馮 飛，張雅聲，張安理

0 引 言

近年來，針對(duì)月球兩極地區(qū)，尤其是南極地區(qū)的探測(cè)任務(wù)已成為各主要航天國(guó)家或組織的研究重點(diǎn)[1-6].其中，載人月球探測(cè)返回任務(wù)對(duì)著陸場(chǎng)的氣象水文條件有著較高要求，但月地間轉(zhuǎn)移軌道飛行時(shí)間較長(zhǎng)，不確定性因素較多.倘若航天器在完成月地軌道射入(trans-Earth injection，TEI)之后，主著陸場(chǎng)出現(xiàn)影響回收安全的惡劣天氣狀況，則必要時(shí)只能通過在轉(zhuǎn)移過程中實(shí)施一定的軌道控制來實(shí)現(xiàn)對(duì)位于不同再入平面內(nèi)的主、副著陸場(chǎng)的調(diào)整.Apollo-11在再入地球大氣之前，因主著陸場(chǎng)上空出現(xiàn)臺(tái)風(fēng)，被迫在再入段將再入縱程從2 200 km調(diào)整到2 800 km，最終安全降落在副著陸場(chǎng).由于受到航天器再入段的橫程調(diào)節(jié)能力限制，這就要求主著陸場(chǎng)與副著陸場(chǎng)應(yīng)近似位于同一再入平面內(nèi)，太平洋廣闊的海域?yàn)锳pollo飛船通過再入縱程的調(diào)整來改變?cè)偃肼鋮^(qū)提供了可能，但這并不符合我國(guó)國(guó)情.位于四子王旗的主著陸場(chǎng)與位于酒泉的副著陸場(chǎng)地理經(jīng)度間隔較大，并不在同一再入平面內(nèi)，這就需要研究一種在月地轉(zhuǎn)移段通過脈沖機(jī)動(dòng)來調(diào)整終端再入軌道面的控制策略.國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者在軌跡優(yōu)化及中途修正策略方面開展了研究.其中，張錦繡等[7]通過解析方法計(jì)算攝動(dòng)下目標(biāo)實(shí)際位置與二體情況下目標(biāo)位置的偏差，提出了一種攝動(dòng)下Lambert問題的解法；HUANG[8]提出一種主矢量近似方法，避開對(duì)動(dòng)力學(xué)方程的簡(jiǎn)化，而是從主矢量方程入手，在航天器共面交會(huì)問題中得以應(yīng)用；徐明等[9]針對(duì)設(shè)計(jì)出的3類中途修正策略，利用Monte-Carlo和遺傳算法的聯(lián)合仿真求得全局概率最優(yōu)解，但其中Lambert轉(zhuǎn)移軌道僅考慮了地球攝動(dòng)；唐國(guó)金等[10]對(duì)航天器軌道優(yōu)化理論進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究.

本文結(jié)合實(shí)際任務(wù)，提出了一種月地引力場(chǎng)中求解Lambert問題的迭代方法，而后在轉(zhuǎn)移軌道段施加雙脈沖機(jī)動(dòng)的控制策略，通過調(diào)整再入點(diǎn)位置，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)非共面副著陸場(chǎng)的再入返回，并對(duì)該機(jī)動(dòng)控制策略的能量最優(yōu)解進(jìn)行了研究及仿真驗(yàn)證.

1 著陸場(chǎng)應(yīng)急調(diào)整策略及優(yōu)化

本文稱以主著陸場(chǎng)的終端再入條件為約束的返回軌道為原返回軌道，將軌道機(jī)動(dòng)推力作用函數(shù)近似為脈沖函數(shù)，在副著陸場(chǎng)的終端再入條件下，可解算出一條新的月地返回軌道，稱其為目標(biāo)返回軌道.其中，月地轉(zhuǎn)移軌道的計(jì)算方法見文獻(xiàn)[11].則該任務(wù)中軌道調(diào)整的本質(zhì)可等價(jià)為由原返回軌道機(jī)動(dòng)至目標(biāo)返回軌道的雙脈沖交會(huì)問題，即Lambert問題，或兩點(diǎn)邊值問題.

1.1 全引力場(chǎng)Lambert問題求解方法

普適量解法是二體問題中求解Lambert問題的有效方法，但針對(duì)力學(xué)環(huán)境更加復(fù)雜的月地返回軌道而言，綜合考慮多體引力及其非球形攝動(dòng)等受力情況后，很難給出拉格朗日系數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的解析形式.基于此，本文應(yīng)用一種利用全引力場(chǎng)中的外推結(jié)果對(duì)二體Lambert解法進(jìn)行修正的迭代算法[12]，通過較少次數(shù)的迭代即可求解出滿足較高精度的在復(fù)雜引力場(chǎng)中的Lambert解.

設(shè)定全引力場(chǎng)模型為考慮地球引力體模型JGM3的21×21階，月球引力體模型LP150Q的21×21階，太陽引力模型按勻質(zhì)球體計(jì)算.算法具體步驟描述如下：

(1)以新的再入終端約束條件為目標(biāo)變量，計(jì)算得目標(biāo)返回軌道.設(shè)兩點(diǎn)P1、P2分別為原返回軌道與目標(biāo)返回軌道上一點(diǎn)，在J2000.0慣性坐標(biāo)系下的位置矢量分別為r1、r2，依據(jù)兩點(diǎn)軌道歷元之差，易知轉(zhuǎn)移飛行時(shí)間；

本文將STK與Matlab互聯(lián)，在Matlab中實(shí)現(xiàn)Lambert問題的普適量解法，將計(jì)算結(jié)果作為初值寫入STK中實(shí)現(xiàn)全引力場(chǎng)模型的軌道外推，再將外推結(jié)果返回Matlab繼續(xù)計(jì)算.迭代算法計(jì)算流程見圖1 所示.

圖1 全引力場(chǎng)中Lambert問題迭代算法流程圖Fig.1 Flow chart of solving Lambert problem in a complete gravity field

1.2 軌道機(jī)動(dòng)優(yōu)化算法

在此任務(wù)中，軌道機(jī)動(dòng)優(yōu)化的實(shí)質(zhì)為在何時(shí)、何處施加機(jī)動(dòng)脈沖以保證能量最優(yōu)的問題.其中，主矢量理論的判定條件與非最優(yōu)主矢量理論相結(jié)合，可解決脈沖推力軌道機(jī)動(dòng)的優(yōu)化問題，但其弊端在于在每次脈沖推力的調(diào)整后，都需要人工對(duì)|λv|的曲線進(jìn)行判定，效率不高.而模擬退火算法(SA)理論較為完善，其收斂性可以基于Markov過程進(jìn)行分析，近年來在工程中得到了廣泛應(yīng)用.參考文獻(xiàn)[13]的研究思路，本文結(jié)合最優(yōu)的必要性判定條件、非最優(yōu)主矢量改進(jìn)措施以及模擬退火算法，應(yīng)用一種交互式脈沖優(yōu)化方法.

由最優(yōu)控制理論，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)可描述為：

(1)

式中，λr、λv是r、v的協(xié)態(tài)變量.

哈密頓函數(shù)取極小值的必要條件為

(2)

由式(2)可得：

(3)

文獻(xiàn)[14]提供了一種較為便捷的計(jì)算主矢量解析算法，描述如下：

(4)

Φp(t,t0)為主矢量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

Φp(t,t0)=N(t)N-1(t0)

(5)

N(t)、N-1(t)為

(6)

其中,r(t)、v(t)為參考脈沖軌道的解析表達(dá)式，為角動(dòng)量矢量.其余變量表示如下：

(8)

(9)

式中，p、θ、e分別為軌道半通徑、交會(huì)相位差及軌道偏心率.

(10)

此外，由Lion[15]等人發(fā)展的非最優(yōu)主矢量理論進(jìn)一步解決了如何把一條非最優(yōu)脈沖參考軌道通過施加初始滑行段、終端滑行段以及中間脈沖的方式轉(zhuǎn)變?yōu)樽顑?yōu)脈沖軌道的問題，這里不再贅述.

2 仿真分析

首先以文獻(xiàn)[16]中計(jì)算的返回軌道為原返回軌道；相似地，以新的再入終端為約束條件，計(jì)算目標(biāo)返回軌道，其月地轉(zhuǎn)移軌道射入點(diǎn)與再入點(diǎn)軌道根數(shù)如表1中所示，參考系分別為月心慣性系與地心慣性系.酒泉副著陸場(chǎng)大地坐標(biāo)為(41.12°N,100.32°E)，目標(biāo)返回軌道再入點(diǎn)位置為(4.21°S,35.81°E)，地心段軌道傾角iE=43.4°，TEI時(shí)刻軌道歷元2020年4月8日10:21:00 UTC，其余約束條件與原返回軌道一致.

圖2 交互式最優(yōu)求解流程Fig.2 Flow chart of the interactive optimization method

特征點(diǎn)射入點(diǎn)再入點(diǎn)歷元(UTC)2020.04.08,10:21:002020.04.12,08:58:33a/km-6137.43186767e1.29380.9656i/(°)89.8343.4Ω/(°)107.6715.82ω/(°)215.975.51θ/(°)66.1348.2

脈沖時(shí)刻的值不易在鄰近TEI時(shí)刻與終端再入時(shí)刻的區(qū)間內(nèi)，其中，設(shè)定初始脈沖時(shí)刻與終端脈沖時(shí)刻的取值范圍為2020 04 08 18:00:00～2020 04 12 00:00:00.

圖3為非最優(yōu)參考解的主矢量曲線，第一、第二脈沖時(shí)刻分別為2020 04 09 00:00與2020 04 10 12:00，總脈沖為0.04 km/s.

最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌道主矢量計(jì)算結(jié)果如圖4所示，脈沖最優(yōu)解如表2所示.

由計(jì)算過程可知，本算例需兩脈沖就可得到全局最優(yōu)解，而無需增加中間脈沖.可見，最優(yōu)解總脈沖大小為0.025 2 km/s，相比于參考解，最優(yōu)解可以節(jié)省近一半的能量消耗.返回軌道機(jī)動(dòng)全景仿真結(jié)果如圖5～6所示，可以從星下點(diǎn)軌跡中看到再入點(diǎn)位置的變化情況，為返回至酒泉副著陸場(chǎng)，再入點(diǎn)經(jīng)度西移了10.8°，軌道傾角由43.1°調(diào)整為43.4°.

圖3 非最優(yōu)參考解主矢量大小與時(shí)間關(guān)系Fig.3 The prime vector of reference results

圖4 最優(yōu)軌道主矢量大小與時(shí)間關(guān)系Fig.4 The prime vector of optimal results

脈沖時(shí)刻(UTC)2020,04,08,23:58:30.0002020.04,11,23:27:20.000Δv/(km/s)(-0.0104,-0.0074,-0.0023)(-0.0041,0.0109,0.0038)|Δv|/(km/s)0.0130.0122總脈沖/(km/s)0.0252

為進(jìn)一步驗(yàn)證交互式最優(yōu)方法的準(zhǔn)確性，并更形象地說明施加脈沖時(shí)刻與速度脈沖大小的關(guān)系，做以下仿真：

(1)固定第一次脈沖時(shí)刻t0，則第一次脈沖在原返回軌道的位置r0(t0)也隨即確定，以Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，分別計(jì)算交會(huì)點(diǎn)在目標(biāo)返回軌道上的位置rf(t0+Δt×i)，計(jì)算每個(gè)交會(huì)位置對(duì)應(yīng)的第一次轉(zhuǎn)移速度脈沖、第二次轉(zhuǎn)移速度脈沖與總速度脈沖.

圖5 最優(yōu)脈沖機(jī)動(dòng)軌道仿真全景圖Fig.5 The simulations of optimal transfer trajectory

(2)固定第二次脈沖時(shí)刻tf，則交會(huì)點(diǎn)在目標(biāo)返回軌道的位置rf(tf)也隨即確定，以Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，分別計(jì)算第一次脈沖在原返回軌道上的位置r0(tf-Δt×i)，計(jì)算每個(gè)交會(huì)位置對(duì)應(yīng)的第一次轉(zhuǎn)移速度脈沖、第二次轉(zhuǎn)移速度脈沖與總速度脈沖.

其中，Δt×i為脈沖轉(zhuǎn)移時(shí)間，仿真設(shè)定Δt=2h，i=[1：40].仿真結(jié)果如圖7～8所示.

圖8 速度脈沖與第一次控制時(shí)間關(guān)系Fig.8 The relation between velocity pulse and the time of first impulse

可以看出，無論是固定第一脈沖位置或是第二脈沖位置，速度脈沖值的收斂值與交互式最優(yōu)方法的結(jié)果十分相近.

3 結(jié) 論

本文以月球探測(cè)返回任務(wù)為背景，結(jié)合我國(guó)內(nèi)陸著陸場(chǎng)的現(xiàn)狀，提出了一種應(yīng)急狀況下，通過在月地轉(zhuǎn)移軌道段實(shí)施雙脈沖機(jī)動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)將航天器轉(zhuǎn)移至再入平面以外的副著陸場(chǎng)的軌道機(jī)動(dòng)策略，并應(yīng)用一種交互式優(yōu)化方法，結(jié)合仿真算例，得出了雙脈沖條件下的能量最優(yōu)解，仿真結(jié)果表明了該計(jì)算方法的有效性.值得說明的是，該落區(qū)調(diào)整策略不僅可用于月地轉(zhuǎn)移軌道的前期設(shè)計(jì)與分析中，還可在諸如火星探測(cè)返回等其他行星探測(cè)返回任務(wù)中加以應(yīng)用.但同時(shí)，應(yīng)急情況本身就存在一定的隨機(jī)性，工程中并不能夠嚴(yán)格按照最優(yōu)脈沖時(shí)刻實(shí)施變軌，這還取決于多種與優(yōu)化本身無關(guān)的外界因素，例如主著陸場(chǎng)出現(xiàn)不利情況的時(shí)刻、決策響應(yīng)時(shí)間等等.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 馮飛,張雅聲.多約束條件下月球南極探測(cè)返回窗口設(shè)計(jì)[J].空間控制技術(shù)與應(yīng)用,2017, 43(3):21-27.

FENG F，ZHANG Y S.Design of Launch Window for Lunar South Pole Return Mission in Multi-Restrictions[J].Aerospace Control and Application,2017,43(3):21-27.

[2] CARPENTER J D,FISACKERLY R,DE ROSA D,et al.Scientific preparations for lunar exploration with the European Lunar Lander[J].Planetary and Space Science,2012, 74(1): 208-223.

[3] Russian Federal Space Agency. Russia space programs and exploration handbook[R].Moscow: Russian Federal Space Agency, 2011: 59.

[4] BENJAMIN V, DIEGO DE R,RICHARD F,et al.An analysis of illumination and communication conditions near lunar south pole based on Kaguya data[C]//Proceedings of the 7thInternational Planetary Probe Workshop.Washington D. C.:NASA,2010：1-7.

[5] COLAPRETE A,SCHULTZ P,HELDMANN J,et al.Detection of water in the LCROSS ejecta plume[J].Science,2010, 330(6003):463-468.

[6] WOODEN D H,COLAPRETE A,ENNICO K,et al.Lunar crater observation and sensing satellite (LCROSS) mission: results from the nadir near-infrared spectrometer aboard the Shepherding spacecraft[J].Lunarand Planetary Institute Science Conference Abstracts.41, 2010:2025-2026.

[7] 張錦繡,曹喜濱,張劉,等.J2項(xiàng)攝動(dòng)下的Lambert問題算法研究[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2009(5):6-9.

ZHANG J X, CAO X B, ZHANG L, et al. An algorithm for Lambert solution based on J2 perturbation[J].Journal of Harbin Institute of Technology, 2009(5):6-9.

[8] HUANG W.Solving coplanar satellite rendezvous problem by primer vector approximation method[C]//AIAA/AAS Astrodynamic Specialist Conferences. Washington. D.C.: AIAA, 2012.

[9] 徐明,譚田,李志武,等.Lambert 轉(zhuǎn)移中途修正的全局概率最優(yōu)策略[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2012, 38(5): 574-578.

XU M, TAN T, LI Z W,et al.Optimal correction strategy during Lambert transfer from view of probability[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2012, 38(5): 574-578.

[10] 唐國(guó)金，羅亞中，雍恩米.航天器軌道優(yōu)化理論、方法及應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

TANG G J, LUO Y Z, YONG E M. Trajectory optimization theory, method and application[M].Beijing:Science Press，2012.

[11] FENG F, ZHANG Y S.Application and analysis of an improved multiconic method in trajectory design of the lunar south pole return mission[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of Aerospace Engineering, 2017:0954410017705896.

[12] 張磊,謝劍鋒,劉勇.繞月返回飛行再入航程調(diào)整的軌道控制[J].飛行器測(cè)控學(xué)報(bào), 2015,34(1):64-69.

ZHANG L, XIE J F, LIU Y.Trajectory maneuver for reentry downrange modification during circumlunar return flight[J].Journal of Spacecraft TT&C Technology,2015,34(1):64-69.

[13] LUO Y Z.Interactive optimization approach for optimal impulsive rendezvous using primer vector and evolutionary algorithms[J].ActaAstronautica,67(2):396-405.

[14] 羅亞中.空間最優(yōu)交會(huì)路徑規(guī)劃策略研究 [D].長(zhǎng)沙:國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2007.

LUO Y Z.Study on Space Optimal Rendezvous Trajectory Planning Approach[D].Changsha:National University of Defense Technology, 2007.

[15] HANDELSMAN M,LION P M.Primer vector on fixed-time impulsive trajectories[J].AIAA Journal, 1968, 6(1): 127-132.

[16] 馮飛, 張雅聲. 多約束條件下月球南極探測(cè)返回窗口設(shè)計(jì)[J].空間控制技術(shù)與應(yīng)用, 2017, 43(3):21-27.

FENG F, ZHANG Y S.Design of Launch Window for Lunar South Pole Return Mission with Multi-Restrictions[J].Aerospace Control and Application,2017,43(3):21-27.