馮佳佳，李宜鵬

0 引 言

對(duì)于階數(shù)及參數(shù)未知的多輸入-多輸出高階非線性系統(tǒng)，如何設(shè)計(jì)一個(gè)工程上易于實(shí)現(xiàn)的低階控制器，以達(dá)到高性能控制要求，這是目前航天等領(lǐng)域急待解決的問(wèn)題[1].復(fù)雜航天器具有撓性結(jié)構(gòu)，還有液體晃動(dòng)和消耗，同時(shí)對(duì)控制能力的要求又很高，即要求高精度、高穩(wěn)定度、高靈敏度的控制性能，以及魯棒適應(yīng)性和長(zhǎng)壽命可靠性等[2]，因此急需發(fā)展智能自主控制[3-5].

基于特性模型的智能自適應(yīng)控制方法是吳宏鑫院士1992年提出的，主要包括特征建模理論和方法、黃金分割自適應(yīng)控制方法等內(nèi)容[6-7].黃金分割自適應(yīng)控制律是將黃金分割與最小方差自適應(yīng)控制律相結(jié)合的一種新的自適應(yīng)控制方法，在一定條件下，可以保證參數(shù)未收斂于“真值”時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及對(duì)未建模誤差的魯棒穩(wěn)定性[8].由于此控制律中的系數(shù)是通過(guò)系統(tǒng)實(shí)時(shí)辨識(shí)得到，當(dāng)被控對(duì)象為強(qiáng)非線性、強(qiáng)時(shí)變特性時(shí)，系統(tǒng)的辨識(shí)效率并不是很理想.而模糊邏輯控制[9-11]可以有效地對(duì)系統(tǒng)辨識(shí)的區(qū)域進(jìn)行規(guī)劃，從而有效地提高辨識(shí)效率，使系統(tǒng)的控制性能不斷改善，以致達(dá)到最佳的控制效果[12].因此，模糊邏輯控制與黃金分割控制的有效結(jié)合，有望進(jìn)一步提高系統(tǒng)的控制效果.關(guān)于模糊控制與特征模型相結(jié)合的思想，文獻(xiàn)[1]提出一種基于特征模型穩(wěn)定的自適應(yīng)模糊廣義預(yù)測(cè)控制方案；文獻(xiàn)[13]提出一類基于特征模型的快速模糊自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)方法;文獻(xiàn)[14]提出一種面向空天飛行器的模糊動(dòng)態(tài)特征建模與控制方法.而本文在總結(jié)前面文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，給出了一種基于模糊分割的黃金分割控制器(以下簡(jiǎn)稱模糊黃金分割控制器)的詳細(xì)設(shè)計(jì)過(guò)程，并從理論上證明了模糊黃金分割控制器的穩(wěn)定性，最后將模糊黃金分割控制應(yīng)用到小衛(wèi)星[15-17]的姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制中.

其中，模糊黃金分割控制器的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示，它通過(guò)對(duì)非線性狀態(tài)空間進(jìn)行模糊分割，對(duì)每個(gè)模糊子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)黃金分割控制律，然后整個(gè)非線性系統(tǒng)的控制取為各個(gè)模糊子系統(tǒng)黃金分割控制的加權(quán)和.

圖1 基于特征模型的模糊黃金分割控制框圖Fig.1 Fuzzy golden section controller based on characteristic model

1 問(wèn)題描述

考慮小衛(wèi)星姿態(tài)的快速機(jī)動(dòng)及穩(wěn)定控制方法.動(dòng)力學(xué)模型可以描述為[18]:

(1)

定義衛(wèi)星歐拉姿態(tài)角q(t)=[φθψ]T，其中φ，θ，ψ分別為航天器的滾動(dòng)、俯仰和偏航角，其角速度在星體坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：

(2)

其中，當(dāng)q在一定區(qū)間變化時(shí)，B(q)是可逆陣，本文只研究B(q)可逆的情況.

當(dāng)采用1-2-3轉(zhuǎn)序時(shí)，

(3)

2 模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì)

2.1 特征建模方法

所謂特征建模就是根據(jù)對(duì)象動(dòng)力學(xué)特性、環(huán)境特性和控制性能要求相結(jié)合來(lái)建模，與傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的最大區(qū)別是結(jié)合控制性能要求建模[6].

工程上常見(jiàn)的線性定常高階對(duì)象

(4)

可以利用一個(gè)二階慢時(shí)變差分方程來(lái)表示，即

yk+1=f1,kyk+f2,kyk-1+g0,kuk

(5)

令：

(6)

其中，遞推最小二乘為

(7)

此時(shí)，黃金分割控制器設(shè)計(jì)為：

(8)

2.2 模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì)

其基本思想是將n維非線性狀態(tài)空間模糊分割為個(gè)模糊子空間，對(duì)每個(gè)模糊子空間，分別設(shè)計(jì)一個(gè)基于特征模型的黃金分割控制器，然后將整個(gè)非線性系統(tǒng)的控制取為各個(gè)模糊子系統(tǒng)黃金分割控制的加權(quán)和.

首先，對(duì)n維非線性狀態(tài)空間模糊分割為l個(gè)模糊子空間.需要說(shuō)明的是，關(guān)于模糊分割通常情況下可以采用均勻分割的方法，但一般情況下，應(yīng)根據(jù)模型特性，對(duì)于不同的區(qū)域采用不同粒度的分割，其原則是當(dāng)模型特性變化比較劇烈時(shí)應(yīng)分割得細(xì)一點(diǎn)，模型特性變化比較平緩時(shí)應(yīng)分割得粗一點(diǎn)，而隸屬度函數(shù)通常取對(duì)稱形式[19].

非線性狀態(tài)空間模糊分割后，產(chǎn)生l條T-S模糊規(guī)則，而在第i條T-S模糊規(guī)則下，被控對(duì)象的模糊特征模型可以表示為：

則：

對(duì)第i條T-S模糊規(guī)則進(jìn)行歸一化，則歸一化后的發(fā)放強(qiáng)度為：

此時(shí)，在l條T-S模糊規(guī)則下，整個(gè)被控系統(tǒng)的特征模型可表示為

(9)

令：

(10)

則由式(7)可以計(jì)算得到各個(gè)參數(shù).

針對(duì)第i條T-S模糊規(guī)則

所以整個(gè)非線性系統(tǒng)的控制律為：

(11)

其中，μi(x)為歸一化發(fā)放強(qiáng)度.

2.3 模糊黃金分割控制穩(wěn)定性證明

引理1.對(duì)于任一n階對(duì)象G(s)，在滿足一定采樣周期Δt的條件下，當(dāng)要實(shí)現(xiàn)位置保持或位置跟蹤控制時(shí)，其特征模型可用一個(gè)二階時(shí)變差分方程形式來(lái)描述[6]

y(k+1)=f1(k)y(k)+f2(k)y(k-1)+g0(k)u(k)

(12)

由式(9)可知：

=ykf1+yk-1f2+ukg0

(13)

因此，非線性狀態(tài)空間進(jìn)行模糊分割后，整個(gè)被控系統(tǒng)的特征模型滿足特征建模原理.

引理2.被控對(duì)象的離散后的差分方程為：

y(k+1)=f1(k)y(k)+f2(k)y(k-1)+g0(k)u(k)

對(duì)象系數(shù)f1(k),f2(k),g0(k)未知，并在一定的閉凸集Ds之內(nèi)，控制器為：

由式(11)得

(14)

所以式(14)得：

(15)

由引理2可知，式(11)所示的控制律是穩(wěn)定的.也就是說(shuō)，針對(duì)黃金分割控制律穩(wěn)定的系統(tǒng)，模糊黃金分割控制律仍然穩(wěn)定.

3 仿真校驗(yàn)

為了驗(yàn)證模糊黃金分割的有效性，進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真：

衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

撓性帆板一階頻率為2.23 Hz，阻尼為0.005，耦合系數(shù)矩陣為diag{0.000 41,3.833,0}；

干擾力矩為

采樣時(shí)間為t=0.01 s，控制力矩采用0.1 N·m的限幅.

針對(duì)姿態(tài)的控制目標(biāo)，現(xiàn)對(duì)3個(gè)姿態(tài)(即φ，θ，ψ)進(jìn)行模糊分割，為便于分析和計(jì)算，將模糊狀態(tài)區(qū)域劃分為兩個(gè)模糊子區(qū)域：即“初始區(qū)域”，“目標(biāo)區(qū)域”兩個(gè)區(qū)域.劃分后3個(gè)姿態(tài)角分別對(duì)應(yīng)子區(qū)域的中心點(diǎn)為：|φ|=0和π/6，|θ|=0和π/12，|ψ|=0和π/18，隸屬度函數(shù)均取于三角形函數(shù)，其分別對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)圖形如圖2所示.

圖2 隸屬度函數(shù)曲線Fig.2 Membership function curves

仿真結(jié)果如圖3～8所示.其中，圖3～5為衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)，模糊黃金分割控制和黃金分割控制的系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)曲線，圖6為3個(gè)姿態(tài)角分別在模糊黃金分割控制、黃金分割控制和PID控制作用下的波形曲線，圖7為3個(gè)姿態(tài)角速度分別在模糊黃金分割控制、黃金分割控制和PID控制作用下的波形曲線，圖8為3個(gè)控制力矩分別在模糊黃金分割控制、黃金分割控制和PID作用下的波形曲線.

圖3 滾動(dòng)軸機(jī)動(dòng)時(shí)參數(shù)辨識(shí)曲線Fig.3 Identification curves of roll maneuver

圖4 俯仰軸機(jī)動(dòng)時(shí)參數(shù)辨識(shí)曲線Fig.4 Identification curves of pitch maneuver

圖5 偏航軸機(jī)動(dòng)時(shí)參數(shù)辨識(shí)曲線Fig.5 Identification curves of yaw maneuver

圖6 衛(wèi)星姿態(tài)角Fig.6 Satellite attitude angulars

圖7 衛(wèi)星姿態(tài)角速度Fig.7 Satellite attitude angular velocities

圖8 衛(wèi)星控制力矩Fig.8 Satellite control moments

從圖3～5可以看出，當(dāng)衛(wèi)星做姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)，在姿態(tài)機(jī)動(dòng)初始階段，模糊黃金分割控制的兩個(gè)模糊子空間中的系統(tǒng)辨識(shí)參數(shù)在隨時(shí)間進(jìn)行變化，這表明兩個(gè)模糊子空間的黃金分割控制律均起到作用.從圖6～8可以看出，在衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)，模糊黃金分割控制的姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間優(yōu)于黃金分割控制和PID控制，并且在控制力矩變化上，模糊黃金分割控制的波動(dòng)頻率相對(duì)較小.

4 結(jié) 論

模糊黃金分割控制是將模糊控制和黃金分割控制相結(jié)合的一種智能控制方法，它通過(guò)對(duì)非線性狀態(tài)空間進(jìn)行模糊分割，降低特征建模的難度，有效地提高系統(tǒng)的辨識(shí)效率，從而提高系統(tǒng)的控制性能，該方法可以有效的完成小衛(wèi)星的姿態(tài)機(jī)動(dòng)，且具有良好的控制精度和魯棒性，因此模糊黃金分割控制具有一定的應(yīng)用價(jià)值.但模糊黃金分割控制在設(shè)計(jì)過(guò)程中比黃金分割控制相對(duì)復(fù)雜，需要對(duì)非線性狀態(tài)空間進(jìn)行模糊分割以及對(duì)每一個(gè)模糊子空間分別進(jìn)行黃金分割控制器的設(shè)計(jì)，因此有待進(jìn)一步優(yōu)化.

參 考 文 獻(xiàn)

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