仿真分析。Sanghyuk Park[5]將渦格法應(yīng)用于固定翼無人機操縱性分析，并考慮了螺旋槳法向力對舵相應(yīng)的影響，使模型仿真與飛行試驗結(jié)果較好地吻合。陳材侃等[6]考慮到非線性的自由液面邊界條件，用下潛渦格法求解了水翼繞流問題。詹金林、盧曉平等[7–8]對渦格法在船舶橫向力以及轉(zhuǎn)首力矩計算中的運用進行了研究。

本文運用勢流方法對三體船操縱運動中的斜航運動進行數(shù)值模擬[9–10]。由于傳統(tǒng)源匯模型的誘導(dǎo)速度沿面元的切向連續(xù)法相不連續(xù)[11]，對于有升力物體的模擬在滿足定解條件的情況下，無法體現(xiàn)升力面兩側(cè)的速度差，而恰恰渦環(huán)（或偶極）單元的誘導(dǎo)速度沿法向連續(xù)而切向不連續(xù)[12]。因此，本文將三體船視作3個有升力機翼，在船體表面布置渦環(huán)，采用對疊模的方法，忽略自由面的影響，通過渦環(huán)之間的相互誘導(dǎo)速度以及物面不可穿透條件，求解各個渦環(huán)的強度，進而得到各個分布點處的速度、壓強以及船體的受力情況。并通過計算結(jié)果求得相應(yīng)的水動力系數(shù)Yv，Yvvv，Nv，Nvvv。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系

采用如圖1所示的右手坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點O位于船中，X軸由船首指向船尾，Y軸由船左舷指向右舷，Z軸豎直向上。側(cè)體分布于主體兩側(cè)，兩側(cè)側(cè)體中心位置對于主體中心位置在X方向的距離同為a，在Y方向的距離同為b。

1.2 控制方程以及邊界條件

假定均勻來流速度為。根據(jù)勢流理論，流場存在速度勢Φ，由均勻來流的速度勢和擾動速度勢φ構(gòu)成，即：

不計自由面興波，φ應(yīng)該滿足以下定解條件：

對于有升力模型，還應(yīng)滿足：

其中，和分別為尾緣處尾渦面兩側(cè)的壓力。

1.3 方程的離散與求解

采用在物面和尾渦面上布置渦環(huán)的方法進行數(shù)值計算。流場中任意一點p的速度勢為：

離散處理后得：

關(guān)于式（5）兩邊求導(dǎo)，可得p點處的誘導(dǎo)速度為：

式中：右邊第1項和第2項分別為物面上的渦環(huán)單元和尾渦面上的馬蹄渦對p點的誘導(dǎo)速度；lj和lk分別為物面和尾渦面上面元的周界；mj和mk分別為渦環(huán)lj和lk的強度。渦環(huán)走向按由物面外法線方向按右手定則確定。

如果要在尾渦面上滿足正負方向壓強相等的Kutta條件，則需要不斷迭代求解得到非線性的尾渦面以滿足Kutta條件[13]，而斜拖運動中船體漂角一般較小，非線性的影響也較小，因此本文參考了文獻[14]對Kutta條件進行簡化，尾渦面方向與來流方向一致，因為尾渦面上下的壓力是連續(xù)的，而尾渦面又平行于來流方向，所以尾渦面的每一縱向條帶各單元的渦環(huán)強度應(yīng)該相等。如圖2所示，這些渦環(huán)合在一起相當(dāng)于一馬蹄渦，其尾渦部分平行于來流方向，附著渦部分與物體后緣重合。

根據(jù)后緣的Kutta條件，在物體后緣不能有集中渦，于是馬蹄渦的強度mw與相鄰物面單元上的渦環(huán)強度之間有如下關(guān)系式：

流場內(nèi)任意點p處擾動流場可以寫成：

其中：N為物面上的面元總數(shù)；為物面任意單元j對于場點p的誘導(dǎo)速度；物面單元編號為j，而

其中，pi為場點趨近于某一物面控制點i，。

式（9）可簡寫為：

其中：

式中：為渦環(huán)的影響系數(shù)，為馬蹄渦的影響系數(shù)。此外，，ni為控制點pi處外法線方向的單位矢量。由式（10）建立N×N的線性代數(shù)方程組可以解得渦強mj。采用薄物體的壓力分布計算方法。物面上分布的面偶對其上任一點qi的誘導(dǎo)速度為：

式中：右邊第2項為0，第3項之前已求得，對于第1項，解析方法較難計算，本文采用工程上常用的計算方法[14]，令，用 m1，m2，m3分別表示物面某一單元處渦強以及單元縱向前方、垂向上方單元處渦強，通過前述方程組求解得到渦強后，則m1，m2，m3為已知量，即可計算：

即

記，于是聯(lián)立上式可以解得h1和h2，進而得到式（14）第1項。解得各分布點速度后，可得由伯努利方程到物面的壓力分布，再由可控制點的向徑pi，由式（15）和式（16）求得船體受到的橫向水動力和轉(zhuǎn)首水動力矩：

2 三體船斜航數(shù)值模擬及計算

選取三體Wigley船型為例，對三體船斜航運動進行數(shù)值模擬，進而說明算法的有效性[15]。船型函數(shù)表達式為：

取主體水線長L=3 m，主體水線寬B=0.3 m，主體吃水z=0.2 m，側(cè)體按主體的0.4倍進行縮放，側(cè)體縱向間距a=0.9 m，橫向間距b=0.5 m。對其進行面網(wǎng)格劃分，將主體水線劃分40份，吃水深度劃分5份，側(cè)體水線劃分16份，吃水深度劃分2份，共劃分696個四邊形網(wǎng)格，采用正弦分布對船體網(wǎng)格進行劃分，如圖3所示。

由程序計算可得，在航速為1.625 m/s時斜航運動的受力如表1所示。

計算結(jié)果與商業(yè)軟件Star-CCM+計算結(jié)果進行對比，如圖4所示。

水動力系數(shù)對比如表2所示。

表1 三體Wigley斜航受力Tab. 1 Oblique towing force of wigley trimaran

表2 水動力系數(shù)Tab. 2 Hydrodynamic Derivative

由計算結(jié)果可知，在漂角較小的情況下，程序計算結(jié)果與商業(yè)軟件計算結(jié)果相符，但是由于對尾渦面進行了較小漂角下的線性尾渦面假設(shè)，因此隨著漂角的不斷增大，程序計算結(jié)果尤其是橫向力與商業(yè)軟件計算結(jié)果的差距增大，這與實際相符。由于轉(zhuǎn)首力矩隨著漂角的增大，其增幅相對較小，因此模擬較準(zhǔn)確，而橫向力的增大則非線性程度較大，因此主要的計算誤差也體現(xiàn)在Yvvv上。由于15°的漂角已足以滿足工程計算的要求，因此認為對尾渦面的假設(shè)可行。

對三體Wigley船型分別采用了正弦分布網(wǎng)格劃分。由于船體的受力較變化較大的部位主要在船首尾處，因此正弦網(wǎng)格分布可以在首尾處更好地反應(yīng)形狀變化以及得出更精確的壓力分布。也說明對于渦環(huán)柵格法的使用，如何正確計算出渦強的分布，對最終壓強分布的計算，以及最終橫向力以及轉(zhuǎn)首力矩結(jié)果的精度起著至關(guān)重要的作用。

3 結(jié) 語

利用渦格法對于三體船斜航運動的數(shù)值模擬，并通過結(jié)果回歸得到斜拖運動水動力導(dǎo)數(shù)的方法可行。由于船體實際操縱運動漂角并不大，因此對于尾渦面的線性假設(shè)，在較小漂角情況下適用。但是由于忽略了尾渦面的非線性以及自由面的影響，隨著漂角即橫向速度的不斷增大，受力體現(xiàn)出的弱非線性也更加明顯，誤差也會隨之增大，這符合實際情況。

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